极限的计算方法与应用的探讨毕业论文

1、 学号： 10124090329 毕业论文题目：极限的计算方法与应用的探讨 Title：The Calculation Method Of Limit And ApplicationI摘要 极限理论是微积分的基础，在数学分析中占有重要的地位，在实际生活中极限也有着广泛的应用。本文从数列极限、函数极限和二元函数极限的概念及性质出发，通过总结和归纳，概括出数列极限、函数极限和二元函数极限的求解方法，以及阐述极限的应用。 关键词：极限 夹逼准则 黎曼引理 应用举例abstract Limit theory is the foundation of calculus, occupies an impo

2、rtant position in the mathematical analysis, and limit also has been widely used in real life. The paper begins with the concept of sequence limit and function limit and nature , through the summary and induction, outlines sequence limit and the method of function limit ,and the application of this

3、limit. Key words: Limit; Rule of clamp force; Riemann lemma; Application.目录摘要IabstractII引言11 极限的定义与性质31.1数列极限的定义与性质31.1.1数列极限的定义31.1.2 数列极限的性质31.2函数极限的定义与性质41.2.1函数极限的定义41.2.2函数极限的性质42.极限的计算方法52.1数列极限的计算方法52.1.1利用极限的定义求数列极限52.1.2利用极限的运算法则求数列极限52.1.3利用初等变形理论求数列极限62.1.4利用“单调有界数列必有极限”求数列极限62.1.5利用夹逼准则求

4、数列极限72.1.6利用变量替换求数列极限82.1.7利用定积分定义求数列极限82.1.8利用黎曼引理求数列极限92.1.9利用级数收敛法求数列极限102.1.10利用递推的方法求数列极限112.1.11利用斯笃兹（stolz）定理求数列极限112.1.12构造新数列法求数列极限122.1.13 Euler常数法求数列极限122.2函数极限的计算方法132.2.1 利用两个重要极限求函数极限132.2.2利用函数的连续性求函数极限142.2.3利用导数定义求函数极限142.2.4 利用洛必达法则求函数极限142.2.5 利用有界变量与无穷小的乘积是无穷小求函数极限152.2.6 利用中值法求函

5、数极限162.2.7利用泰勒展开式或麦克劳林公式求函数极限162.2.8利用数列的极限与函数的极限等值求极限173 极限的应用193.1几何应用计算面积193.2购房按揭贷款分期还款193.3连续复利问题203.4谣言传播问题的研究203.5城市垃圾的处理问题213.6市场经营中的稳定性问题223.6.1零增长模式223.6.2不变增长模型23小结24参考文献25 引言引言极限是函数论的重要内容，是贯穿整个微积分的主线。它描述了变量在运动过程中变化趋势，是从有限认识无限、从近似认识精确、从量变认识质变的必备的推理工具。极限思想是近代数学的一种重要思想，它源于实际生活的解决。极限思想可以追溯到古

6、代，例如我国战国时期的道家代表人物庄子就有了原始的极限思想。据庄子.天下篇记载中的截杖问题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，也就是说，一根一尺棒，每天截取一半，这样的过程可以永无止境地进行下去，把每天截后剩下部分的长度记录为（单位为尺）：第一天剩下，第二天剩下，第三天剩下，···第天剩下，由此得出无穷数列：，即当无限增大时，越来越接近于，但不会等于0，当然会“万世不竭”。我国魏晋时期杰出的数学家刘徽在其九章算术中叙述了用割圆术确定圆的面积的方法。割圆术就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣”。对于一个给定的圆，其面积是一个确定的

7、常数，如何求出该圆的面积呢？首先在圆内作内接正六边形，算出其面积并记为，再作圆内接正十二边形，算出其面积并记为，依次做下去，一般地把圆内接正边形的记为，这样就得到一个圆内正多边形面积的数列：。随着的增大，圆内接正多边形的面积与圆的面积无限接近。古希腊的数学家安提芬在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想，表述为穷竭法。后来古希腊数学家欧多克斯改进了安提芬的穷竭法。将其表述为:“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”。无论是中国古代数学家刘徽提出的割圆术，还是古希腊数学家提出的穷竭法都蕴含了极限思想。希腊的大数学家阿基米德运

