第一节 联合分布与边缘分布

1、整理课件1整理课件2从本讲起，我们开始第三章的学习从本讲起，我们开始第三章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量我们重点讨论二维随机变量 .它是第二章内容的推广它是第二章内容的推广.整理课件3 到现在为止，我们只讨论了一维到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述需要用几个随机变量来描述. 在打靶时在打靶时,命中点的位

2、置是命中点的位置是由一对由一对r .v (两个坐标两个坐标)来确定的来确定的. 飞机的重心在空中的位置是飞机的重心在空中的位置是由三个由三个r .v (三个坐标三个坐标)来确定的等来确定的等等等.整理课件4一般地一般地, 设设 是一个随机试验是一个随机试验,E它的样本空间是它的样本空间是 , 设设 11,XX 22,XX ,nnXX 是定义在是定义在 上的随机变量上的随机变量, 由它们构成的一个由它们构成的一个 维向维向n量量 12,nXXX叫做叫做 维随机向量维随机向量n或或 维随机变维随机变n量量. 以下重点讨论二维随机变量以下重点讨论二维随机变量.请注意与一维情形的对照请注意与一维情形的

3、对照 .整理课件5)()(xXPxFxX的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量 ,F x yPXxYyP Xx Yy, ,x y如果对于任意实数如果对于任意实数二元函数二元函数称为二维随机变量称为二维随机变量 的分布函数的分布函数, ,X Y或者称为随机或者称为随机变量变量 和和 的联合分布函数的联合分布函数.YX定义定义1 ,X Y设设 是二维是二维随机变量随机变量,整理课件6xXOx Oxyy YX ,YX yx ,x 将二维随机变量将二维随机变量 看成是平面上随机点的看成是平面上随机点的坐标坐标, ,X Y 那么那么,分布函数分布函数 在点在点 处的函数值处的函数值就是随机点就是随

4、机点 落在下面左图所示的落在下面左图所示的,以点以点 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. ,X Y ,x y ,F x y ,x y分布函数的函数值的几何解释分布函数的函数值的几何解释整理课件7 11211222,yxFyxFyxFyxF 2121,yYyxXxP 随机点随机点 落在矩形域落在矩形域 ,X Y1212,xxxyyy 概率为概率为xyO YX,2y1y1x2x整理课件8xyO YX,1x2xy yx ,1 yx ,2 :,的性质的性质分布函数分布函数yxF ;,.1的不减函数的不减函数和和是关于变量是关于变量yxyxF ;,21

5、2121yxFyxFxxRxxRy 时时当当及及对任意固定的对任意固定的 ;,212121yxFyxFyyRyyRx 时时当当及及对对任任意意固固定定的的 YX,整理课件9 ,0,1,0.2 yFRyyxF对对任任意意固固定定的的且且 .1,0,0, FFxFRx对对任任意意固固定定的的Oxyy YX ,XY yx ,x yx ,x整理课件10即即F(x, y) 关于关于x, y是右连续的。是右连续的。 .0, 0,.3 yxFyxFyxFyxF11221212(,),(,),xyxyxxyy 4. 对任意的对任意的 22211211,0F xyF xyF xyF xy 1212,P xXxy

6、Yy 整理课件11,),(ijjipyYxXP或随机变量或随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律. ,)(kkpxXPk=1,2, 离散型离散型一维随机变量一维随机变量XX 的分布律为的分布律为 , 0kpkkp1k=1,2, 定义定义2限对或无限可列多对限对或无限可列多对, 则称则称是是离散型随机变量离散型随机变量. ,X Y设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量 ,X Y可能取的值是可能取的值是 ,ijx y,1,2,i j ,1,2,i j 记记如果二维随机变量如果二维随机变量 ,X Y全部可能取到的值是有全部可能取到的值是有称之为二维离散型随机变量称之为二维离散型随机变量 的的分

