计算积分的数学物理方法

1、计算积分的数学物理方法计算积分的数学物理方法1 前言复变函数论1产生于十八世纪1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分2的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称

2、赞它是抽象科学中最和谐的理论之一为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的比如俄

3、国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用因此，近年来这方面的理论发展十分迅速2 选题背景2.1 题目类型及来源题目类型：研究论文题目来源：专题研究2.2 研究目的和意义 熟悉数学物理方法36的发展历史，特别是关于复变函数和积分变换79的发展历史和

4、作用研究积分计算的数学物理方法，理解并证明复变函数积分定理，学会用常见的复变函数积分法和积分变换法计算积分复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算化为比较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算

5、正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程和其他方程的求解中成为重要的方法之一积分变换的理论和方法不仅在在数学的诸多分支中得到广泛应用，而且在许多科学技术领域中得到广泛应用，例如在物理学、力学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具无论是过去还是现在都在发挥着极为重要的作用2.3 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解

6、决流体力学第 47 页 （共 47 页）和航空力学方面的问题上也做出了贡献复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用因此，近年来这方面的理论发展十分迅速积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具最重要的积分变换有傅里叶变换10、拉普拉斯变换11由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来由

7、于理论偏深，这里着重研究柯西-古萨基本定理，柯西积分公式， 解析函数的高阶导数公式，留数及留数定理，付里叶积分定理，拉普拉斯变换与逆变换及其在积分计算上的应用3 复变函数积分3.1 复变函数积分的概念及其简单性质为了叙述简便而又不妨碍实际应用，今后我们所提到的曲线(除特别声明外)，一律是指光滑的或逐段光滑的，因而也是可求长的曲线通常还要规定其方向，在开口弧的情形，这只要指出其始点与终点就行了逐段光滑的简单闭曲线简称周线周线自然也是可求长的对于周线，我们在若当定理之后实际上已经规定过它的方向即“反时针”方向为正；“顺时针”方向为负定义 1 设有向曲线 以为起点，为终点，沿有定义顺着从到的方向在上

8、取分点： 把曲线分成若干弧段在从到()的每一弧段上任取一点作成和数 其中当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数的极限存在且等于，则称沿(从到)可积，而称为沿(从到)的积分，并以记号表示： 称为积分路径表示沿的正方向的积分，表示沿的负方向的积分定理 1 若函数沿曲线连续，则沿可积，且 (1)证明： 设，我们便得到： 上式两端的两个和数是对应的两个曲线积分的积分和数在定理的条件下，必有及沿连续，于是这两个曲线积分都是存在的因此，积分存在，且有公式 (1),这说明，复变函数积分的计算问题，可以化为其实、虚部两个二元实函数曲线积分的计算问题例 1 命表连接点及的任一曲线，试证(1)

9、； (2)证 (1)因，故 ，即 (2)因，选，则得 ，但我们又可选，则得 ，复变函数积分的概念及其简单性质由定理 1，可知积分存在，因而的极限存在，且应与及的极限相等，从而应与的极限相等令 ，所以 注 当为闭曲线时，例 2 (一个重要的常用积分) 这里表示以为心，为半径的圆周(注意；积分值与，均无关，可为0).证 的参数方程为： 故 ；当为整数且时 复变函数积分的基本性质 设函数，沿曲线连续，则有下列与数学积分中的曲线积分相类似的性质：(1) ,是复常数；(2) ；(3) ，其中为由曲线和衔接而成；(4) ；(5) 这里表示弧长的微分，即要得到(5)式，只要把下列不等式取极限： 定理 2 (

10、积分估值)若沿曲线，函数连续，且有正数使，为之长，则证明： 由不等式，取极限即得证3.2 柯西积分定理3.2.1. 柯西积分定理定理 3 设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则 要证明这个定理是比较困难的黎曼在附加假设在内连续的条件下，得到一个如下的简单证明黎曼证明令，则 ,而在内连续，导数，在内连续，并适合方程： ，由格林定理， ，故得 定理 4 设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一闭曲线(不必是简单的)，则 柯西积分定理 证明： 因为总可以看成区域内有限多条周线衔接而成再由复积分的基本性质和柯西积分定理3，即可得证3.2.2. 柯西积分定理的古萨证明第一步：为内任一个三

