322最大值最小值问题北师大版选修2-2

1、最值问题最值问题 求极值的步骤：求极值的步骤： 1. 求导数求导数 ；)(xf 2. 解方程解方程 ；0)( xf 3. 对于方程对于方程 的每一个解的每一个解 ，分析，分析 在在 左右两侧的符号，确定极值点：左右两侧的符号，确定极值点： 在在 两侧若两侧若 的符号的符号)(xf 0)( xf0 x0 x)(xf 0 x （1） “左正右负左正右负”，则，则 为为极大值极大值点；点；0 x （2） “左负右正左负右正”，则，则 为为极小值极小值点；点；0 x （3）相同，则）相同，则 不是极值点；不是极值点；0 x复习回顾复习回顾 极值是函数的局部性质，而不是在整个定义域内极值是函数的局部性质

2、，而不是在整个定义域内的性质，即：如果的性质，即：如果 是是 的极大的极大( (小小) )值点，那值点，那么在么在 附近找不到比附近找不到比 更大更大( (小小) )的值的值。 但是，解决实际问题或研究函数性质时，我们往但是，解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关心在某个区间上，函数的哪个值最大，哪个值往更关心在某个区间上，函数的哪个值最大，哪个值最小。最小。)(xfy 0 x)(0 xf0 x 若若 是是 在在 上的最大上的最大(小小)值点，则值点，则 不小不小 (大大)于于 在此区间上的所有函数值。在此区间上的所有函数值。)(xfy 0 x)(xfy ba,)(0 xf 由图知，最大由

3、图知，最大(小小)值在极大值在极大(小小)值点或区间的值点或区间的端端点处取得。点处取得。xyo ab0 xxyo a(b)0 x概括概括思考：如何求函数的最大思考：如何求函数的最大( (小小) )值？值？问题：问题：对于函数的最值概念的学习，你认为对于函数的最值概念的学习，你认为有哪些方面是值得注意的？有哪些方面是值得注意的？ 例例1 求函数求函数 在区间在区间 上的上的最值。最值。52)(23xxxf2 , 2 例例2 边长为边长为 48 cm 的正方形铁皮，四角各截去一的正方形铁皮，四角各截去一大小相同的正方形后折起，可做成无盖的长方体容大小相同的正方形后折起，可做成无盖的长方体容器，其

4、容积器，其容积 V 是关于截去小正方形边长是关于截去小正方形边长 x 的函数。的函数。 （1）随）随 x 的变化，容积的变化，容积 V 如何变化？如何变化？ （2）截去小正方形边长为多少时，容积最大？）截去小正方形边长为多少时，容积最大？最大容积是多少？最大容积是多少？分析分析分析分析 例例3 对于企业来说，生产成本、销售收入和利润对于企业来说，生产成本、销售收入和利润是重要的问题。对一家药品生产企业的研究表明，是重要的问题。对一家药品生产企业的研究表明，生产成本生产成本 y(万元万元)和生产收入和生产收入 z(万元万元)都是产量都是产量 x(吨吨)的函数，分别为的函数，分别为10632423

5、xxxyxz18 （1）写出企业的生产利润）写出企业的生产利润 w 与产量与产量 x 的函数关系；的函数关系；（2）当产量是多少时，可以获得最大利润？最大利）当产量是多少时，可以获得最大利润？最大利润时多少？润时多少？ 解答解答1. 求函数求函数 在区间在区间-1，2上的最值。上的最值。1223xxy2, 1minmaxyy 2. 已知函数已知函数 ， （1）求）求f (x) 单调单调减区间；减区间； （2）若）若f (x) 在在-2，2上的最大值是上的最大值是20，求它在该，求它在该区间上的最小值。区间上的最小值。axxxy9323), 3(),1,(7, 2minya动手做一做动手做一做例