7、布律分布律, ,X Y整理课件1212jyyyXY12ixxx11211ippp12222ippp12jjijppp也可用表格来表示随机变量也可用表格来表示随机变量X和和Y 的的联合分布律联合分布律. 整理课件13ijijijpjip1, 2 , 1, 0二维离散型随机变量二维离散型随机变量 的的分布律具有性质分布律具有性质 ,X Y二维离散型随机变量二维离散型随机变量 的的联合分布函数为：联合分布函数为： ,X Y( , )ijijxx yyF x yp. , ,求求和和的的其其中中和和式式是是对对一一切切满满足足jiyyxxji 整理课件14 例例1把一枚均匀硬币抛掷三次，设把一枚均匀硬币

8、抛掷三次，设X为三次为三次抛掷中正面出现的次数抛掷中正面出现的次数 ，而，而 Y 为正面出现次数与为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值反面出现次数之差的绝对值 , 求求 (X ,Y) 的分布律的分布律 .解解 ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)PX=0, Y=3PX=1, Y=1 PX=2, Y=1PX=3, Y=3YX1301 83 8001233 8001 82131122C2231122C 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 整理课件15.),(. 1 , 4 , 3 , 2 , 1 的分布律的分布律试求试求

9、整数值整数值中等可能地取一中等可能地取一在在另一个随机变量另一个随机变量取值取值四个整数中等可能地四个整数中等可能地在在设随机变量设随机变量YXXYX解解:,的的取取值值情情况况是是jYiX , 4 , 3 , 2 , 1 i.的正整数的正整数取不大于取不大于ij且由乘法公式得且由乘法公式得,jYiXP iXPiXjYP ,411 i, 4 , 3 , 2 , 1 i. ij 的分布律为的分布律为于是于是),(YX例例2整理课件16XY12341234418112116108112116100121161000161整理课件17例例3 一个袋中有三个球一个袋中有三个球,依次标有数字依次标有数字

10、 1, 2, 2,从中任取一个从中任取一个, 不放回袋中不放回袋中 , 再任取一个再任取一个, 设每设每次取球时次取球时,各球被取到的可能性相等各球被取到的可能性相等,以以 X, Y 分分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数的分布律与分布函数. ( X, Y ) 的可能取值为的可能取值为),2 , 1(,3122312, 1 YXP,3121321, 2 YXP.3121322, 2 YXP解解),1 , 2().2 , 2(122整理课件18故故 ( X , Y ) 的分布律为的分布律为XY21213103

11、131,31, 022211211 pppp下面求分布函数下面求分布函数.整理课件192112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(,11)1(时时或或当当 yx),(yxF),(yxF,21 , 21)2(时时当当 yx,2, 21)3(时时当当 yx),(yxF,yYxXP ; 0 11p ; 0 1211pp ;31 整理课件20,21 , 2)4(时时当当 yx;31),(2111 ppyxF,2, 2)5(时时当当 yx),(yxF22122111pppp . 1 2112oxy)2 , 2()2 , 1()1 , 1()1 , 2(整理课件21所以所以( X

12、 ,Y ) 的分布函数为的分布函数为, 21 , 2. 2, 2, 1, 2, 21,31, 11, 0),( yxyxyxyxyxF或或或或整理课件22连续型连续型一维随机变量一维随机变量XX的概率密度函数的概率密度函数1)(dxxf xtdtfxFx0)(xf Rxxf ,fx y函数函数 称为二维称为二维定义定义3对于二维随机变量对于二维随机变量 ,X Y的分布函数的分布函数 ,F x y则称则称 是是连续型的二维随连续型的二维随 ,X Y机变量机变量 ,（X,Y )的的概率密度概率密度 ,随机变量随机变量 ,yxF x yf u v dudv 存在非负的函数存在非负的函数 ,fx y如

13、果如果任意任意 有有,x y使对于使对于 称为随机变量称为随机变量 X 和和 Y 的的联合概联合概 率密度率密度.或或整理课件23 ;0,.1 yxf 2,1 ;Rfx y dxdy 2.,1;fx y dxdy 表示介于表示介于 f (x, y)和和 xoy 平面之间的空间区域的平面之间的空间区域的全部体积等于全部体积等于1., 1dd),( yxyxf.),(,表表示示空空间间的的一一个个曲曲面面几几何何上上yxfz 注：注：整理课件24 ;,.3dxdyyxfGYXPxOyGG 则则有有平平面面上上的的区区域域是是设设yxyxFyxf),(),(2在在 f (x,y)的连续点的连续点 ,

