历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选含答案

1、(一)1 .在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如 右图所示，则相应的俯视图可以为2 .已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB 6, BC 24,则棱 锥O ABCD的体积为3 .如图，四棱锥P ABCm，底面ABC叫平行四边形，/ DAB=60 ,AB=2AD,PDL底面 ABCD.(I )证明：PAL BR(H )若PD=AD求二面角A-PB-C的余弦值。(一)1 .D2.8 33.解：(I )因为DAB 60 , AB 2AD , 由余弦定理得 BD V3AD从而 BD+AD= AB2,故 BD AD又PD底面ABCD可得BD PD所以BD平面PAD.故PA BD(I

2、I)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线 DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D- xyz,则A 1,0,0 , B 0,73,0 , C1显，P 0,0,1 0设平面PAB的法向量为n=(x, y, z),urn n AB 0, urn 则 n PB 0,因此可取n=( 3,1, /3)mu设平面PBC的法向量为m,则m PB uuum BC0,0,可取m= (0, -1 , 邪)cos m, n42 72.71故二面角A-PB-C的余弦值为2 77(二)1 .正方体ABCD-AB1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为2 .已知圆。的半径为1PA、uuv uuvPB为该圆

3、的两条切线，A B为俩切点，那么PA?PB的最小值为(A)4 、2(B)(C)4 2.2 (D)3 2.23 .已知在半径为2的球面上有A、D四点，若AB=CD=2M四面体 ABCD勺体积的最大值为(A) 2- 3(B) 4-33(C)23(D)4.如图，四棱锥S-ABC并，SD 底面ABCDABDC,ADAB=AD=1DC=SD=2E为棱SB上的一点，平面 EDCSBC .(I)证明：SE=2EB8. 3(n)求二面角A-DE-C的大小.(二)1. D 2. D 3. B 4.解法一:(I)连接BD,取DC的中点G,连接BG,由此知 DG GC BG 1,即 ABC为直角三角形，故 BC B

4、D.又SD 平面ABCD,故BC SD ,所以，BC 平面BDS,BC DE.作BK EC,K为垂足，因平面 EDC 平面SBC ,故BK 平面EDC, BK DE,DE与平面SBC内的两条相交直线 BK BC都垂直DEL平面 SBC DE! EC,DE! SB所以，SE=2EB(n)由 SA JSD2 AD2 痣,AB 1,SE 2EB,AB SA知 22,12AE . SA AB 1,又 AD=1 . ,33故ADE为等腰三角形.取 ED 中点 F,连接 AF ,则 AF DE,AF JaD2 DF 2 . 3连接 FG ,则 FG / /EC, FG DE .所以， AFG是二面角A D

5、E C的平面角.连接 AG,AG=,2, FG DG2 DF2 - ,3222cos AFGAF2 FG2 AG22gAF gFG所以，二面角A DE C的大小为120° 解法二:以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz,设 A(1,0,0),则 B(1,1,0),C(0,2,0),S(0,0,2)uuuuuur(I) SC (0,2,-2), BC (-1,1,0)设平面SBC的法向量为n=(a, b, c) ruuuuuu uuu uuu由 nSC,nBC,得 ngSC0, ngBC0故 2b-2c=0,-a+b=0令 a=1,贝U b=c,c=

6、1,n=(1,1,1)uur uuu又设SE EB (0),则设平面CDE的法向量m=（x,y,z）由 m DE,m DC ,得m DE 0 , m DC 0故之111令 x 2,贝 Um (2,0,).0,2 y 0.由平面 DEC1平面 SBC导 ml n, mgn 0,20,2故 SE=2EB2 2 2. .1 1 1 UUJU 211(n)由(I)知 E(-,-,-),取 DE的中点 F,则 FAgFA (-,-,-), 3 3 33 3 333 3uuu uuur故FAgDE 0 ,由此得FA DEuur 24 2uuur uuur又 EC (-,-,-),故 ECgDE 0 由此得

7、 EC DE, 3 3 3 uuu uuu向量FA与EC的夹角等于二面角 a DE C的平面角于是uur uur cos(FA, EC)uuu uurFAgECuuu ur|FA|EC|所以，二面角 a DE C的大小为120o（三）1.已知三棱柱ABC AB1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线 AB与CC1所成的角的余弦值为（(A) -I4(B) -14(O 二(D)1.解：设BC的中点为D,连结aD,直线AB与CCi所成的角，由AR易知三角余弦AAB定理即为异面,易知2 .已知二面角l为60o，动点P、Q分别在面a、 B内，P至IB的距离为 回Q到