8、用穷竭法求出了抛物弓形的面积、球的表面积、球冠面积、螺线下的面积、旋转双曲体积等辉煌成果。他还提出了相当于现在无穷小量的概念，为近代的极限理论打下了基础。在19 世纪，法国的数学家柯西提出了极限概念，但在他的著作中常用语言叙述的方法给出，例如“一个变量趋于一个极限”、“变为且保持小于任意给定的量”等，他一方面排除了无穷小的形而上学的绝对存在，而在某些情况下却又把无穷小当作某种独立的量来使用，没有完全正确地运用极限理论来定义什么是无穷小量。1广东石油化工学院毕业论文:极限的计算方法与应用的探讨 19 世纪后半叶，德国的魏尔斯特拉斯才明确而又全面地给出了现今所采用的极限定义。用静态的方法，刻画了动

9、态的极限概念和连续概念。他消除了柯西的语言叙述的繁琐，成为我们现在使用的极限定义。先辈们通过不懈努力研究发现了极限的思想，对我们产生巨大的影响。本文在前人的基础上，通过典型实例，对极限的计算方法与应用做了整理和归纳，为学习极限的初学者提供参考和对工程技术人员提供借鉴。29 1 极限的定义与性质1 极限的定义与性质1.1数列极限的定义与性质1.1.1数列极限的定义 定义 设为数列，为有限常数，若对任意给定的正数，总存在正整数，使得当时，有 ，则称数列的极限是常数或称数列收敛于常数，记为：若数列不存在极限，则称数列发散。数列的极限是，用逻辑符号可简要表示为：1.1.2 数列极限的性质性质1（唯一性

10、） 若数列收敛，则它的极限是唯一的。性质2（有界性） 若数列收敛，则数列有界，即 第三章 收敛极限的性质性质3（保序性） 若与，且，则 .推论3.1 若与，且 .推论3.2 若，且，则， 有. 性质4（四则运算法则）设及存在，则（1）（2）（3）1.2函数极限的定义与性质1.2.1函数极限的定义 定义 设函数在区间上有定义,是有限数.若 ，有，则称函数（当时）存在极限或收敛,极限是或收敛于，表为 或 .函数（）的极限的定义与数列的极限定义很相似，这是因为它们的自变数的变化趋势相同，但是二者也有差异，即自变数的变化形态不同，函数的自变数取区间的一切数学连续地无限增大，而数列的自变数只取一切正整数

11、离散的无限增大。1.2.2函数极限的性质函数极限与数列极限具有类似的唯一性，有界性、保序性和四则运算法则，上面已阐述了数列极限的性质，这里就不再重复赘述函数极限的性质，需要注意的是，因为有6种极限过程，所以每一种性质都有6种表述形式。1.3二元函数极限1.3.1二元函数的定义定义 若是从到实数集上的一个映射，则称是一个二元函数，为的定义域，是其值域，记为.1.3.2二重极限的定义定义 设定义在上的二元函数，为的聚点，是一个定常数，若对，使当时，有，则称在上当时，以为极限，记为.注：若，则极限用坐标表示为：若为的聚点，对，当，且时，恒有，记为.1.3.3二次极限（也叫累次极限） 定义 形如和的极

12、限，分别称为先后和先后的二次极限。注：两个二次极限若都存在，可未必相等，也可以一个存在，另一个不存在。二次极限和二次极限的关系：（1） 无蕴含关系：即二次极限存在，两个二次极限未必存在；两个二次极限存在且相等，二重极限未必存在。（2） 联系：若二重极限与二次极限都存在，它们必相等。2 极限的计算方法2.极限的计算方法 极限的计算方法多种多样。一般来说，我们要首先证明极限的存在性，然后，再寻找合适的方法来计算极限。当然求极限的方法很多，细分则更多，其中有极限的定义、夹逼准则、确界定理、洛比达法则及stolz定理定积分等方法在极限的计算较多使用。下面我们来看极限计算的几种方法。2.1数列极限的计算

