数理统计的基本概念习题及答案

1、第六章数理统计的基本概念,“是取自正态总体N( ,2)的样本,i服从分布N(,).n2.样本(X1,X2, ,Xn)来自总体XN( ,2)则(n(n/ /S：(X)土t(n 1)。其中X为样本均值，S；Sn -3.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N (0.22)的简单随机样本，X a(X12X2)2b(3X34X4)2则当aa a时 b bb b201002时，统计量X服从X分布，其自由度为2.4.设随机变量 与 相互独立，且都服从正态分布N(0,9),而(X1,x2,L ,x9)和(火必上，y9)是分别来自总体 和 的简单随机样本，则统计量UI I ； It(9).y2LV95.设XN

2、(0,16), YN(0,9), X,Y相互独立，X1,X2,L ,X9与 丫1,3,丫16分别为X与丫的一个简单随机样本，X2X2I X2则 三一2-服从的分布为F(9,16).Y2丫22L丫2-6.设随机变量X N(0,1),随机变量丫2(n),且随机变量X与Y相互独立， 令T夺，则T2F(1,n)分布.I解：由T -,得T2名.因为随机变量X N(0,1),所以X22(1).Y丫nn.填空题1.若1,2,1n则1ni 1 x2(n1)._ )(X X)212再由随机变量X与丫相互独立，根据F分布的构造，得T2令F(1,n).nnX27.设-1,-2,L，-n是总体N(0,1)的样本，则统

3、计量T 服从的分布为n 1k 2X12F(n 1,1)(需写出分布的自由度).8.总体X N(1,22), Xi, X2,X3,X4为总体X的一个样本,从F(1,1)分布(说明自由度)(1)若总体的平均值与总体方差2都存在，则样本平均值x是的一致估计。(对) 若E(?)0则称$为 的渐近无偏估计量.( 错) 设总体X的期望E(X),方差D(X)均存在，X1,X2是X的一个样本,解：由-1X2 N(0,22),有X1X2- L2(1),-22乂 -3X4 N(0,22),故X3X4- 2(1),22因为与2X3X4克独立，所以2-1-2F(1,1).2a八3八49.判断下列命题的正确性：(在圆括

4、号内填上解：由Xi N(0,1), i 1,2,L ,n知-12X(n 1)k 1_XTT11nX2-2F(n 1,1). n JX；n2(1), X2k 22(n1), 丁是任”或“对”)则统计量x 1 x 2是E(X)的无偏估计量。(对)33(4)若E(?I)E(?2)计有效。且D(；)D(?2)则以$2估计(较以1估错)一$设$n为的估计量,对任意 0，如果lim P |n_ $ 0则称n的一致估计量(6)样本方差DnXi2X是总体X 2)中2的无偏估计量。DXi是总体X中2的有偏估计。10.设XI,X2,X3是取自总体X的一个样本，则下面三个均值估计13一XI-X2341-X X2 X

5、3, u?25102】XI顼2阳*3412里X312都是总体均值的无偏估计,其中方差越小越有效，则2最有效.、选择题1、设总体服从正态分布N(N,2),其中已知,未知,3是取自总体的一个样本，则非统计量是(D ).1 ,A3(123)B、Gmax(1,2,3)D2、设1,2,n是来自正态总体N (,2)1n(i一、2小21 /、2)，S3】(i),ni 1n 1i 111的t分布的随机变量是( B ).S212(S；3)S2一)2,A、3、设4、设-BS / , n 1N(1,22),1 N(0,1) 21 :N(Q1)2/、nn是总体则有(C )S2/ , n 1 S3/ ；nn为的样本，贝

6、U4)2,则服从自由度为S4/ ；nC ).N(0.1)D - N(0,1)2 / - n N(0,1)的样本，S分别是样本的均值和样本标准差,3_1 EY分N(2,2),且X与丫独立。X Xi,Y,山i 1A、n N(0,1)B、N(0,1)5.简单随机样本(X1,X2,Xn)论不成立的是(C )n(A )X与(XjX?2独立i 1 nn(C )Xi与i 1iXj2独立1C、i2x2(n)D、/St(n 1)来自某正态总体，X为样本平均值，则下述结(B)Xi与Xj独立(当i j)(D )Xj与X2独立(当i j)6.设X1,X2,Xn1，来自总体X,X N(1,2),丫1,丫2,Yn2来自总