11、角形假设 我们来证明 二等分给定三角形的每一边，两两连接这些分点，就被分成了四个全等的三角形，它们的周界是，显然有 (2)因为在这里沿每一条连接分点的线段的积分从彼此正好相反的方向去了两次，刚好互相抵消由于，根据(2)，周界中至少有一个使沿着它所取积分的模不小于比如说，假定这个周界是 对于这个三角形周界，和前面一样，我们把它分成四个全等三角形于是，在以为周界的三角形内的四个三角形中我们又可以找到一个三角形，记它的周界为，使 很明显，这个做法可以无限制的作下去，于是我们得到具有周界：，的三角形序列，其中每一个包含后面的一个而且有下列不等式： ， (3)用表示周界的长度，于是周界，相应的长度就是：

12、 ，我们来估计的模，由于序列中每一个三角形都包含在它后面的全部三角形，而且它们周界的长度随的无限增大而趋向于零所以根据极限理论的基本原则，惟一存在一个点属于这个序列中所有的三角形这个点在区域内，而函数在内又是解析的，因此在点函数有一个有限导数从而对于任一个无论怎样小的，都有一个正数存在，使当时，有 把上不等式两端乘以，即得 (4)对于以为中心、以为半径的圆内的点，(4)式成立；另一方面，从一个充分大的开始，三角形都在上述圆内因此，可以用(4)式来估计的模，由于，所以 (5)但由(4)式，当位于三角形周界上时， ，其中第二个不等式，是因为三角形周界上任一点，到此三角形上一点的距离小于，故由(5)

13、式得 (6)比较(3)和(6)可得 即 但是一个可以任意小的正数，而，故第二步：为内任一简闭折线用对角线把以为周界的多角形分成有限多个三角形，因为这时沿每一条对角线，积分从彼此正好相反的方向取了两次，刚好相互抵消于是，由第一步的结果有 第三步：为内任一条周线(1) 对于任一无论怎样小的，都存在一条内接于并完全在内的简单闭折线，使得 (7)换句话说，积分的值，可以用沿着在区域内内接于的简单闭折线所取积分的值来逼近到任何精确的程度为了证明这个事实，我们考虑区域内的一个闭子域，使曲线整个位于内设的边界与间的最小距离为易知于是以上任意点为心，为半径的圆，均全含于内从而，上任意两点只要距离小于，它们的联

14、结线段必全在内根据假设，函数在上连续，因而在上一致连续，故对于任一无论怎样小的，都存在一个正数，使得当、在上且适合时，不等式 成立，这里为之长显然，可以在上依积分正向取个点，分为段弧，使 于是以，为顶的简单多边形全含于内(因而全含于内)的边分别是所对的弦，故有 又有 ，即得 但是弧与弦上任意两点的距离小于，所以 ，从而 ，所以 (2)由第二步结果，对于(1)段中作出的，有 ，故(7)式成为 由于可以任意小，故必，至此柯西积分定理已经得到证明 3.2.3. 不定积分 柯西积分定理 3已经回答了积分与路径无关的问题这就是说，如果在单连通区域内函数解析，则沿内任一曲线的积分只与其起点和终点有关因此当

15、起点固定时，这积分就在内定义了一个变上限的单值函数，我们把它记成变上限积分 (8)定理 5 设函数在单连通区域内解析，则由(8)定义的函数在内解析，且证 我们只要对内任一点证明就行了以为心作一个含于内的小圆，在小圆内取动点考虑 在时的极限由于积分与路径无关，的积分路径，可以考虑为由到，再从沿直线段到而由到的积分路径取得和的积分路径相同，于是就有 ， 注意到是与积分变量无关的定值，所以由例 1 又有 ，由以上两式即得 根据在内的连续性，对于任给的，只要开始取的那个小圆足够小，则小圆内一切点均符合条件 ，这样一来，由积分估值定理得 ，即就是说 也就说 定理 6 设(1)函数在单连通区域内连续；(2