6、例3 3. 设一容积设一容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍，倍，问如何设问如何设计使得总造价最小？计使得总造价最小？提示：提示：设圆柱高设圆柱高 h ，底半径，底半径 r ，单位面积铁的造价，单位面积铁的造价 为为 m ，桶总造价为，桶总造价为 y ，则，则rh4时总造价最小。时总造价最小。)0(242rrmVrmy动手做一做动手做一做小结小结 若若 是是 在在 上的最大上的最大(小小)值点，则值点，则 不小不小 (大大)于于 在此区间上的所有函数值。在此区间上的所有函数值。)(xfy 0

7、x)(xfy ba,)(0 xf 函数的最大函数的最大( (小小) )值：值： 求最值的步骤：求最值的步骤： （1）求）求 f (x)在在 (a，b) 内的极值；内的极值； （2）将）将 f (x) 的各极值与的各极值与 f (a)，f (b) 进行比较，其进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。结束结束分析：分析： 最值是在极值点或者区间的端点取得的，所以最值是在极值点或者区间的端点取得的，所以要想求最值，应首先求出函数的极值点，然后将所要想求最值，应首先求出函数的极值点，然后将所有的极大有的极大(小小)值与端点的函数值进行比较，其中最

8、值与端点的函数值进行比较，其中最大大(小小)的值即为函数的最大的值即为函数的最大(小小)值。值。20+004+-解：解：求导得求导得xxxf43)(234, 021xx令令 ，得，得0)( xf5- -11 极大值极大值 极小值极小值xyo-234通过比较可知：通过比较可知：函数函数 在区间在区间 上的上的52)(23xxxf2 , 2最大值是最大值是 f (2)= 5 ；最小值是；最小值是 f (-2)= -11； 列表可知，列表可知， 是函数的极大值点，是函数的极大值点， 是是极小值点，计算极值和端点的函数值得极小值点，计算极值和端点的函数值得0 x34x5)2(,11)2(,27103)

9、34(, 5)0(ffff概括概括分析：分析： 解决实际应用问题，首先要分析并列出函数关解决实际应用问题，首先要分析并列出函数关系，要注意根据实际意义写出定义域。求函数值的系，要注意根据实际意义写出定义域。求函数值的变化情况即单调性，求导判断导数符号即可，求最变化情况即单调性，求导判断导数符号即可，求最值就是求导、解方程求出极值点，最后通过比较函值就是求导、解方程求出极值点，最后通过比较函数值写出最值。数值写出最值。解：解：求导得求导得24, 0 xxxxfV2)248()(，2)248()248(4)(xxxxf)8)(24(12)48)(248(xxxx -6令令 ，得，得0)( xf24

10、, 821xx+ 0极大值极大值- vo248192x8分析可知，分析可知，x = 8 是极大值点，极大值为是极大值点，极大值为)(81928)1648()8(32cmVV= f (x)在在 上递增，在上递增，在 上递减。上递减。8 , 0()24, 8由表知：由表知：（2）由函数的单调性和图像可知，）由函数的单调性和图像可知，x = 8时最大时最大值点，值点，此时此时38192cmV = f (8) = 即当截去小正方形边长为即当截去小正方形边长为 8 cm时，得到最大容时，得到最大容积为积为 。38192cm解：解：（1）利润）利润 = 收入收入 - 成本，所以成本，所以 w = z y

11、，)106324(18)(23xxxxxww)0(10452423xxxxw45483)(2xxxw（2）令令 得得0)( xw15, 121xx分析可知分析可知 是极大值点，又由计算得是极大值点，又由计算得15x1340)15(w32)1(w所以，当产量为所以，当产量为15吨时，最大利润时吨时，最大利润时1340万元。万元。概括概括 （1）函数的最值是一个整体性概念，最大值必须）函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小者。是整个区间上所有函数值中的最小者。 （2）函数的最大值和

12、最小值是比较整个定义区间）函数的最大值和最小值是比较整个定义区间的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值点附近的函数值得出的。点附近的函数值得出的。 极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得。能在区间内取得，最值可以在端点取得。注意：注意：概括总结概括总结返回返回求最值的步骤：求最值的步骤：（1）求）求 f (x)在在 (a，b) 内的极值；内的极值；（2）将）将 f (x) 的各极值与的各极值与 f (a)，f (b) 进行比较，其进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。中最大的一个是最大值，最小的