7、体n1n1 i 1(Xi,X)2, S2则如下结论中错误的是(D )1n21n2Y)2,XI?V2 2 1 1n n-(Yi,n2 i 1Fn1n22XI?1 12)2)t(n1弓2)7.设X1,X2,).n1Xi2ni 18. 3Xn是取自总体N(0,2)的样本，则可以作为的无偏估计量是B、nXi2i 11nCXini 11nn 1i 1-X210Xij3,21X1项 &一一1 1 .X3 ,?3一X1-X2侦3412362B ).A?1, ?2, ?3都是E(X)的无偏估计且有效性顺序为B、?1, ?2, ?3都是E(X)的无偏估计，且有?1?3C、?1, ?2, ?3都是E(X)

8、的无偏估计，且有?2?1D?1, ?2, ?3不全是E(X)的无偏估计，无法比、设X1,X2,X3是来自母体则下列说法正确的是(2效性从大到小的顺序为效性从大到小的顺序为X的容量为3的样本，?1n2Yi,，i13P(X 940),XP(-100,1000P(X 940)P(T由表查得P(X940)00U) P(T100P(T 1.8) 0.056(9401.8)P(T 1.8)3、设X1,X2, X7为总体XN(0,0.52)的一个样本,2,72求P( Xi4).解：X N (0,0.5 ) 2Xi N(0,1)777(2Xi)24Xi2x2P(Xi2i 1i 1i 14)7P(4 X 16)

9、 0.025i 14、设总体X N(0,1)，从此总体中取一个容量为X3)2设Y (X1X2从x2分布.6的样本X1,X2,X3,X4,X5,X6,(X4X5X6)2,试决定常数C,使随机变量CY服解：X1X2X3 N(0,3), X4X5X6N(0,3)三.计算题1、在总体XN(30,22)中随机地抽取一个容量为16的样本，求样本均值X在29到31之间取值的概率.左L222解：因X N(30,22),故X N (30,亦)，即X X 30 P(20 X 31) P( 2 112N(30,顷)2)(2) 2(2) 1 0.954422、设某厂生产的灯泡的使用寿命为9的样本，其均方差S100,2

10、)(单位:问P(X 940)是多少？2X N(1O00,小时)，抽取一容量解：因2未知，不能用XX而TS-t(n 1)、nN(1000,)来解题，nX=t(8)3_1 r ,_2C一时，CYx2(2)35、设随机变量T服从t(n)分布，求T2的分布.解：因为T，其中X N(0,1) , Y x2(n),Y/n - 2 - 2 T2 - X2 x2(1) T2 F(1,n)Y/n Y/nXiX4X5X6、.3 N(0,1)XiX2X3、2的X5(.35 1即-(XiX23.1 ,X3)(X43X6)2x2(2)22 .X5X6) x (2)6.利用t分布性质计算分位数t0.975( 50 )的近

11、似值(已知 N ( 0,1 ),p( 1.96 ) = 0.975 )解：当n足够大廿当uN (0 , 1而p ( u u0.975)=0.0257.设X1,X2, , Xn。体X的样本，试证明矩与样本r阶矩有什么关系、十1n证：E Xjni 1上述结果表明总体的t分布近似N (0 ,1), )时，分位数u1-近似 时，u0.975= 1.9262 , t来自有均值 和E 1Xjrr。nj 1?1n1r 1E Xjr 1r阶矩与样本的r阶矩相等，t1-( n )。0.975( 50 )2r阶中心矩r的总乂此式说明总体的r阶nr ri 1说明样本的r阶中心矩是总体X的r阶中心矩r的无偏估计8.设

12、总体X N(0,22),X1,X2,L ,X10为来自总体X的样本.52Y Xj j 1102Xjj 6试确定常数C,使CY服从2分布，并指出其自由度.得C土2分布的自由度为2.9.设X1,X2,L,X4与Y,E,L,Y5分别是来自正态4_5_本,Z (XiX)2(YiY)2,求EZ.i 1i 1n(XiX)2解:方法1:由-2(n 1),E2(n 1)4_5_可得(XiX)22(3),YiY)22(4), EZ 3 4 7.i 1i 11n方法2:QE(S2) E (XiX)2DX 1, n 1i 1EZ E(3S24S2) 3ES124ES；3 4 7.10.设X ,Y是取自母体N( ,2),容量为n的两个相互独立的样本X1、X2、X n及 丫1、丫2、Yn的均值，试确定n ,使这两个样本均值之差超过 的概率大约为0.01。(已知(2.58 ) = 0.995 )-.2 2。解：由于X及Y均服从N ,则X YN 0,2nn要P X Y P X丫|/(%;蜀)/而20.01即P X丫|/(2E