同余定理解法的其他情况

1、 同余定理 分三类：口诀套用，化余为一，其他 “差同减差，和同加和，余同取余，最小公倍加这是同余问题的口诀。 所谓同余问题，就是给出“一个数除以几个不同的数的余数，反求这个数，称作同余问题。 首先要对这几个不同的数的最小公倍数心中有数，下面以 4、5、6为例，请记住它们的最小公倍数 是60。 1、 差同减差：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的差相同， X I 此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为 ：“差同减差。 例：“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3，因为4-1=5-2=6-3=3，所以取-3,表示为60n-3。 【60后面的“n请见4、，下同

2、】 i 2、 和同加和：用一个数除以几个不同的数，得到的余数，与除数的和相同， 此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的和数，称为 ：“和同加和。 例：“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1，因为4+3=5+2=6+1=7所以取+7,表示为60n+7。 7 涉：f 匕/./ / 3、 余同取余：用一个数除以几个不同的数，得到的余数相同， 此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，加上这个相同的余数，称为 ：“余同取余。 例：“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1，因为余数都是1,所以取+1,表示为60n+1。 4、 最小公倍加：所选取的数加上除数的最小公倍数的任意整数倍

3、 即上面1、2、3中的60n都满足 条件， 称为：“最小公倍加，也称为：“公倍数作周期。 余数问题中的一个重要问题就是同余问题，在同余问题解决过程中，推荐代入法和口诀法两大类。 其中口诀贞眉内容 来源丁网络 法是公倍数做周期，余同取余，和同加和，差同减差的应用，但是有时候会出现余不同， 和不同并且差也不同的现象，这就需要我们采用剩余定理进行解决。 剩余定理的原理比拟繁琐，不如直接套用解题方法进行快速解题更能解决行测中的类似问题。 下面给出一些例题，对剩余定理的解题方法加以熟练 ： 【例1】一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是多少？ 题中3、4、5三个数两两互质。 贝U4, 5

4、=20； 3, 5=15； 3, 4=12； 3, 4, 5=60。 ?为了使20被3除余1,用20X 2=40 ； ?使 15 被 4 除余 1,用 15X 3=45； ?使 12 被 5 除余 1,用 12X 3=36。 ?然后，分别乘以他们的余数:40 X 1+45X2+36X4=274, ?因为，27460,所以，274-60X 4=34,就是所求的数。 【例2】一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是多少？ 在1000内符合这样条件的数有几个？ ( 题中3、7、8三个数两两互质。 ?贝U7, 8=56； 3, 8=24； 3, 7=21 ； 3, 7, 8=168。 ?

5、为了使56被3除余1,用56X 2=112； ?使 24 被 7 除余 1,用 24X 5=120； ?使 21 被 8 除余 1,用 21 X 5=105 ； ?然后，112X 2+120X 4+105X 5=1229b ?因为，1229168,所以，1229-168X 7=53,就是所求的数。 ?再用(1000-53)/168得5,所以在1000内符合条件的数有5个。 【例3】一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。 题中5、8、11三个数两两互质。 ?那么8, 11=88； 5, 11=55； 5, 8=40； 5, 8, 11=440。贞眉内容 来源丁网络

6、 贞眉内容 ?为了使88被5除余1,用88X 2=176； ?使 55 被 8 除余 1,用 55 X 7=385 ； ?使 40 被 11 除余 1,用 40 X 8=320。 ?然后，176X 4+385X 3+320X 2=2499, ?因为，2499440,所以，2499-440X 5=299,就是所求的数。 【例4】有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问 这个年级至少有多少人？ 题中9、7、5三个数两两互质。 ?贝U7, 5=35；9, 5=45；9, 7=63；9, 7, 5=315。 ?为了使35被9除余1,用35X 8=280； ?使 45

7、被 7 除余 1,用 45 X 5=225 ； I _ _| - - X. .1 ?使 63 被 5 除余 1,用 63 X 2=126。 ?然后，280X 5+225X 1+126X 2=1877, ?因为，1877315,所以，1877-315X 5=302,就是所求的数。 对剩余定理问题进行直接套用的方式是解决此类题目最快的方法， 华图公务员考试研究中心希 望考生记住解题步骤，进行相关问题的解决。 来源：华图教育 剩余定理的一般情况： 一个数，除以7余3,除以8余6,除以5余2,求满足这些条件的所有三位数。 卡卡西解析： 一个数除以7余3,可以把这个数字表示为7a+3,同理有5b+2?

8、? 8d+6 7a+3=5b+2? ? 7a+1=5b? ? 来源丁网络 a=2?b=3?派小公倍数35贞眉内容 来源丁网络 35c+17=8d+6 32c+8+3c+3=8c(因为32C+8肯定是8的倍数，所以不予再考虑) 3c+3=8d? C=7 35*7+17=262? ?262+280N 一个整数除300、262、205,得到相同的余数，问这个整数是几？ 分析:根据同余的性质：此三数种任何两数的差都应是除数的倍数，即除数应是此三数中任两数的差 的公约数。 解:300-262=38 . u I 262-205=57 ? ?(28, 57)=19 i 12 +22 + 32 +20012+

9、20022除以7的余数是 方法一： 根据公式：1八2+2八2+nA2=n(n+1)(2n+1)/6 方法二： 士7 =0 一1, 士7 =0-4, 士7 =1一2, 士7 =2- 2, 士7 =3 一4, 士7 =5 一1, 士7 =7(余数为 0), 士7与士7余数相同，同样地，士7与士7余数相同，.所以，每7个连续自然数的平方之和 除以7的余数为1+4+2+2+4+1除以7的余数，而(1+4+2+2+4+1) 士 7 =2(余数 为0),而2002+7 =286, 所以原式能被7整除，即除以7的余数为0来源丁网络 贞眉内容 今天星期一,1998的1986次方天后星期几？ 1998 的 1986 次=(265*7+3)1986 次 ? ? ? ? ?=3 的 1986 次 3A0?整除7的余数是?1