IIR低通滤波器设计说明

1、H(ej )cc1、滤波器简介从广义上讲，任何对某些频率（相对于其他频率来说）进行修正的系统称为滤波器。 严格地讲，对输入信号通过一定的处理得到输出信号，这个处理通常是提取信号中某频率 围的信号成分，把这种处理的过程称为滤波。实现滤波处理的运算电路或设备称为滤波器'在许多科学技术领域中，广泛应用线性滤波和频谱分析对信号进行加工处理，模拟滤 波是处理连续信号，数字滤波则是处理离散信号，而后者是在前者的基础上发展起来的。 我们知道，无源或有源模拟滤波器是分立元件构成的线性网络，他们的性能可以用线性微 分方程来描述，而数字滤波器是个离散线性系统，要用差分方程来描述，并以离散变换方 法来分析。

2、这些方程组可以用专用的或通用的数字计算机进行数字运算来实现。因此，数 字滤波器的滤波过程是一个计算过程，它将输入信号的序列数字按照预定的要求转换成输 出数列。2、低通数字滤波器2.1频谱图H(ej )02.2、低通数字滤波器的主要技术指标滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系。具体的有最大通带增益（即通带允许起伏）；最大阻带增益 ；通带截止频率 p ；阻带截止频率s。如图2.2所示Ha ejOdB a dB卩dB图2.2滤波器的主要技术指标GO3、IIR低通滤波器的设计方法IIR滤波器是一种数字滤波器，滤波器的系统函数如式由于它的脉冲响应序列h（n）是无限长的，故称无限冲h（z

3、）YZZ）h(n)z nMbrZ rr 0N1akZk 1激响应滤波器。IIR滤波器的设计就是根据滤波器某些性能指标要求，设计滤波器的分子和 分母多项式。它和FIR滤波器相比优点是在满足相同性能指标要求条件下，IIR滤波器的阶 数要明显低于FIR滤波器。但IIR滤波器的相位是非线性的。3.1、IIR低通滤波器设计的基本思路1）利用3 =Q T，将数字低通的技术指标转化为模拟低通的技术指标，将p、st转换成 P、st,而R ,R s不变；2) 利用巴特沃斯逼近法，求出模拟滤波器的系统函数旦(s);3) 利用冲激响应不变法，将模拟滤波器数字化，得到数字滤波器的系统函数H (z)；4) 利用MATL

4、A软件实现所设计的H (z)。3.2、模拟低通滤波器的概述用模拟一数字变换法设计IIR数字滤波器，首先必须设计一个模拟滤波器，它有许多 不同的类型，本设计中采用的是巴特沃斯滤波器。巴特沃斯(Botterworth简写BVy滤波器。对一个N阶低通滤波器来说，所谓最平坦 特性就是模拟函数的前(2N-1 )阶导数在 0处都为零。BW滤波器的另一个特性是在通 带和阻带的幅频特性始终是频率的单调下降函数，且其模拟函数随阶次N的增大而更接近 于理想低通滤波器。巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j Q )| c式中，N称为滤波器的阶数。当Q =0时，|Ha(j Q )|=1 ; Q =Q c时，| H

5、a(j )| 1/ .2, Q c是3dB截止频率。在Q =Q c附近，随Q加大，幅度迅速下降。幅度特性与Q和N的关系如图3.1所示。幅度下降的速度与阶数 N有关，N愈大，通 带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快，总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。用下式表示：2 1|Ha(j )|示£2图3.1巴特沃斯滤波器幅度特性及其与N的关系以s替换j Q,将幅度平方函数|Ha(j Q )1 2写成s的函数:Ha(S)Ha( S)(1)12Nsj c2N s2N(jc)Sk(11)丽(j c).,1 2k 1 j n)2 2N ce式中，k=0, 1, 2,-，2N-1。H

6、a(s)Ha( s)在S平面的极点位置如图3.2所示-j"/' J*1射-jj=*J f J / 川：图3.2巴特沃斯滤波器 Ha(S)Ha( S)在S平面的极点位置3.3、通过模拟滤波器设计IIR数字滤波器331、S域到Z域的映射IIR数字滤波器在Z域中的传递函数为一有理分式，即Mbr Z rr 0N1akZk 1r 1Ncz * 1dkZ而模拟滤波器在S域中的传递函数为Mbrsrr 0C 1 CrSC 1 dkSk 1可见H(z)与H(s)具有相同的形式，利用线性映射的方法，可以把S平面上的模拟滤波器映照成Z平面上的IIR数字滤波器。按技术要求设计一个模拟滤波器 Ha s