8、a的距离为2出,则P、Q两点之间距离的最小值为()(A)(B)2(C)2 3(D)43 .直三棱柱ABC A1BC1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AA 2 ,BAC 120 ,则此球的表面积等于 。4 .如图，四棱锥 S ABCD中，底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD , AD 版,DC SD 2 ,点 M在侧棱 SC上， ABM =60°(I )证明：M在侧棱SC的中点(II )求二面角S AM B的余弦值。(三)AD AD 3cos cos AAD cos DAB- .故选 DAA AB 45 .解：如图分别作QA 于A,AC l于C,PB于B,PD l于 D ,连

9、CQ,BD则 ACQ PBD 60 , AQ 2 .3, BP 3 , AC PD 2 又 QPQ JAQ2 AP212 AP2 2 3当且仅当AP 0,即点A与点P重合时取最小值。故答案选 Co6 .解：在ABC中AB AC 2 , BAC 120，可得BC 2百，由正弦定理，可得ABC外接圆半径r=2设此圆圆心为O ,球心为。，在RT OBO中，易得球半径R 收，故此球的表面积为4 R2 20 .解法一：(I )作ME / CD交SD于点E,则ME / AB , ME 平面SAD 连接AE,则四边形ABM时直角梯形作MF AB,垂足为F,则AFM助矩形.(2 x)2 2设 ME x ,贝U

10、 SE x , ae Jed2 ad2 由 MF FB?tan60，得或2 x)2 2 73(2 x) 解得x 11 即ME 1 ,从而ME -DC2所以M为侧棱SC的中点(n) MB JBC2 MC2 2,又 ABM 60o, AB 2,所以 ABM 为等边三角形,又由(I)知M为SC中点SM V2, SA >/6, AM 2 ,故 SA2 SM2 AM 2, SMA 90o取AM中点G,连结BG取SA中点H,连结GH则BG AM ,GH AM ,由此知BGH为二面角S AM B的平面角连接BH ,在BGH中，BG2 GH 2 BH 2. 6所以cos BGH 2?BG?GH3解法二：

11、以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系 D-xyz设 A(近0,0),则 B(衣 2,0), C(0,2,0), S(0,0, 2)(I )设 SM MC( 0),贝fj又 AB (0,2,0), MB, AB60o> MB?AB |MB |?|AB|cos60o即 4 .（2 （/）2 （一）2 111解得 1,即SM MC所以M为侧棱SC的中点（II ）由 M （0,1,1）, A（衣0,0）,得 AM的中点 G（走,1,1） 2 2 2.231又 GB （, ，-）,MS （0, 1,1）,AM（、.2,1,1）2 22所以 GB AM, Ms AM因此（G

12、B,MS）等于二面角S AM B的平面角（四）1 .已知三棱柱ABC AB1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为 ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）A. 1B. 9 C. JD. 22 .等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB ,二面角C AB D的余弦值为 叵,M N分别是AC BC的中点，则EM AN所成角的余弦值等于 .33 .（本小题满分12分）四棱锥A BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC 底面 BCDE , BC 2 , CD 72, AB AC .（I ）证明：AD CE ;（II）设CE与平面ABE所成的角为45o,求二面角

13、C AD E的余弦值.CD（四）1.B 2.答案：-.63 .解： 作ACL BG垂足为O,连接OD由题设知，AO底面BCDE且。为BC中占由 OC CD 工知，RtACdDo RtACDECD DE .2从而/ CDCM CED 于是 CEL CD由三垂线定理知，AD! CE（II ）由题意，BE! BG所以BE1侧面ABC又BE侧面ABE所以侧面ABEL侧面ABC作CF，AB,垂足为F,连接FE,则CF，平面ABE故/ CEF为CE与平面ABE所成的角，/ CEF=45由 CE=V6 ,得 CF=<3又BC=2因而/ ABC=60 ,所以4 ABC为等边三角形作CGL AD,垂足为G

14、,连接GE由（I）知，CE± AD,又 CEH CG=C故AD1平面CGE AD±GEE, / CG虎二面角 C-AD-E的平面角。rn_AC CD 222CGF右、3DEGE=AD2 (；DE)2AD4E.310 A632. 101070"4CG2 GE2 CE23COS Z CGE= -32CG GE,3.3解法二：(I )作AOLBC,垂足为O,则AOL底面BCDE且立如图所示的直角坐标系O-xyz.O为BC的中点，以O为坐标原点，射线 OC为x轴正向，建设A (0,0,t ),由已知条件有C(1,0,0), D(1,.2,0), E(-1,2,0),所以 CE AD 0 ,得 ADL CE(II )作CF,AB,垂足为F,连接FE,设 F (x,0,z )则 CF =(x-1,0,z),故 CF± BE,又 AB