13、方法2.1.1利用极限的定义求数列极限通常我们必须事先知道的极限的猜测值，对于给定数列，一般可以通过直接求解不等式得出，其步骤如下：第一步：，求出使成立的所要满足的条件寻找；第二步：取出，我们以例题来说明。 例1：证明，这里。2.1.2利用极限的运算法则求数列极限对和差积商形式的数列求极限,自然会想到运用极限的四则运算法则去计算,但是为了能够自然使用这些法则,往往需要先对数列作某些恒等变形或化简,但要采用怎样的变形和化简还是要根据具体的算式来确定,一般来说常用的有分式的分解,分式的约分或通分,分子或分母的有理化和三角函数的恒等变形等。 例2：求极限解：将分式的分子与分母同用除之，再根据运算法则

14、有2.1.3利用初等变形理论求数列极限对于某些较繁琐的数列，可用初等变形的方法将其变形，转化为一个简单的数列，然后再对之求极限。 例3：求极限解： 2.1.4利用“单调有界数列必有极限”求数列极限单调有界定理 单调有界数列必有极限。递推数列极限的计算是数列极限计算中的一大类问题，“单调有界准则”是判别递推数列敛散性的最常用的一种方法，它无需借助于其他数列而直接利用所给数列自身的单调性和有界性来判别。方法：（1）由先判断数列单调，即判断的正、负或判断比1大还是小；（2）假设的极限存在，并估算极限，计算判断数列有界；（3）求数列的极限。例4：求下面给定数列的极限：，.解：（1）当时，则（2） 假设

15、当时，有成立， 那么当时，（），也成立 故，即单调递增 又 即有上界2，由定理可知，存在极限设，由得，即，解得或，又因，从而2.1.5利用夹逼准则求数列极限 夹逼准则：若，则利用夹逼准则求极限的关键是将所求极限的数列适当地放大和缩小，使得放大和缩小的2个新数列的极限值相等，则原数列的极限值存在且等于新数列的极限值。例5： 解：记，显然，所以有即，故例5：计算 2.1.6利用变量替换求数列极限有时为了将已知的极限化简，可根据原式的特点，适当的引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。例6：求极限解：令，则2.1.7利用定积分定义求数列极限定积分定义 设函数在有定

16、义，任给一个分法和一组，有积分和，若当时，积分和存在有限极限，设，且数与分法无关，也与在的取法无关，即，有，则称函数在可积，是函数在的定积分。定积分的定义是通过极限来定义的，如果数列的极限是某个可积函数特殊的一列积分和，那么数列的极限可以转化为计算定积分。关键是利用步骤：（1）通过恒等变形，将化为特殊形式的积分和；（2）寻找被积函数确定积分下限和上限，令，则被积函数为； (3)根据定积分的定义，得到； (4)计算定积分。 例7： 作变换，有 2.1.8利用黎曼引理求数列极限黎曼引理 设函数在上可积且绝对可积，则 方法：讨论数列在某个闭区间的可积性，若满足条件，利用黎曼引理即可。 例8：计算解

17、：在上可积，由黎曼引理可知， 2.1.9利用级数收敛法求数列极限 级数收敛定理 若级数收敛,则方法：给出一个数列，对应一个级数。如果能判定此级数是收敛的，就知道。这方法有很大的局限性，因为它只能判断部分以零为极限的数列，但是由于判断级数的收敛性方法比较多，因此在有些场合借用这种方法仍是方便的。例9：计算 解：由正项级数的比值收敛法： 因此，收敛， 从而， 2.1.10利用递推的方法求数列极限 利用递推公式计算极限，也是一种常见的方法，在这里首先需要验证极限的存在性，在极限存在的前提条件下，再根据极限的唯一性，从而解出所需要的结果.例10：设.求极限. 解：若极限存在，设极限值为，在递推关系中令

