恒成立问题常见类型及解法.实用教案

1、5、不等式恒成立问题 高考(o ko)命题中，不等式恒成立问题往往结合函数与导数同题考查，单独考查的较少，结合函数与导数的题目难度大、分值高，要引起我们的足够重视。6、不等式与其他知识的结合细解命题(mng t)特点第1页/共37页第一页，共38页。转化思想解答不等式恒成立问题 求解(qi ji)(qi ji)不等式恒成立问题的常用方法： (1) (1)分离参数法：通过分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题求解(qi ji).(qi ji). (2) (2)函数思想：转化为求含参数的函数的最值问题求解(qi (qi ji).ji). (3) (3)数形结合思想：转化为两熟悉函数图象间的上下关

2、系求解(qi ji).(qi ji).第2页/共37页第二页，共38页。 解答过程中应注意的问题： (1) (1)分离参数时应注意系数符号对不等号的影响(yngxing).(yngxing). (2) (2)应用函数方法求解时，所使用的函数一般为二次函数. . (3) (3)应用数形结合法求解时，应注意图象最高点或最低点处函数值的大小关系. .第3页/共37页第三页，共38页。 在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解。解题过程本身渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程(fngch

3、ng)等思想方法，另外不等式恒成立问题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。第4页/共37页第四页，共38页。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种(j zhn)(j zhn)类型：类型：（1 1）一次函数型；）一次函数型；（2 2）二次函数型；）二次函数型；（3 3）变量分离型；）变量分离型；（4 4）利用函数的性质求解；）利用函数的性质求解；（5 5）直接根据函数的图象求解；）直接根据函数的图象求解；（6 6）反证法求解。）反证法求解。下面分别举例示之。下面分别举例示之。第5页/共37页第五页，共38页。一、一次函数型一、一次函数型第6页/

4、共37页第六页，共38页。典例导悟第7页/共37页第七页，共38页。二、二次函数二、二次函数(hnsh)型型第8页/共37页第八页，共38页。典例导悟第9页/共37页第九页，共38页。第10页/共37页第十页，共38页。三、变量三、变量(binling)分离型分离型【理论阐释】 若在等式或不等式中出现两个变量(binling)(binling)，其中一个变量(binling)(binling)的范围已知，另一个变量(binling)(binling)的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量(binling)(binling)分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解

5、。第11页/共37页第十一页，共38页。典例导悟第12页/共37页第十二页，共38页。第13页/共37页第十三页，共38页。【理论阐释】 若函数(hnsh)f(x)(hnsh)f(x)是奇( (偶) )函数(hnsh)(hnsh)，则对一切定义域中的x,f(-x)= x,f(-x)= f(x)f(x)，(f(-x)=f(x)(f(-x)=f(x)恒成立；若函数(hnsh)y=f(x)(hnsh)y=f(x)的周期为T T，则对一切定义域中的x,x,有f(x)=f(x+T)f(x)=f(x+T)恒成立；若函数(hnsh)(hnsh)图象平移前后互相重合，则函数(hnsh)(hnsh)解析式相等。

6、四、利用函数四、利用函数(hnsh)的性质解决恒成立问题的性质解决恒成立问题第14页/共37页第十四页，共38页。典例导悟第15页/共37页第十五页，共38页。第16页/共37页第十六页，共38页。五、五、 把不等式恒成立问题把不等式恒成立问题(wnt)(wnt)转化为函数图象问转化为函数图象问题题(wnt)(wnt)【理论阐释】 若把不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出不等号两边对应函数的图象，这样就把一个很难解决的不等式的问题(wnt)(wnt)转化为利用函数图象解决的问题(wnt)(wnt)，然后从图象中寻找条件，就能解决问题(wnt)(wnt)。第17页/共37页第十七页，共38页

7、。典例导悟第18页/共37页第十八页，共38页。第19页/共37页第十九页，共38页。第20页/共37页第二十页，共38页。六、采用逆向六、采用逆向(n xin)思维，考虑使用反证法思维，考虑使用反证法【理论阐释】 恒成立问题有时候从正面很难入手，这时如果考虑问题的反面，有时会有“柳暗花明又一村”的效果(xiogu)(xiogu)，所谓“正难则反”就是这个道理。第21页/共37页第二十一页，共38页。典例导悟第22页/共37页第二十二页，共38页。第23页/共37页第二十三页，共38页。【典例】设函数 对任意xx1,+),1,+),f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0 0恒成立，则实

8、数m m的取值范围是_._.【解题指导】转化为具体不等式后，再通分转化为整式不等式，最后分类讨论(toln).(toln).【规范解答】 x x1,+),1,+),f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0,0, 即mxmx2m2x2-(1+m2)2m2x2-(1+m2)0.0. 1f xx,x11mxm(x) 0,mxx1m2mx0,mxx 1f xxx，第24页/共37页第二十四页，共38页。由由f(mx)+mf(x)f(mx)+mf(x)0 0在在xx1,+)1,+)上恒成立上恒成立(chngl)(chngl)知，知，mxmx2m2x2-(1+m2)2m2x2-(1+m2)0 0在在

9、xx1,+)1,+)上恒成立上恒成立(chngl),(chngl),m0.m0.当当m m0 0时，只要时，只要2m2x2-(1+m2)2m2x2-(1+m2)0 0恒成立恒成立(chngl)(chngl)即可即可, ,即即xx1,+),1,+), 2221mx,2m221m1,2m第25页/共37页第二十五页，共38页。m2m21,m1,m-1.-1.当当m m0 0时，只要时，只要2m2x2-(1+m2)2m2x2-(1+m2)0 0恒成立即可恒成立即可, ,即即 x x1,+),1,+), 不恒成立不恒成立. .综上，实数综上，实数m m的取值范围的取值范围(fnwi)(fnwi)为为(