16、)沿区域内任一周线的积分值为零（从而，积分与路径无关），则函数 （为内一定点）在内解析，且 定义 2 在区域内，如果函数连续，则称符合条件 的函数为的一个不定积分或原函数(显然必在内解析)在定理5或定理6的条件下，函数(8)就是的一个原函数下面我们来证明的任何一个原函数都呈形式： ， (9)其中为一常数事实上，我们有 （），由此可知，即 定理 7 在定理5或定理6的条件下,如果为在单连通区域内的任意一个原函数，则 3.2.4. 柯西积分定理的推广 首先，我们来证明柯西积分定理3与下面的定理是等价的定理 8 设是一条周线，为之内部，函数在闭域上解析，则证 (1)由定理3推证定理8由定理8的假设，

17、函数必在平面上一含的单连通区域内解析，于是由定理3就有(2) 由定理8推证定理3由定理3的假设：“函数在单连通区域内解析，为内任一条周线”，今设为之内部，则必在闭域上解析于是由定理8就有定理 9 设是一条周线，为之内部，函数在内解析，在上连续（也可以说“连续到”），则 例 3 计算下列积分(1) ;(2) , 其中为右半圆周：，起点为，终点为；(3) ，其中取那一支解 (1)因为的支点为，所以它在闭圆上单值解析，于是由柯西积分定理9 (2) 因为在，上解析，故 (3)因为的支点为，其单值分支在圆内解析，并连续到边界内解析，并连续到边界，所以由柯西积分定理9， =0 其次我们从另一个方面再推广柯

18、西积分定理，即将柯西积分定理从以一条（单）周线为边界的有界单连通区域，推广到以多条周线组成的“复周线”为边界的有界多连通区域定义 3 考虑条周线 ，其中 中每一条都在其余各条的外部，而它们又全都在的内部在的内部同时又在外部的点集构成一个有界的连通区域，以为它的边界在这种情况下，我们称区域的边界是一条复周线 ，它包括取正方向的，以及取负方向的换句话说，假如观察者沿着复周线的正方向绕行时，区域的点总在它的左手边定理 10 设D是由复周线 ，所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，则 ，或写成 ， (10)或写成 (11) （沿外边界积分等于沿内边界积分之和）证 取条互不相交且全在内（端点除外

19、）的光滑弧作为割线用它们顺次地与连接设想将沿割线割破，于是被分成个单连通区域，其边界各是一条周线，分别记为,而由定理9，我们有 ， ， ，将以上的等式相加，并注意到沿着的积分，各从相反的两个方向取了一次，在相加的过程中相互抵消于是，由复积分的基本性质(3)就得到 从而有(10)和(11)3.3 柯西积分公式及其推论3.3.1. 柯西积分公式 我们利用柯西积分定理(复周线形式)导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式定理 11 设区域的边界是周线(或复周线)，函数在内解析，在上连续，则有 (12)这就是柯西积分公式它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函柯西积分公式及其推论数各种局

20、部性质的重要工具证明： 任意固定，作为的函数在内除点外均解析，今以点为心，充分小的为半径作圆周，使及其内部均含于对于复周线及函数，应用定理10的(10)式，得 (这一步的重要性，在于将复杂路径代以简单路径)上式表示右端与的半径无关，因此我们只须证明 , (13)则柯西积分公式(12)就算证明了注意到与积分变量无关，而，于是有. (14)根据的连续性，对任给的，存在，只要，就有 ,由积分估值不等式得(14)不超过，于是证明了(13).定理得证定义 4 在定理 11的条件下 ，称为柯西积分柯西积分公式(12)可以改写成 ， (15)例 4 设为圆周，则按(15) 注意到在闭圆上解析，定理11的条件

21、满足，故公式(15)可以应用，因而上面的计算是正确的例 5 利用计算出的的结果，证明：解 由柯西积分公式知，令，则，推出 又，与上式对比得 定理 12 如果函数在圆内解析，在闭圆上连续，则 ，即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数证 设表圆周，则 ， ，或 ，由此 ，根据柯西积分公式12 例 6 设函数在闭圆上解析如果存在，使当时 ，而且 ，试证：在圆内至少有一个零点证 反证法，设在内无零点，而且题设在上也无零点于是在闭圆上解析由解析函数的平均值定理， ，由由题设 ， ，从而 矛盾故在圆内至少有一个零点3.3.2 解析函数的无穷可微性 我们将柯西积分公式(12)形式地在积分号下对求导后得

