对面积的曲面积分

1、第 四 节 对 面 积 的 曲 面 积 分4.1学习目标了解对面积的曲面积分的概念、性质,掌握对面积的曲面积分的计算方法,会用曲面积分求一些几何量与物理量 .4.2内容提要1.定义设函数f x, y,z在光滑曲面上有界,将曲面 任意分成n小块 s( Si也表示第i小块曲面的面积),在 Si上任取一点 M/ i, i, i),作乘积f( i, i, i) Sin(i 1,2丄,n),并作和f i, i, i s,记各小曲面直径的最大值为,如果对曲i 1面的任一分法和点(i, i, i)的任意取法,当0时,上述和式的极限都存在且相等,那么称此极限值为函数 f x,y,z在曲面上对面积的曲面积分或第

2、一类曲面积分,记nf (x,y,z)dS lim0 i 1 f( i, i, i) S 【注】定义中的“Si是面积元素,因此,Si 0 2性质 关于曲面具有可加性,假设12,且1与2没有公共的内点,贝Uf(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ;1 2 当被积函数为1时,积分结果在数值上等于曲面的面积S,即f (x, y, z)dS S 3.对面积的曲面积分的计算设曲面 由z z x, y给出,在xoy面上的投影区域为 Dxy,函数z z x, y在Dxy上具有连续偏导数,被积函数 f (x, y,z)在 上连续,那么f (x, y,z)dSDxyf(x, y,z(x

3、,y)dxdy同样地:x x y,zf (x, y, z)dSDyzx y,z , y,zdydz ,2:y y z,xf(x,y,z)dSf x, y z,x ,zDxz2y1 yxdzdx 4对面积的曲面积分的应用设曲面上任意一点x, y, z处的面密度是x, y, z曲面的质量x, y, z dS.曲面的质心x,y,zx,y,zdS,x,y,z dSz x, y, z dS曲面的转动惯量2yIxx,y,zdSIyx,y,z dS,Izx,y,z dS,Io2z x, y, z dS .4.3典型例题与方法基此题型I :计算对面积的曲面积分 例1填空题、 2 2 2 .设：X y z 4,

4、/ 2那么o(x2y )dS解由积分区域的对称性知2乙xdS2 2 y dS ? zdS而积分在上进行,x2z24,代入上式得,128故应填"T例2选择题2a z o,1为 在第一卦限中的局部,那么有(A)xdS4 xdS ；( B)ydS 4 xdS ；1(C)zdS4 xdS1；(D)xyzdS 4 xyzdS1解由于曲面是上半球面,f2(x, y, z) xyz都是变量关于yoz面对称且被积函数 f1x,y,z x ,x的奇函数,于是xdS xyzdS 0 .类似地,关于xoz面对称且f3(x, y,z) y是变量y的奇函数,于是ydS 0 .而 xdS 0, xyzdS 0

5、,1 1故应选(C).事实上,由对称性,zdS 4 zdS, zdS xdS , (0正确.1 1 1【方法点击】 在计算对面积的曲面积分时,应注意以下技巧：(1) 利用对称性,但要注意,曲面关于某坐标面对称,被积函数关于相应变量具有 奇偶性,两者缺一不可.(2) 利用积分曲面的方程化简被积函数.例3计算曲面积分 (2x 2y z)ds,其中 是平面2x 2y z 20被三个坐标面所截下的在第一卦限的局部解法一 :z 2 2x 2y, zx2, Zy2 .在xoy平面上的投影是三角形,记为D: 0 x 1,0 y(2x 2y z)ds2g1 Zx2 Zy2dxdyD6dxdy 3.解法二 (2

6、x 2yz)ds 2dS2 2 223.210【方法点击】在解法二中,将曲面方程代入到了曲面积分里,由于积分曲面是一个三角形,最后用到了三角形的面积公式 例4计算I(x2 y2)dS, 为立体；x2 y2 z 1的边界.【分析】根据积分曲面 的方程,确定投影区域,计算曲面面积微元dS,将曲面积分转化为投影区域上的二重积分进行计算.解设1为锥面z , x2 y2,0 z 1,在1上,2zy dxdy *'2 dxdy ,图4-11局部,在2上,dS dxdy ,在xOy面的投影区域为D : x1,所以2 2 2I (x y )dS + (x1 22y )dS(、2 1) (x2y2)dx

7、dyD例5计算 z2dS,其中为x24介于z 0, z 6之间的局部【分析】积分曲面如图11-13所示,此积分为对面积的曲面积分, 积分曲面 关于xoz面,yoz面对称,被积函数是偶函数,那么有z2dS = 4 z2dS,故可利用对称性解之解设1 :x 4 y2,其在yoz面的投影域为Dyz :2 2 2 2z dS = 4 z dS=4 z dzdy1Dyz4 y4 6z2dz0dy288y图4-2【注】该题不能将积分曲面向xoy面作投影,由于投影为曲线,不是区域.基此题型II :对面积的曲面积分的应用1例6求物质曲面S:z (x2 y2)(0 z 1)的质量,其面密度z(x,y,z) S)

