汇交力系力偶系

1、 平面汇交力系：平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内各力的作用线都在同一平面内且且 汇交于一点的力系。汇交于一点的力系。引引 言言 平面汇交力系平面汇交力系 平面力系平面力系 平面平行力系平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况平面力偶系是其中的特殊情况 ) 平面一般力系平面一般力系(平面任意力系平面任意力系)研究方法：几何法，研究方法：几何法，解析法。解析法。例：起重机的挂钩。例：起重机的挂钩。力系分为：平面力系、空间力系力系分为：平面力系、空间力系平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平平面特殊力系：指的是平面汇交力系、平面力偶系和平面平 行力系。行力系。2-1 2-1

2、平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法一、合成的几何法一、合成的几何法cos2212221FFFFR)180sin(sin1RF1.1.两个共点力的合成两个共点力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理：cos)180cos(由力的平行四边形法则合成，也可用力的三角形法则合成。BC2. 任意个共点力的合成任意个共点力的合成 ( 力多边形法）力多边形法）先作力多边形abcde再将R 平移至 A 点 即：平面汇交力系的即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力的合力的作用线通过各力的汇交点。汇交点。即：FRnFFFFR321结论：结论：

3、推广至 n 个力二、平面汇交力系平衡的几何条件二、平面汇交力系平衡的几何条件在上面几何法求力系的合力中，合力为在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：是：平面汇交力系平衡的充要条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：0FR或或矢量和矢量和力多边形自行封闭力多边形自行封闭力系中各力的力系中各力的等于零。等于零。例例 已知压路机碾子重已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过欲拉过h=8cm的障碍的障碍物。求：在中心作用的水平力物。求：在中心作用的水平力F

4、的大小和碾子对障碍物的压力。的大小和碾子对障碍物的压力。577. 0)(tg22hrhrr又由几何关系：又由几何关系：选碾子为研究对象选碾子为研究对象取分离体画受力图取分离体画受力图解：解： 当碾子刚离地面时当碾子刚离地面时NA=0,=0,拉力拉力F最最大大, ,这时拉力这时拉力F和自重及支反力和自重及支反力NB构成一平衡构成一平衡力系。力系。 由平衡的几何条件，力多边形封闭由平衡的几何条件，力多边形封闭tgPFcosPNB（用几何法中的数解法求解）（用几何法中的数解法求解）由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。此题也可用

5、力多边形方法用比例尺去量（图解法）。此题也可用力多边形方法用比例尺去量（图解法）。F=11.5kN , NB=23.1kN所以所以几何法几何法（图解法）（图解法）解题步骤：解题步骤： 选研究对象；选研究对象；作出受力图；作出受力图； 选择适当的比例尺，作力多边形选择适当的比例尺，作力多边形; 求出未知数。求出未知数。图解法图解法解题不足：解题不足： 精度不够，误差大精度不够，误差大 作图要求精度高；作图要求精度高； 不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。 下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法： 解析法。解析法。 F

6、FFXxcosFFFYycos2222yxFFYXF 2-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影一、力在坐标轴上的投影 X=Fx=Fcos=Fsin Y=Fy=F cos = Fsin二、合力投影定理二、合力投影定理根据矢量代数知识，矢量在平面直角坐标系下的的解析表达根据矢量代数知识，矢量在平面直角坐标系下的的解析表达式为：式为：XXXXRx421YYYYYRy4321YRyXRx 合力投影定理：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：即：FRjYi

7、XFjYiXFR)()(该力系的汇交点该力系的汇交点三、平面汇交力系合成与平衡的解析法三、平面汇交力系合成与平衡的解析法 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。的合力为零。 即：即：00YX能解两个未知量）能解两个未知量）00YRXRyx合力的大小：合力的大小：xyRRtg方向：方向：作用点：作用点：即为解析法平衡的充要条件，也称平面汇即为解析法平衡的充要条件，也称平面汇交力系的平衡方程。（两个独立的方程，只交力系的平衡方程。（两个独立的方程，只 合成的解析法合成的解析法 平衡的解析法平衡的解析法2222)()(YX

8、RRRyx022yxRRR0X0Y045coscos0CDASR045sinsin0CDASRP例例 已知已知 P=2kN 求求SCD , RA由由EB=BC=0.4m，312.14.0tgABEB解得：解得：kN 24. 4tg45cos45sin00PSCDkN 16. 3cos45cos0CDASR； 解：解：研究研究AB杆；杆； 列平衡方程求解：列平衡方程求解：取取Axy直角坐标轴；直角坐标轴；受力分析：受力分析：;,ACDRSP例例 已知如图已知如图P、Q， 求平衡时求平衡时 = =？ 地面的反力地面的反力ND= =？060212cos21PPTT由由得得0X0Y0cos12TT0Q

9、sin2DNT解：解：研究球体；研究球体；受力分析：如图；受力分析：如图； 选选Axy直角坐标轴；直角坐标轴；列平衡方程求解：列平衡方程求解：PPTND3Q60sin2QsinQ02由由得得又：又：cosFN)2(1)(cos22hRhRRhRR)2(hRhRFN例例 求当求当F力达到多大时，球离开地面？已知力达到多大时，球离开地面？已知P、R、h解：解： 研究块研究块,受力如图，受力如图，解力三角形：解力三角形：再研究球，受力如图：再研究球，受力如图：作力三角形作力三角形解力三角形：解力三角形：sin NPRhR sin又NN RhRhRhRFNP)2(sin)2()(hRhhRFPhRhR