22、， (16)这样继续一次又可得 ()，我们将对这些公式的正确性加以证明定理 13 在定理11的条件下，函数在区域内有各阶导数，并且有 () (17)这是一个用解析函数的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式证 首先对的情形来证明，即要证公式(16)成立，按照(12)，有 我们要证明下面的差数 (18)在充分小时不超过任给的正数设沿周线，设表示与上点间的最短距离于是，当，先设，于是，这样一来，差数不超过 ， 其中为之长度为使上式不超过任给正数，只要取于是(16)就证明了要完成定理的证明，只要应用数学归纳法设时公式(17)成立，证明时(17)也成立这就是要证明下面这个式子 在时，以 为极限方法和证

23、明的情形类似，不过稍微复杂些，就不重复了公式(17)可以改写成 (19)注 (1)应用(19)可以计算一些周线积分； (2)应用(17)及(19)中，是被积函数在内部的惟一奇点，如果在内部有两个以上的奇点，就不能直接应用它们例 7 计算积分 ，其中是绕一周的周线解 因为在平面上解析，应用公式(17)于，我们得 应用上述定理，我们得出解析函数的无穷可微性：定理 14 设函数在平面上的区域内解析，则在内具有各阶导数，并且它们也在内解析证 设为内任一点，将定理(13)应用于以为心的充分小的圆(只要这个闭圆全含于内)，即知在此圆内有各阶导数特别来说，在点有各阶导数由于的任意性，所以在内有各阶导数这样，

24、由函数在区域内解析，就推出了其各阶导数在内存在且连续而数学分析中区间上的可微函数，在此区间上不一定有二阶导数，更谈不上有高阶导数了3.3.3 柯西不等式和刘维尔定理 柯西不等式 设函数在区域内解析，为内一点，以为心作圆周，只要及其内部均含于，则有 ，其中，证 应用定理13于上，则有 注 柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，说明解析函数在解析点的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关在整个复平面上解析的函数称为整函数例如多项式，及都是整函数常数当然也是整函数应用柯西不等式，可得一个关于整函数的定理：刘维尔定理 有界整函数必为常数证 设的上界为，则在柯西不等式中，对无论什么样的，均有于是

25、命有 ，上式对一切均成立，让，即知而是平面上任一点，故在平面上的导数为零，即必为常数 注 这是一个非局部性命题，也是模有界定理，其逆也真，即：常数是有界整函数；此定理的逆否定理为：非常数的整函数必无界 4 留数及其在积分计算上的应用4.1 留数4.1.1 留数的定义及留数定理 如果函数在点是解析的，周线全在点的某邻域内，并包围点，则根据柯西积分定理 但是，如果是的一个孤立奇点，且周线全在的某个去心的邻域内，并包围点，则积分的值，一般来说，不再为零并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来，概括起来，我们有定义 5 设函数以有限点为孤立奇点，即在点的某去心领域留数内解析，则称积分 为在点的留数(r

26、esidue)，记为由柯西积分定理10知道，当，留数的值与无关，利用洛朗系数公式有 (20)即 这里是在处的洛朗展式中这一项的系数定理 15 （柯西留数定理）在周线或复周线所范围的区域内，除外解析，在闭域上除外连续，则(“大范围”积分) (21)证 以为心，充分小的正数为半径画圆周，使这些圆周及其内部均含于，并且彼此相互隔离应用复周线的柯西积分定理10得 由留数的定义，有 代入上式，即知(21)为真留数定理把计算周线积分的整体问题，化为计算各孤立奇点处留数的局部问题4.1.2 留数的求法 为了应用留数定理求周线积分，首先应该掌握求留数的方法而计算在孤立奇点的留数时，我们只关心其洛朗展式中的这一