18、得， 解之得（另一负根舍去）. 下证确实是其极限值. 事实上， ， 由此递推关系立得 故2.1.11利用斯笃兹（stolz）定理求数列极限施笃兹定理 设数列单调递增趋于，而（有限或无穷），则 这一方法是利用斯笃兹定理及其推论。例11：计算解：记 显然单调上升趋于，于是： 2.1.12构造新数列法求数列极限利用构造新数列法求极限，一般是通过构造一个新的便于研究的数列，把它作为一个桥梁去研究原数列，这是数学里常用的方法之一.例12：设证明数列收敛，并求极限。解：令，则 因为 ，所以 即数列单增有上界，所以数列收敛，又由于且.故数列收敛，且2.1.13 Euler常数法求数列极限欧拉定理 序列收敛.

19、因此有公式式中称为欧拉常数,且当时，.利用Euler常数法求极限就是应用著名欧拉公式，例13：求极限解:原式 所以=.2.2函数极限的计算方法2.2.1 利用两个重要极限求函数极限两个重要极限是，由于该方法主要是利用类似于两个重要极限中的函数形式的特点来求极限，所以用这两个重要极限来求函数的极限时要看所给的函数形式是否符合或经过变化后符合这两个重要极限的形式时才能运用该方法求极限。 例14：求下列极限的值. （1），（2）.解 ：（1）=. （2） 注 以后还会用到的另一种极限形式：.事实上，令，则，所以例15：求.解：.2.2.2利用双侧极限函数极限存在的充要条件是左、右极限都存在且相等。例

20、：设，求解：因，所以不存在2.1.3运用等价无穷小求函数极限常用的等价无穷小有：当时，等，应该注意的是这种代换只能对积因子在商情况下使用。例：求解：原式=2.2.4利用函数的连续性求函数极限 一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果是函数的定义区间内的一点，则有.例16：求解：因为是函数的一个连续点， 所以原式2.2.5利用幂指函数求函数极限求这类极限的常用方法是先取对数，再求指数，把求幂的极限化为求积的极限。例：求的极限解：原式=，其中所以，原式=2.2.6利用导数定义求函数极限导数的定义 设函数在有定义，在自变数的该变量是，相应函数的改变量是，若极限 存在极限（有限数），称函数在可导

21、（或存在导数）。方法：利用导数的定义把极限的计算转换为在某一点处的导数。 例17：求 解：= 2.2.7 利用洛必达法则求函数极限 洛比达法则 若函数和满足：（）；（）在点的某空心邻域内两者都可导，且；（）（可为实数，也可为）， 则 洛必达法则只有直接适用于未定式，而等类型不定式也可经过简单的变换化为的极限，再用洛必达法则来计算，由于其分类明确，规律性强，且可以连续的进行运算，可以简化一些较为复杂的函数极限的计算过程，但是在运用时也不能忽视其它的一些技巧的运用。例18：（1）求.方法：这是型不定式极限，可直接运用洛必达法则求解，但若做适当的变换，在计算上可方便一些.解：令，当时有，于是有 .

22、（2）求. 这是型不定式极限，用恒等变形将它转化成型的不定式极限，并用洛必达法则即可得到。解：2.2.8 利用有界变量与无穷小的乘积是无穷小求函数极限 若与都是无穷小量,且时称与是等价无穷小量表示为.利用性质“无穷小量与有界量的乘积仍然是无穷小量”可解一些极限值例19：求 解 ：当时， 为无穷小量，为有界量 故2.2.9 利用中值法求函数极限 拉格朗日中值定理 若函数满足如下条件:（）在闭区间上连续；（）在开区间内可导,则在()内至少存在一点,使 例20：求.解：对函数在以和sin（）为端点的闭区间上用微分中值定理，有 ,即 ，在与之间.因为当时，有，所以 2.2.10 利用泰勒展开式或麦克劳