10、-,-1).(-,-1).答案：答案：(-,-1)(-,-1)2221mx.2m2221mx2m第26页/共37页第二十六页，共38页。7 7（20102010山东高考）若对任意x x0, 0, 恒成立，则a a的取值范围(fnwi)(fnwi)是_【解题提示】将恒成立问题转化为最值问题. .【解析】因为x x0 0 ，所以 （当且仅当x=1x=1时取等号），所以有 即 的最大值为 故aa答案: : ) )2xax3x11x2x2x111 1x3x1235x3x，2xx3x115，1.51,5第27页/共37页第二十七页，共38页。 【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法【方法技巧】不等式恒成

11、立问题的解题方法1.1.不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决(jiju)(jiju)不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：值问题来解：cf(x)cf(x)恒成立恒成立 cf(x)max;cf(x)max;cf(x)cf(x)恒成立恒成立 cf(x)min.cf(x)min.2.2.高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法解高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法解决决(jiju).(jiju).第28页/共37页第二十八页，共38页。【例3 3】设函数f(x

12、)=ax2-2x+2,f(x)=ax2-2x+2,对于满足1 1x x4 4的一切x x值都有f(x)f(x)0,0,求实数a a的取值范围. .【解题指南】解答本题可以有两条途径：(1)(1)分a a0,a0,a0,a=00,a=0三种情况, ,求出f(x)f(x)在(1,4)(1,4)上的最小值f(x)min,f(x)min,再令f(x)minf(x)min0,0,从而求出a a的取值范围；(2)(2)将参数a a分离(fnl)(fnl)得 然后求 的最大值即可. .222a,xx 222g xxx 第29页/共37页第二十九页，共38页。【规范解答【规范解答(jid)(jid)】方法一：

13、当】方法一：当a a0 0时时, ,由由f(x)f(x)0,x(1,4)0,x(1,4)得：得： 或或 或或 或或 或或 211f xa(x)2,aa11af(1)a220114a11f( )20aa 14a,f 416a820 a1a01a 141a2 1a4,3a811a1a 1,a,22或 或即 第30页/共37页第三十页，共38页。当当a a0 0时时, , 解得解得aa; ;当当a=0a=0时时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,不合题意不合题意. .综上可得综上可得, ,实数实数a a的取值范围是的取值范围是方法

14、二：由方法二：由f(x)f(x)0,0,即即ax2-2x+2ax2-2x+20,x(1,4),0,x(1,4),得得在在(1,4)(1,4)上恒成立上恒成立. .令令g(x)max=g(2)= ,g(x)max=g(2)= ,所以所以(suy)(suy)要使要使f(x)f(x)0 0在在(1,4)(1,4)上恒成立上恒成立, ,只要只要a a 即可即可. . f 1a220,f 416a820 1a.2222axx 2222111 11g x2(),( ,1),xxx22 x4 1212第31页/共37页第三十一页，共38页。【反思【反思感悟】感悟】1.1.一元二次不等式问题及一元二次方程解的

15、确定一元二次不等式问题及一元二次方程解的确定与应用问题常转化与应用问题常转化(zhunhu)(zhunhu)为二次函数图象和性质的应用问为二次函数图象和性质的应用问题求解，但要注意讨论题求解，但要注意讨论. .2.2.关于不等式的恒成立问题关于不等式的恒成立问题, ,能用分离参数法，尽量用能用分离参数法，尽量用. .因为该法因为该法可以避开频繁地对参数的讨论可以避开频繁地对参数的讨论. .第32页/共37页第三十二页，共38页。4.(20104.(2010新课标全国卷) )设函数f(x)=ex-1-x-ax2.f(x)=ex-1-x-ax2.(1)(1)若a=0a=0，求f(x)f(x)的单调

16、区间(q jin)(q jin)；(2)(2)若当x0 x0时f(x)0f(x)0，求a a的取值范围【解题提示】在第(1)(1)问中先把a=0a=0代入，然后通过求导判断导数正负求得单调区间(q jin)(q jin)，解决第(2)(2)问的关键是从当x0 x0时f(x)0f(x)0入手，结合函数的解析式联合求解，通过判断导数的正负找到分界点进行讨论. .第33页/共37页第三十三页，共38页。【解析】【解析】(1)a=0(1)a=0时，时，f(x)=ex-1-xf(x)=ex-1-x，f(x)=ex-1.f(x)=ex-1.当当xx(-,0)(-,0)时，时，f(x)f(x)0 0；当；当

17、x(0,+)x(0,+)时，时，f(x)f(x)0.0.故故f(x)f(x)在在(-,0)(-,0)单调减少，在单调减少，在(0,+)(0,+)单调增加单调增加. .(2)f(x)=ex-1-2ax(2)f(x)=ex-1-2ax，由，由(1)(1)知知ex1+xex1+x，当且仅当，当且仅当x=0 x=0时等号成立时等号成立. .故故f(x)x-2ax=(1-2a)x,f(x)x-2ax=(1-2a)x,从而从而(cng r)(cng r)当当1-2a01-2a0，即，即a a 时，时，f(x)0(x0)f(x)0(x0)，而而f(0)=0f(0)=0，于是当，于是当x0 x0时，时，f(x)0.f(x)0.由由exex1+x(x0)1+x(x0)可得可得e-xe-x1-x(x0).1-x(x0).12第34页/共37页第三十四页，共38页。从而当从而当a a 时，时，f(x)f(x)ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a),故当故当x(0,ln2a)x(0,ln2a)时，时，f(x)f(x)0 0，而，而f(0)=0f(0)=0，于是于是(ysh)(ysh)当当x(0,ln2a)x(0,ln2a)时，时，f(x)f(x)0.0.综合得综合得a a的取值范围