8、.2解S在xoy平面上的投影区域 D : x2 y2(、2)2.于是,所求质量为 M1 2 2尹2 y2)dS(x2y2), 1 x2 y2dxdy例7试求半径为 R的上半球壳的质心,其各点的密度等于该点到铅锤直径的距离.解以球心为原点,铅锤直径为z轴建立直角坐标系,那么球面方程为x2y2z2r2 ,且任意点M (x, y, z)处的密度为设球壳的质心坐标为(x,y,z),由对称性知, x y 0 .z dS其中为上半球面z. R2x2y2 ,dSz2z21dxdyxyRdxdyR2 x2 y2,于是球壳的质量为 其中D为 在xoy面上的投影域：X2 y2 R2 利用极坐标计算上述二重积分,得

9、4R4R,于是半球壳的质心坐标为(0,0, 丁)2 r43故Z卩3324.4教材习题解答1.有一个分布着质量的曲面,在点(x, y,z)处它的面密度u(x, y, z),用对面积的曲面积分表示这曲面对于x轴转动惯量.解：假设u(x, y, z)在曲面上连续,应用元素法,在曲面上任取一直径很小的曲面块dS,设(x,y,z)使曲面块dS内的一点,那么由曲面块 dS很小,u(x, y, z)的连续性可知, 曲面块dS的质量近似等于u(x,y,z)dS,这局部质量可近似看作集中在点(x, y,z)上,该点到x轴的距离等于x2 y2,于是曲面对于x轴的转动惯量为：2 2 2 2dI x (z y )u(

10、x, y,z)dS,所以转动惯量为：lx (y z )u(x,y,z)dS2 按对面积的曲面积分的定义证实公式f (x, y, z)dS f (x, y, z)dS f (x, y, z)dS,其中 由 i 和 2 组成1 2证实：由于f(x, y,z)在曲面上对面积的积分存在,所以不管把曲面怎样分割,积分和总保持不变,因此在分割曲面时,可以永远把 1和2的边界曲线作为分割线,从而保证 Si整个位于 i上,于是 上的积分和等于 1上的积分和加上 2上的积分和,即令各小块的直径的最大值趋向于0,去极限得到：f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS1 23.当 时xoy面内

11、的一个闭区域 D时,曲面积分f(x,y,z)dS和二重积分有什么关系.解：当 时xoy面内的一个闭区域 D时,在xoy上的投影区域即为 D , 上的f (x, y,z)恒为 f (x, y,0),并且 Zx Zy 0,所以 f(x,y,z)dS f (x, y,0)dxdy ,即曲面积分与二重积分相等.4计算曲面积分f x,y,zdS,其中 为抛物面z 2 x2 y2在 xoy面上方的部分,f x, y, z分别如下:2 2(2) f x, y,z x y ; (3) f x, y, z 3z .解(2)f x, y,zdS= x2Dxy222r y .1 z x zy dxdy,其中Dxy为

12、在xoy面上的投影区域,即2 2DXy : x y 2 z 0 .于是f x,y,zdS=x2 y2 1 4(x2 y 2)dxdyDxy14149(3) f x, y,zdS=32 x2 y21 4(x2 y2)dxdyDxy2 23d 20 04 2 d1117q5.计算x2 y2 dS,其中是:(1)锥面z.x2 y2及平面z 1所围成的区域的整个边界曲面(2)锥面z2 3(x2 y2)被平面z 0和z 3所截局部.解(1)设 中属于锥面局部为1,上底面局部为2,而1与2在xoy面上的投影区域均为Dxy : x2 y21 z 0,所以x2 y2 dS= x2 y2 dSx2 y2 dS1

13、 2(2 )所截的锥面为：z 3. x2 y2(Dxy ：x2 y23),所以(x2 y2)dS2(x2 y2)dxdy 9Dxy6计算以下对面积的曲面积分:(1)4(z 2x 3y)dS,其中为平面；兀1在第一卦限中的局部4解 z 4 2x y, dS(4)2dxdy3迢 dxdy33(2)(2xy 2x2 x z)dS,其中 为平面2x 2y z 6在第一卦限中的局部4 2x(3)(x y43y,z)dS,其中为球面x2 y2 z2 a2上z h(0 h a)的局部dS ,1( 2)2 ( 2)2dxdy 3dxdy厂xy2,dS J (2 ,22； y2)2 (2a22j2)2dxdy y(4)(xy yz zx)dS,其中 为锥面z x2 y