23、林公式求函数极限泰勒定理 若函数在存在阶导数，则，有 （1）其中，即是比的高阶无穷小。（1）式称为函数在（展开）的泰勒公式。若一个函数的表达式较为复杂时,看其是否可以展成泰勒展式。若能,则将一个表达式很复杂的函数化成一个多项式和一个无穷小量的和,而多项式的计算是较简单的,从而此法能简化求极限的运算.例21：求.方法：本题可用洛必达法则求解，可是较繁琐，在这里可应用泰勒公式求解.考虑到极限式的分母为，则用麦克劳林公式表示极限的分子（取=4） ， ， . 解：.2.2.11利用数列的极限与函数的极限等值求极限 归结原则 设在内有定义， 存在的充要条件是:对任何含于且以为极限的数列,极限都存在且相等

24、. 注1 归结原则也可简叙为: 对任何有. 注2 若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以以为极限的数列，使都存在而不相等，则不存在.数列是一种特殊的函数，而函数又具有连续、可微、可积等优良性质，有时我们可以借助于函数的这些性质将数列极限转化为函数极限，从而使问题得到简化。 例22：若，试求解 利用洛必达法则，有 故： 2.3二元函数极限的计算方法2.3.1利用定义法先求出一个累次极限，该累次极限是否为二重极限，再用定义验证。例：设，求解：事实上对任意，时，有即2.3.2利用复合运算性质和四则运算法则利用二重极限的四则运算和复合运算性质来求极限。例：求解：2.3.3利用取对数法对于

25、型常常通过取对数进行转化求得结果。例：求解：，令，故2.3.4用变量代换的方法利用变量代换把二重极限化为一元函数的极限或化为易于求解的二重极限，从而求得结果。例：求解：设，则当时，故时，取，则当，且时所以2.3.5等价代换法利用无穷小量的性质作等价代换求得结果。如当时，；等。例：求解：2.3.6迫敛法通过放缩使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，再利用迫敛性的性质求得结果。例：解：因为而 故3 极限的应用3 极限的应用 极限在实际中的应用非常广泛，下面将以举例的方式介绍极限在生活中的应用。3.1几何应用计算面积 例：求抛物线与两直线所围成图形的面积解：先将区间等分为个小区间，以这些 小区间为底

26、边，分别以为高，作个小矩形。这个小矩形的面积加在一起作为图形面积的近似值，即：这样我们就定义了一个数列,对每个而言，都小于欲求的“面积”，但是这两者之间的差别不会大于长为1，宽为的矩形面积，即，所以将区间无限细分，即当时，因此，我们将计算图形的面积归结为求数列极限的问题，即，这种求由曲线所围成图形面积的方法既简单又朴素，同时也体现了数列极限的重要性。3.2购房按揭贷款分期还款 消费贷款的还款（即按揭）大多为年金方式，故存在一些年金计算问题。下面主要对购房分期付款的基本计算问题做一些简单分析。设表示总的房款金额，表示首次付款比例，表示年利率，表示分期付款（贷款）的总年数，表示每月底的还款金额，则

27、有如下的价值方程：，进一步有： （2）其中上述是针对有限期限付清的情况，如果考虑永久期末年金：在每个付款期末付款上货币单位，直到永远。若将该年金的现值记为，则有计算公式：代入（2）式即可。 通过上述公式即可求出按不同还款方式每月底应还金额。3.3连续复利问题重要极限有明显的经济意义，在经济领域有着广泛的应用。假设本金为，年利率为，期限为年，按照本息和复利计算公式，得;这就是连续复利计算的模型。如果每年结算次，每期利率为，则年末的本息和为，这说明连续复利计算次数越频繁，计算利息的周期越短，计算所得的本息和数额就越大。当时，但不会无限增大。以本金为元，年利率为，为例，到期的本息和约为164872元