10、hPF)2(时球方能离开地面当hRhRhPF)2(NB=0时为球时为球离开地面离开地面 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时，、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时，采用几何法求解（解力三角形）比较简便。采用几何法求解（解力三角形）比较简便。 解题技巧及说明：解题技巧及说明： 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只含、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只含有一个未知量。有一个未知量。 2、对于受多个力作用的物体，且角度特殊或不特殊，都、对于受多个力作用的物体，且角度特殊或不特殊，都采用解析法求解。采用解析法求解。 5、用解析法解题时，力的指向可以任意假

11、设，如果求出为、用解析法解题时，力的指向可以任意假设，如果求出为 负值，说明力的指向与假设相反。对于二力构件，负值，说明力的指向与假设相反。对于二力构件， 一般先设一般先设为拉力，如果求出为负值，说明物体受力为压力。为拉力，如果求出为负值，说明物体受力为压力。4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。、对力的方向判定不准的，一般用解析法。2-3 2-3 力矩、力偶的概念及其性质力矩、力偶的概念及其性质dFFMO)(一、力对点的矩一、力对点的矩+力对物体可以产生力对物体可以产生 移动效应移动效应-取决于力的大小、方向；取决于力的大小、方向；转动效应转动效应-取决于力矩的大小、转向。取决于力矩的大小

12、、转向。 定义定义- 是代数量。)(FMO当F=0或d=0时， =0。)(FMO 是影响转动的独立因素。)(FMO =2AOB=Fd ,2倍形面积。)(FMO 讨论讨论 F,d转动效应明显。 单位Nm，工程单位kgfm。 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和所有各分力对同一点的矩的代数和即：即：二、合力矩定理二、合力矩定理由合力投影定理有：由合力投影定理有：证毕)()()(21FMFMRMooo 证明证明niiOOFMRM1)()(od=ob+ocoboAoABFMO2)(1ocoAoACFMO 2)(2

13、odoAoADRMO 2)(又又 解：解：直接用定义求直接用定义求 mN2 .75cos2)(DPdPPMnnnOmN2 .7502cos)()()(DPPMPMPMnrOOnO例例 已知：,1000 NPnD=160mm， 20求：?)(nOPM应用合力矩定理应用合力矩定理 性质性质1 力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。力偶的性质力偶的性质三、平面力偶及其性质三、平面力偶及其性质两个大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。两个大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。力偶无合力，不能与一个单个的力力偶无合力，不能与一个单个的力平

14、衡；力偶只能与力偶平衡。平衡；力偶只能与力偶平衡。力偶只能是物体转动，转动效果力偶只能是物体转动，转动效果取决于力偶矩。取决于力偶矩。R=F-F=0FFd 力偶的定义力偶的定义力偶的作用面力偶的作用面力偶臂力偶臂 性质性质2 力偶对其所在平面内任一力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，因此力偶对刚心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。体的效应用力偶矩度量。xFdxFFmFmOO)() ()(dFdFm+FFdOxAB 定义：定义： 力偶矩力偶矩讨论：讨论：FFdABC m 是代数量，有是代数量，有+ 、- ； F、 d 都不独立，只有

15、力偶矩都不独立，只有力偶矩 是独立量；是独立量；dFm m 的值的值 m =2ABC 的面积；的面积； 单位：单位：N m等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。证证 设物体的某一平面设物体的某一平面上作用一力偶上作用一力偶(F,F)现沿力偶臂现沿力偶臂AB方向方向加一对平衡力加一对平衡力(Q,Q),Q,F合成合成R，再将再将Q,F合成合成R，得到新力偶得到新力偶(R,R),将将R,R移到移到A,B点，则点，则(R,R)，取，取代了原力偶代了原力偶(F，F )并与原力偶等效。并与原力偶等效。 性质性质3 平面力偶等效定理平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力

16、偶，只要它的力偶矩的大小相作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相 只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。效应。由上述证明可得下列两个推论：由上述证明可得下列两个推论：比较比较(F,F)和和(R,R)可得可得m(F,F)=2ABD=m(R,R) =2 ABC即即ABD= ABC，且它们转向相同。且它们转向相同。 力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用效应。作用效

17、应。;111dFm 222dFmdPm11又dPm2221PPRA21PPRB212121)( mmdPdPdPPdRMA合力偶矩2-4 2-4 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡平面力偶系：作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系平面力偶系：作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系设有两个力偶设有两个力偶dd一、一、平面力偶系的合成平面力偶系的合成 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是: :所有各分力偶矩的代数所有各分力偶矩的代数和等于零。和等于零。 niinmmmmM12101niim即：结论结论: : 平面力偶系合成结果还是一个力偶平面力偶系合成结果还是一个力偶, ,其合力偶矩等于各分其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和力偶矩的代数和。 0m简记为：二、平面力偶系的平衡二、平面力偶系的平衡mN60)15(4 4321mmmmM各力偶的合力偶距为各力偶的合力偶距为解解: :由由imM 例例 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件, ,在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径的孔的孔, ,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为 求工件的总切削力偶矩和求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? ? mN154321mmmm02 . 04321mmmmNBN3002 . 060BNN 300BANN根据平面力偶系平衡方程有根据平面