14、.4注：注：,dd),(),( GyxyxfGYXP.),(, ),(为为顶顶面面的的柱柱体体体体积积以以曲曲面面为为底底的的值值等等于于以以yxfzGGYXP 整理课件25例例4 4 设设( (X,Y) )的概率密度是的概率密度是(2) 求分布函数求分布函数 (2),0,0,0,.其它xyAexyfx y ,;F x y P YX (3) 求概率求概率 .(1) 求常数求常数A; 解解 (1) 由由 ,1fx y dxdy 可得可得A=2.整理课件26Ouvy yx ,xOuvy yx ,x ,yxF x yf u v dudv ,Du vuxvy 积分区域积分区域区域区域 ,0f u v

15、,0,0u v uv 解解 (2)整理课件27Ouvy yx ,xOuvy yx ,x整理课件28 211,0,0,0,.xyeexyF x y 其其它它00 xy 或或当当 时时, ,yxF x yf u v dudv 0 故故(2)002yxu vedudv 2002yxvue dvedu 211xyee 0,0 xy 当当 时时, ,yxF x yf u v dudv 整理课件29 2302xxeedx 1.3 (3) P YX ,y xfx y dxdy 2002xxydxedy 2002xxyedxedy yx xyo整理课件30例例5 设随机变量设随机变量(X ,Y )的联合分布函

16、数为的联合分布函数为yxyCxBAyxF,2arctan2arctan),(其中其中A , B , C 为常数为常数.(1) 确定常数确定常数A , B , C ；(2)求求P (X 2);(3)求求(X ,Y )的联合密度函数。的联合密度函数。整理课件31解解 (1)122),(CBAF(, )arctan022yFyA BC( ,)arctan022xF xA BC 21,2,2ACB整理课件32(2)(2) 1(2)1(2,)1(2,)P XP XP XYF 22arctan1211.4/1(3)2222( , )14( , )(4)(4) ,F x yf x yx yxyxy 整理课件

17、33设随机变量设随机变量(X, Y)的概率密度是的概率密度是 6,02,24,0,.kxyxyfx y 其其它它(1) 确定常数确定常数 ;k 1,3PXY (2) 求概率求概率整理课件34解解 (1) xyo24 21,Rfx y dxdy 24026kdxxy dy 24026kdxxy dy 2023kx dx 8k 故故1 8.k 2整理课件35xyo13242 1,3P XY (2) . 13,dxfx y dy 1302168dxxy dy 101782x dx 38 整理课件36二维随机变量二维随机变量 (X,Y)作为一个整体作为一个整体, 具有分布函具有分布函数数 ,F x y

18、而而 和和 都是随机变量都是随机变量 ,XY也有各自的分也有各自的分布函数布函数,分别记为分别记为 ,XYFxFy XFxP Xx变量变量 (X,Y) 关于关于 X 和和 Y的边缘分布函数的边缘分布函数.依次依次称为二维随机称为二维随机 ,YFyP YyP XYyFy ,P Xx Y ,F x 一、边缘分布函数一、边缘分布函数整理课件37一般地，对离散型一般地，对离散型 r.v ( X,Y )，则则 (X,Y) 关于关于X 的边缘分布律为的边缘分布律为:X和和Y 的联合分布律为的联合分布律为, 2 , 1,),(jipyYxXPijji 11,ijijjjPXx Yyp,2,1iixXP二、离

19、散型随机变量的边缘分布律二、离散型随机变量的边缘分布律. ip整理课件38(X,Y) 关于关于 Y 的边缘分布律为的边缘分布律为:jyYPjiijjiippyYxXP.11, 1,2,j ,),()(1 xxjijXipxFxF.),()(1 yyiijYjpyFyF离散型随机变量关于离散型随机变量关于X 和和Y 的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为:整理课件39;,2, 1,1 ipxXPjiji., 2 , 1,1 jpyYPiijjXYixxx21jyyy2112111ippp22212ipppijjjppp21 我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边我们常将边缘分布律写在联合分布