28、。这说明当本金不是非常大时，仅依靠利息难以致富。考虑到通货膨胀因素，通过在银行存款10年后能否保值还不确定。3.4谣言传播问题的研究 在传播学中有一个规律：在一定情况下，谣言的传播符合以下函数关系：，其中是时刻人群中知道此谣言的人数比例，都是正数。求，是时刻人群中知道此谣言的人数比例为.此函数图象也叫逻辑斯蒂曲线，逻辑斯蒂曲线通常分为5个时期：开始期、加速期、转折期、减速期、饱和期。这从数学理论上回答了谣言传播问题。例如“非典”时期的抢购板蓝根、白醋、口罩，甲流袭来时的抢购大蒜的“疯潮”，日本发生核辐射泄露后，一场全民参与的“抢盐风潮”等，当谣言迅速蔓延时突然而止。由此说明：随着时间的推移，最

29、终所有人都将会知道此谣言。3.5城市垃圾的处理问题据某市2010年末的统计资料显示，到2010年末，该市已堆积垃圾达100万吨。根据预测，从2010年起该市还将以5万吨的速度产生新的垃圾。如果从2011年起该市每年处理上一年堆积垃圾的20%，那么如此循环，该市的垃圾能否全部处理完成？设2010年后每年的垃圾数量分别是，根据题意，得以此类推，年后的垃圾数量：根据数列求和及极限的知识可知：所以随着时间的推移，按照这种方法并不能把所有的垃圾处理完，剩余的垃圾将会维持在某一个固定的水平。3.6市场经营中的稳定性问题投资者的交易行为是影响市场稳定性的重要因素，以股票为例，为尽量避免出现羊群行为，减少非理

30、性投资，我们需要对股票的内在价值（即未来收入现金流的现值）有较清晰的认识，从而决定是该购买还是该售出，作出理性选择.现在我们来针对不同的模型确定股票相应的内在价值。3.6.1零增长模式 假定股利增长率为0,因其内在价值如下 . （1）（-内在价值，股息(红利)，贴现率），现由假定知 ，所以此时股票内在价值为 . （2）知道股票的内在价值后，可求出其净现值，即内在价值减去市场价格，也即： .当，该股票被低估，可买入；当，被高估，不益购买.例 某公司在未来无限期支付每股股利为8元，现价65元，必要收益率10%，评价该股票.解：利用（2）式结论可求得该股票的内在价值为： .故该股票被低估，可以购买.

31、3.6.2不变增长模型 假定股利永远按不变增长率增长，即，代入（1）式得此时内在价值为 .（3）例：去年某公司支付每股股利1.80元.预计未来公司股票的股利按每年5%增长，假设必要收益率为11%，当每股股票价格为40元，评价该股票.解：利用（3）式的结论，由于，可知股票内在价值 ，故，该股票被高估，建议出售.小结极限是辩证思维逻辑中飞跃式思维形成的良好实践，它既让人们看到数列变化的“永无休止”，也看到无限变化过程中飞跃式“终结”。极限的计算是十分重要的内容。求解极限的方法很多，而且非常灵活，因此学会判断极限的类型，对于找到解决问题的方法是至关重要的，不同类型的极限问题，用不同的方法解决。本文在原有的知识体系基础上加以整理归纳，给出了极限的基本概念和性质，详细的介绍了具有代表性的各种求解方法，以及运用这些方法解决极限问题。在学习极限时，只有不断总结，不断完善知识理论和结构，才能在解题中对症下药，有所发现，有所创新。在实际生产和生活中极限的应用非常广泛，例如文中例举的连续复利问题，市场经营中的稳定性问题，购房按揭贷款分期还款等问题都与极限息息相关。因此对极限的研究必然会引起越来越多的关注。通过探讨极限在现实生活中的应用，我们对极限有了一个更系统的了解，给一些数学问题的讨