含绝对值不等式的解法(含答案)

1、含绝对值的不等式的解法一、 根本解法与思想解含绝对值的不等式的根本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为 不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。一、公式法：即利用x a与x a的解集求解。主要知识：1、绝对值的几何意义：x是指数轴上点x到原点的距离；x1 x2是指数轴上x1 , x2 两点间的距离.o2、x a与x a型的不等式的解法。当a 0时，不等式x 的解集是xx a,或xa不等式x a的解集是x a x a ；当a 0时，不等式x a的解集是xx R不等式|x a的解集是 ；3. ax b c与ax b c型的不等式的解法。把ax b看作一个整体时，

2、可化为 x a与x a型的不等式来求解。当c 0时，不等式ax b c的解集是 xax b c,或ax b c不等式ax b c的解集是x c ax b c ；当c 0时，不等式ax b c的解集是xx R不等式a bx c的解集是 ；例1解不等式x 2 3分析：这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ x 2看着一个整体。答案为 x 1 x 5。(解略)a(a 0),二、定义法：即利用a 0(a 0),去掉绝对值再解。a(a 0).例2。解不等式I-I - ox 2 x 2分析：由绝对值的意义知，a aa> 0, a a a00。解：原不等式等价于-<0

3、x 2x(x+2) <0-2<x<0o三、平方法：解f(x) |g(x)型不等式。例3、解不等式|x 1 2x 3。解：原不等式(x 1)2 (2x 3)2(2x 3)2 (x 1)2 04(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<0 x 2。3说明：求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。例4解不等式x 1 |x 2 5。分析：由x 1| 0"x 2 0,得x 1和x 2。2和1把实数集合分成三个区间，即x 2,2 x 1, x 1,按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间

4、讨论。解：当x<-2时，得x 2,解得：3x2(x 1) (x 2) 5一 2 x 1一 一当-20x01 时，得 2 x 1, 解得： 2 x 1(x 1) (x 2) 5, 一 x 1当x 1时，得x I,解得：1 x 2(x 1) (x 2) 5.综上，原不等式的解集为x 3 x 2。说明：(1)原不等式的解集应为各种情况的并集；(2)这种解法又叫“零点分区间法，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意 边界值。三、几何法：即转化为几何知识求解。例5对任何实数x，假设不等式|x 1 x 2 k恒成立，那么实数k的取值范围为()(A)k<3(B)k<-3(C)k &l

5、t;3(D) k<-3分析：设y |x 1 x 2,那么原式对任意实数x包成立的充要条件是k ymin，于是题 转化为求y的最小值。&OQO1-x -102解：x 1、x 2的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离|x 1-|x 2的几何意义 为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3,应选B。实用文档.四、典型题型1、解关于x的不等式x2 3x 8 10解：原不等式等价于 10 x2即 x： 3x 810x 3x 8 103x 8 10 ,x1或 x26x3原不等式的解集为(6, 2),一 12、解关于x的不等式22x 3(1,3)2x 3 0解：原不等式等价于

6、12x 3 23、解关于x的不等式2x 1 x 23 x -257x 44解：原不等式可化为(2x 1)2 (x 2)2. (2x 1)2 (x 2)2 0即(x 3)(3x 1) 01解得：1x331原不等式的解集为(1,3)34、解关于x的不等式2x 1 2m 1 (m R)1解：(1)当2m 1 0时，即m 1,因2x 1 0,故原不等式的解集是空2集。当2m 1 0时，即m(2m 1) 2x 1 2m 1解得：1 m x m综上，当mx1mxm11 .1时，原不等式解集为空集；当m 1时，不等式解集为225、解关于X的不等式2x 1解：当X3时,得x 3(2x 1)(x3)1,无解当3

7、 x L得 3 x万，解得：2(2x 1) x x 3 11 1. .1当x 1时，得x 2，解得：x -2 23 2x 1 x x 3 12.、一 .一 31综上所述，原不等式的解集为(3, 1)426、解关于x的不等式x 1 x 2 5答案：(，3 2,)解：五、稳固练习1、设函数f(x) 2x 1 x 3,则£( 2)=; 假设f(x) 2,那么x的取值范围是.2、a R,假设关于x的方程x2 x a 1 a 0有实根，那么a的取值范围4是.x 13、不等式 1的实数解为.x 2|4、解以下不等式(1) 4x 3 2x 1； |x 21 | x 1|； |2x 1| | x 2

8、1 4； 4 |2x 3| 7 ； |x 1 4 2; x2 a a a R5、假设不等式|ax 2 6的解集为1,2 ,那么实数a等于A. 8B. 2C. 4D. 86、假设x R,那么1 x 1 x0的解集是A. x 0 x 1 B. x x 0且 x 1 C. x 1 x 1 D.xx 1且 x 17、1对任意实数x, |x 1| |x 2| a何成立，那么a的取值范围是；2对任意实数x, |x 1| |x 3| a何成立，那么a的取值范围是；3假设关于x的不等式|x 4| |x 3| a的解集不是空集，那么a的取值范围 是；8、不等式x2 10 3x的解集为A. x|2 x 10 B.

9、 x| 2 x 5D. x|a/T0 x 59、解不等式：x 1 2 x 2x 2 x 210、方程xx 的解集为x 3x x 3x是;12、不等式x (1 2x) 0的解集是1 1A.(,-)B.(,0) (0,-)2 2D. (0,2)11、不等式3 5 2x| 9的解集是A. , 2 U 7,B. 1,4D. 2,1 U 4,7 12、不等式x 2 a (a 0)的解集为x R| 1 xC. x|2 x 5C. 2,1 U 4,7c ,求a 2c的值3; 2x 3 1 a (aR)13、解关于x的不等式：解关于x的不等式|mx 1 14、不等式1 |x 1| 3的解集为.A. (0,2)

10、 B.( 2,0) U (2,4) C. ( 4,0) D. ( 4, 2)U (0,2)15、设集合 A x|x 2 2,x R , B yy x2, 1 x 2 ,那么 Cr AClB 等于 ()A. RB. xx R,x 0C. 0D.16、不等式2x 1 x 1的解集是.17、设全集U R,解关于x的不等式： x 1 a 1 0 x R参考答案1、6; _2、_0,43、（2-2,2)1 ,、4、(1)xx -或x 231 xx -2一 1 ,、7 x 2 x 一或一x 5 2 2,、1 3, xx 一或x 1 25 x 1或 3 x 7当a 0时，x U 2ax j2a ；当a 0时，不等式的解集为5、C6、D8、C9、 xxxx 减x 011、D1213、当m 0时，x7、 a 3 ； (z1 f 5一a或 x 10、 x2 2152R；当 m 0时，一 x ma 4 ； a 7 ；3 x 2 或 x 0 ；4 t -4一；当 m 0时，一 xmm当a 1 0 ,即a当a 1 0,即a 14、