7、 ,然后按一定的映照关系将Ha s中成数字滤波 器的要求，必须对由复变量 S到复变量Z直接的映照提出如下要求：1) 因果温度的模拟滤波器转换成数字滤波器后仍是因果温度的，因此，映射应使S 平面的左半平 面Re s 0映射为Z平面的单位圆部，z 1。2) 数字滤波器的幅频特性应与模拟滤波器的幅频特性一致，故S平面的虚轴j线性 映射到Z平面的单位圆ej上，即频率轴要对应。下图表明了上述映照关系图3.3 s域到z域的映射模拟滤波器到数字滤波器的转换可以在时域实现， 也可以在频域实现。时域转换法是 使数字滤波器的时域响应与模拟滤波器的时域采样值相等， 具体方法有：冲激不变法、阶 跃不变法和匹配Z变换法

8、。在本设计过程中采用的是冲激响应不变法。4、IIR低通滤波器设计基于模拟滤波器变换原理，首先是根据滤波器的技术指标设计出相应的模拟滤波器，然后再将设计好的模拟滤波器变换成满足给定技术指标的数字滤波器。在MATLA中，经典法设计IIR数字滤波器采用下面的主要步骤:由上可见，此法是利用模拟滤波器的设计成果。第二步完成后，一个达到期望性能指标的模拟滤波器已经设计出来。第三步离散化主要任务就是把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数 H(S)映射成数字滤波器的系统函数 H(z)。数字滤波器的设计工作就全部完成。实现系统传递函数 s域至z域映射有冲激响应不变法和双线性映射两种方法。4.1、冲激

9、响应不变法将传输函数Has从s平面传换到z平面的方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不 变法和双线性变换法。我们先研究脉冲响应不变法。设模拟滤波器的传输函数为Ha s，相应的单位冲激响应是ha t，Ha s =LTha t LT.代表拉氏变换，对进行等间隔采样，采样间隔为T,得到ha nT，将h(n)= ha nT 作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数H(z)便是h(n)的Z变换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它是h(n)在采样点上等于ha t 0设模拟滤波器Ha s只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Has用部分分式表示:Ha sAii 1

10、s Sj式中耳为Ha S的单阶极点。将H a s逆拉氏变换得到ha t :N(5)ha tAj esit u (t)i 1式中u(t)是单位阶跃函数。对ha t进行等间隔采样，采样间隔为 T,得到:N(6)hnha (nT)AesinTu(nT)i 1对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数 H(z):AiSiT1e z对比(4)、(7)式，Ha s的极点Si映射到z平面，其极点变成esT，系数Ai不变化。 此结果表明，Z平面极点Zk与S平面极点Sk具有zk eskT的关系，由于Re(Sk)<0，故有zkeSkT1,极点Zk位于单位圆，故而冲激响应不变法能够保证H(z)是稳定的4.2、

11、双线性变换法这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率围压缩到±n/T之间，再用z esT转换到z平面上。设Ha (s), s=j Q,经过非线性频率压缩后用 Ha (si), s1=j Q 1表示，这里用正切变换实现频率压缩：tan 0.5 iTT(8)式中T仍是采样间隔，当Q 1从-n /T经过0变化到n /T时，Q则由-经过0变化到+%,实现了 s平面上整个虚轴完全压缩到S1平面上虚轴的±n /T之间的转换。这样便有s 2th 0.5 1T -1 Z stTT 1z st(9)再通过z esT转换到z平面上，得到:2Ts2szT(10)式(10)称为双

12、线性变换。从s平面映射到6平面，再从6平面映射到z平面，其映 射情况如图4.1所示。由于从s平面到&平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产 生频率混叠现象。另外，从®平面转换到z平面仍然采用标准转换关系 z es/r，®平面的 ±n /T之间水平带的左半部分映射z平面单位圆部，虚轴映射单位圆。这样Ha(s)因果稳定，转换成的H(z)也是因果稳定的。下面分析模拟频率Q和数字频率3之间的关系。令s j ,z ej ，并代入(10)式中，有?tan丄T 2j Qj Qn /TCT-n /T2 1 eT 1 e js平面si平面(11)图4.1双线性变换法的映