27、项的系数，所以应用洛朗展式求留数是一般方法下面的定理是求阶极点处留数的公式，免得每求一个极点处的留数，都要去求一次洛朗展式不过这个公式对于阶数过高(例如超过三阶)的极点，计算起来也未必简单定理 16 设为的阶极点， ，其中在点解析，则 (22)这里符号代表，且有 证 推论 1 设为的一阶极点， ，则 (23)推论 2 设为的二阶极点， ，则 (24)定理 17 设为的一阶极点(只要及在点解析，且，)则 证 因为为的一阶极点，故 例 8 计算积分解 显然，被积函数在圆周的内部只有一阶极点及二阶极点由推论1 ； 由推论2 ；故由留数定理得 例 9 计算积分 解 只以，为一阶极点，由定理17得 于是

28、，由留数定理得 例 10 计算积分 解 只以为三阶极点由定理16得 ，故由留数定理得 例 11 计算积分解 被积分函数在单位圆周内部只有一个奇点，但其进一步的性质粗略一看不明显，故我们采用洛朗展式求留数的一般方法 后面那个分式在为解析，故可展为的幂级数： (数字及以下各项我们不关心!)于是在的去心邻域内有 ，由此即得 ，故由留数定理，原积分等于4.1.3 函数在无穷远点的留数 留数的概念可以推广到无穷远点的情形定义 6 设为函数的一个孤立奇点，即在去心邻域：内解析，则称 ，为在点的留数，记为，这里是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷远点的正向）设在内的洛朗展式为 ，由逐项积分定理及

29、例2，即知 (25)也就是说，等于在点的洛朗展式中这一项的系数反号定理 18 如果函数在扩充平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)，设为，则在各点的留数总和为零证 以原点为心作圆周，使皆含于的内部，则由留数定理得 ，两边除以，并移项即得 ，亦即 要特别注意：虽然在的有限可去奇点处，必有，但是，如果点为的可去奇点(或解析点)，则可以不是零例如以为可去奇点，但下面我们引入计算留数的另一公式令 于是 ，且平面上无穷远点的去心邻域：被变成平面上原点的去心邻域：(如，规定)；圆周被变成圆周从而易证 所以 (26)例 12 计算积分 解 被积函数一共有七个奇点：，以及前六个奇点均含在的内部要计算内部

30、六个奇点的留数和是十分麻烦的，所以应用上述定理及留数定理得 由下式可知在处的洛朗展式中这一项的系数 ，因此，故另外，也可应用公式(26)先看 ，它以为一阶极点所以 4.2 留数在积分计算上的应用 某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的方法，其要点是将它化归为复变函数的周线积分留数在积分计算上的应用4.2.1 计算型积分 这里表示，的有理函数，并且在上连续若命，则 ，当经历变程时，沿圆周的正方向绕行一周，因此有 ，右端是的有理函数的周线积分，并且积分路径上无奇点，应用留数定理就可求得其值注 这里关键一步是引进变数代换，至于被积函数在上的

31、连续性可不必先检验，只要看变换后的被积函数在上是否有奇点4.2.2 计算型积分 为了计算这种反常积分，我们先证明一个引理它主要用来估计辅助曲线上的积分引理 1 设函数沿圆弧：(，充分大)上连续，且 于上一致成立(即与中的无关)，则 (27)证 因为 ，于是有 (28)对于任给，由已知条件，存在，使当时，有不等式 ，于是(28)式不超过(其中为的长度，即)定理 19 设为有理分式，其中 与 为互质多项式，且符合条件：(1)；(2)在实轴上，于是有 (29)证 由条件(1)、(2)及数学分析的结论，知存在，且等于它的主值 记为 取上半圆周：()作为辅助线于是，由线段及合成一周线，先取充分大，使内部

32、包含在上半平面内的一切孤立奇点(实际上只有有限个极点)而由条件(2)，在上没有奇点按留数定理得 或写成 (30)因为 由假设条件(1)知，故沿上就有 在等式(30)中命，并根据引理1，知(30)中第二项的积分之极限为零，这就证明了(29).4.2.3 计算型积分引理 2 (若尔当引理) 设函数沿半圆周：(，充分大)上连续，且 在上一致成立，则 证 对于任给的，存在，使当时，有 ，于是，就有 ， (31) 这里利用了，以及 于是，由(若尔当不等式) ，将(31)化为 应用引理2，完全和证明定理19一样可得 定理 20 设，其中及是互质多项式，且符合条件：(1) 的次数比的次数高， (2)在实轴上