20、律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词缘上，由此得出边缘分布这个名词.整理课件40例例6 已知下列分布律求其边缘分布律已知下列分布律求其边缘分布律.XY1049164912491249910整理课件41XY1042124212421242610iixXPp jjyYPp 注意注意联合分布联合分布边缘分布边缘分布解解 747317473整理课件42解解1098765432112232424340111121112例例7., .)( , )( .10, 3, 2, 1并并求求边边缘缘分分布布律律的的联联合合分分布布律律和和试试写写出出的的素素数数的的个个数数是是能能整整除除的的正正整整数数的的个

21、个数数是是能能整整除除设设一一个个值值十十个个值值中中取取等等可可能能地地在在一一整整数数FDNNFFNNDDN : 布律布律的联合分布律与边缘分的联合分布律与边缘分和和由此得由此得FD样本点样本点DF整理课件43Dkp4321101104102103Fkp21010110710243211010000104102101000102DFjFP 101107102iDP 1011041021031或将边缘分布律表示为或将边缘分布律表示为012整理课件44三、连续型随机变量的边缘分布三、连续型随机变量的边缘分布.),(,d),()(,dd),(),()(),(),(的边缘概率密度的边缘概率密度关于

22、关于称其为随机变量称其为随机变量记记由于由于密度为密度为设它的概率设它的概率对于连续型随机变量对于连续型随机变量XYXyyxfxfxyyxfxFxFyxfYXXxX 定定义义整理课件45同理可得同理可得 Y 的边缘分布函数的边缘分布函数.d),()( xyxfyfYY 的边缘概率密度的边缘概率密度.,dd),(),()( yYyxyxfyFyF整理课件46. )(),(., 0, 6),(2yfxfxyxyxfYXYX求边缘概率密度求边缘概率密度其他其他具有联合概率密度具有联合概率密度和和设随机变量设随机变量 解解yyxfxfXd),()( ,10时时当当 xxy 2xy Oxy)1 , 1(

23、yyxfxfXd),()( xxy2d6例例8).(62xx 整理课件47,10时时或或当当 xx. 0d),()( yyxfxfX ., 0, 10),(6)(2其他其他因而得因而得xxxxfXxy 2xy Oxy)1 , 1(整理课件48,10时时当当 yxyxfyfYd),()( ,10时时或或当当 yy. 0d),()( xyxfyfY ., 0, 10),(6)(其其他他得得yyyyfY yyxd6).(6yy xy 2xy Oxy)1 , 1(整理课件49=5c/24=1,c =24/5 dxdyyxf),(解：解：(1)100(2)xcyx dy dx dxxxc10222/ )

24、(求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度。）两个边缘密度。(2),01,0( , )0,cyxxyxf x y 其其它它例例9 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是整理课件50解解: (2) xXdyxyxf0)2(524)(),2(5122xx10 xxy01y=x求求 (1) c的值；的值； （2）两个边缘密度。）两个边缘密度。(2),01,0( , )0,cyxxyxf x y 其其它它例例9 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是整理课件51解解: (2) ),2223(5242yyy1)2(524)(yYdxxyyf10 yxy01y=x求求 (1) c的值；的值； （2

25、）两个边缘密度。）两个边缘密度。(2),01,0( , )0,cyxxyxf x y 其其它它例例9 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是整理课件52即即212(2),01( )50,Xxxxfx 其其它它2243(2),01( )5220,Yyyyyfy 其其它它整理课件53练习练习 设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是 ,0,0,yexyxfx y 其其它它求求( X,Y )关于关于 X 和和 Y 的边缘概率密度的边缘概率密度.整理课件54xyx xy0 xx ,Xfxfx y dy 解解当当 时时,0 x 当当 时时,0 x 00Xfxdy yXxfxedy xe yxe 故故 ,0,0,0.xXexfxx 整理课件55yx xy0 ,Yfyfx y dx yyy当当 时时,0y 当当 时时,0y 00Yfydx 0yyYfyedx yye 故故 ,0,0,0.yYyeyfyy 整理课件56 设设G是平面上的有界区域，其面积为是平面上的有界区域，其面积为A. 若二若二维随机变量（维随机变量（ X,Y）具有概率密度）具有概率密度其它, 0),(,1),