13、射关系上式说明，s平面上Q与平面上的3成非线性正切关系，如图4.2所示。在=0附近接近线性关系；当增加是，Q增加得愈来愈快；当趋近n时，Q趋近于。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象图4.2双线性变换法的频率变换3与Q之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，直接影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响。这种非线性影响的实质问题是：如果Q的刻度是均匀的，则影射到z 平面3的刻度不是均匀的，而是随3增加愈来愈密。双线性变换法可由简单的代数公式（10）将Ha（s）直接转换成H（z）,这是该变换法 的优点。但当阶数稍高时，将 H（ z）整理成需要的形式，也不是一件简单的工作。5、IIR数字滤波

14、器的Matlab仿真IIR数字滤波器经典设计法的一般步骤是：（1）根据给定的性能指标和方法不同，首先对设计性能指标中的频率指标进行转换， 转换后的频率指标作为模拟滤波器原型设计性能指标。（2） 估计模拟低通滤波器最小阶数和边界频率，利用MATLAB工具函数buttord、 cheblord 等。（3） 设计模拟低通滤波器原型，利用MATLA工具函数buttap、cheb1 ap等。（4） 由模拟低通原型经频率变换获得模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻），利用 MATLAB：具函数 Ip2lp、Ip2hp、Ip2bp、lp2bs。（5） 将模拟滤波器离散化获得IIR数字滤波器，利用MATLA工具

15、函数bilinear 。 设计IIR滤波器时，给出的性能指标通常分为数字指标和模拟指标两种。数字性能指标给出通带截止频率p，阻带截止频率s，通带衰减Rp，阻带衰减Rs等。数字频率p和s的取值围为0n,单位：弧度，而MATLA工具函数常采用标准化频率， p和s的取值围为01。模拟性能指标给出通带截止频率 p，阻带起始频率s，通带衰减Rp，阻带衰减Rs等。 模拟频率c和s的单位均为弧度/秒。下面是一个利用双线性变换设计的 Butterworth低 通滤波器的示例：技术指标：通带截止频率c=2 n 200 rad /s，阻带截止频率 ，通带衰减Rp小于3dB,阻带衰减Rs大于15dB,采样频率Fs

16、1000 Hz。仿真结果见图5.1Wp= 200*2*pi;Ws=400*2*pi;Rp=3;Rs=15;Fs=1000;Ts=1/Fs;Nn=128;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s')b,a=butter(N,Wn,'s');z,p,k=buttap(N);Bap,Aap=zp2tf(z,p,k);b,a=lp2lp(B ap,Aap,Wn);bz, az=bili near(b,a,Fs)freqz(bz,az,Nn, Fs)仿真结果：N=3 Wn=1.4209e+003bz= 0.0946 0.2839 0.2839 0.0946a

17、z= 1.0000 -0.6164 0.4343 -0.0607%1DD 1S012002!50300 SD 400450500FreqiLfeiicy (Hz|图5.1仿真结果心得体会通过此次课程设计，使我更加扎实的掌握了有关数字信号处理方面的知识，在设计过 程中虽然遇到了一些问题，但经过一次又一次的思考，一遍又一遍的检查终于找出了原因 所在，也暴露出了前期我在这方面的知识欠缺和经验不足。实践出真知，通过亲自动手， 使我们掌握的知识不再是纸上谈兵。通过这次课程设计，本人在多方面都有所提高。综合 运用本专业所学课程的理论和软件知识进行仿真设计工作，培养和提高了我们的独立工作 能力，巩固与扩充了数字信号处理所学的容，掌握IIR低通滤波器设计的方法和步骤，提高了设计能力，同时各科相关的知识都有了全面的复习，独立思考的能力也有了提高。回顾起此课程设计，至今我仍感慨颇多，从理论到实践，在这段日子里，可以说得是 苦多于甜，但是可以学到很多很多的东西，同时不仅可以巩固了以前所学过的知识，而且