33、， (3)，则有 (32)特别说来，将(32)分开实虚部，就可以得到形如 及的积分 图 1 计算狄利克雷积分的围道 例 13 计算积分解 存在，且 考虑函数沿图1所示之闭曲线路径的积分根据柯西积分定理得 或写成 (33)这里及分别表示半圆周及由引理1知 由引理2知 在(33)中，令，取极限即得的主值 所以 例 14 假定已知泊松积分 ， (34)试计算弗莱聂尔积分 及 解 考察辅助函数 ， 它是一个整函数并取如图2的辅助积分路径则 图2 计算弗莱聂尔积分的围道 (35)而 故当时， 于是当时，(35)变成 即 比较两端实部和虚部，即得 例 15 计算积分 ，解 若，则 (36)若，因为是偶函数

34、，所以只需考虑的情况因为 ， (37)而由(36)知道 (38) 图 3 计算例15积分的围道由此可见，应该取辅助函数，并可取如图3的辅助路径由柯西积分定理得到 (39)比较(37)与(39)，就得到 另外，在线段及上， ()， 故 ， 最后得到 5 傅里叶变换及其在积分计算中的应用5.1 傅里叶变换的定义由数学物理方法课程的知识可知，对于上的非周期函数有如下的傅里叶积分定理：设在上有定义，且 (1)在任一有限区间上满足狄利克雷条件（即连续或有有限个第一类间断点，并且只 有有限个极值点）； (2)在无限区间上绝对可积，即则有傅里叶积分公式 (40)在的连续点处成立，而在的第一类间断点处，右边的

35、积分应以代替在傅里叶积分公式(40)中，若令 (41)则 (42)从(41)、(42)两式可以看出和可以通过积分运算相互表达(41)式叫做傅里叶变换的定义的傅里叶变换式，可记为：叫做的像函数(42)式叫做的傅里叶逆变换式，可记为叫做的像原函数5.2 傅里叶变换与逆变换的性质下面来介绍傅里叶变换的几个基本性质(假定在这些性质中，凡是需要求傅里叶变换的函数都满足傅里叶积分定理中的条件)：(1) 线性性质：设，是常数，则同样，对傅里叶逆变换也有类似的线性性质，即(2) 位移性质：设为任意常数，则同样，傅里叶逆变换也具有类似的位移性质，即(3) 延迟性质：设为任意常数，则(4) 微分性质：若则一般地，

36、若 ，则同样，像函数的导数公式为，一般地，有(5) 积分性质：设，若时，则(6) 卷积定理：已知函数和，则定义积分为函数和的卷积，记为，即假定，都满足傅里叶积分定理中的条件，且，则有上式称之为卷积定理5.3 傅里叶变换在积分计算中的应用傅里叶变换在积分计算中的应用 例 16 求函数的傅里叶积分表达式解：由(40)式有当时，傅里叶积分收敛于，根据以上的结果可以写成即由此可以看出，用傅里叶积分表达式可以推证一些广义积分的结果本题中，取则有，这个就是著名的狄利克雷积分12例 17 利用能量积分(parseval定理)的性质（或利用的结论纯高等数学的方法，积分计算中的变量代换）计算下列积分 (1) (

37、2) 解 (1) 令 的傅里叶变换后的像函数为，由parseval定理：，其中为原函数，为变换后的象函数知： 即 由此可知原积分 (2) 6 拉普拉斯变换及其在积分计算中的应用6.1 拉普拉斯变换的定义从数学物理方法课程中我们知道，任意函数（在时），的拉拉普拉斯变换的定义普拉斯变换为： (43)其逆变换为： (44)函数称为的像函数，称为的像原函数函数的拉普拉斯变换实际上是一种特殊的傅里叶变换拉氏变换的存在条件，要满足下述拉普拉斯变换的存在定理：若函数满足下列条件：(1) 当时，；(2) 当时，及除去有限个第一类间断点以外，处处连续；(3) 当时， 的增长速度不超过某一个指数函数，亦即存在常数及，使得其中，称为的增长指数则的拉氏变换在半平面上存在、解析，且当 （是任意小的正数）时，有6.2 拉普拉斯变换与逆变换的性质(1) 线性性质： 设，若、是常数，则有(2) 位移性