中考数学专题提升(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与证明

1、专题提升 (十三 ) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明经典母题】如图 Z131，DB为半圆的直径， A为BD 延长线上的一点， AC切半圆于点E，BCAC 于点 C，交半圆于点 F.已知AC12，BC9，求 AO 的长经典母题答图解：如答图，连结 OE，设O 的半径是R，则 OE OB R.在 RtACB 中，由勾股定理，得AB AC2BC2 15.AC切半圆 O于点 E，OEAC，OEA90°C，OEBC， AEO ACB，OEAO， R15R，解得 R45，BCAB， 9 15 ，解得 R 8 ，75 AOABOB15R 8.【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角

2、三角形，从而得 到相似三角形，利用比例线段求 AO 的长中考变形】图 Z13 21如图 Z132，在 RtACB 中， ACB90°， O 是AC边上的一点，以 O 为圆心， OC 为半径的圆与 AB 相切于点 D，连结 OD.(1) 求证： ADO ACB；(2) 若O的半径为 1，求证： ACAD·BC. 证明： (1)AB是O 的切线， ODAB， C ADO90°， A A， ADO ACB；AD OD(2)由(1)知， ADOACB.ACBC， AD·BCAC·OD，OD1，ACAD·BC.22017·德州如图 Z

3、133，已知 Rt ABC， C90°， D 为 BC 的中点，以 AC为直径的 O交 AB于点 E.(1)求证： DE 是O的切线；(2)若 AEEB12，BC6，求 AE 的长图 Z13 3中考变形 2 答图解： (1)证明：如答图，连结 OE，EC，AC是O 的直径， AECBEC 90°， D 为 BC的中点， EDDCBD， 12， OE OC， 3 4， 1324，即OEDACB，ACB90°，OED90°，DE 是O的切线； (2)由(1)知BEC90°，在 Rt BEC与 Rt BCA中， BB，BECBCA， BEC BCA，

4、 BBCE BBCA，BC2BE·BA，AEEB12，设 AE x，则 BE2x， BA3x， BC6， 622x·3x，解得 x 6，即 AE 6.3如图 Z134，已知 AB是 O的直径， BCAB，连结 OC，弦 ADOC，直线 CD 交 BA 的延长线于点 E. (1)求证：直线 CD 是O 的切线； (2)若 DE2BC，求 ADOC 的值中考变形 3 答图解： (1)证明：如答图，连结 DO. ADOC，DAOCOB，ADOCOD. OAOD， DAOADO， COD COB.又COCO，ODOB， CODCOB(SAS)， CDOCBO90°，即 O

5、DCD. 又点D在O上，直线 CD 是O的切线；(2)由(1)知， CODCOB，CDCB.DE2BC，DE2CD.ADOC， EDA ECO，ADDE DE 2.OCCEDECD3.42016 ·广东如图 Z135，O 是 ABC的外接圆， BC是 O 的直径，ABC30°.过点 B作O的切线 BD，与CA的延长线交于点 D，与半径 AO的延长线交于点 E.过点 A 作O 的切线 AF(1)求证： ACF DAE；3(2)若 SAOC 4 ，求 DE 的长；(3) 连结 EF，求证： EF 是O 的切线与直径 BC 的延长线交于点 F图 Z13 5中考变形 4 答图BAC

6、90解： (1)证明： BC 为O的直径， 又 ABC 30°， ACB60°，又OAOC，OAC 为等边三角形，即 OACAOC60AF 为O 的切线， OAF90°， CAF AFC 30°，DE 为O 的切线， DBCOBE90°，DDEA30°， DCAF，DEAAFC， ACF DAE；(2)AOC 为等边三角形，OA1，BC2，OB1，又DBEO30BD2 3，BE 3， DE3 3；(3)证明：如答图，过点 O 作 OMEF 于点 M， OAOB，OAFOBE90°， BOEAOF， OAF OBE(SAS)，

7、 OEOF， EOF120°， OEMOFM30°， OEBOEM30°，即 OE 平分BEF， 又OBEOME90°，OMOB，EF 为O 的切线52017 ·株洲如图 Z136，AB 为O 的一条弦，点 C 为劣弧 AB 的中点， E 为优弧 AB 上一点，点 F 在 AE 的延长线上，且 BEEF，线段 CE 交弦 AB 于点 D.(1)求证：CEBF；(2)若 BD2，且 EAEBEC31 5，求 BCD 的面积解： (1)证明：如答图，连结 AC，BE，作直线 OC，BEEF， F EBF，AEBEBFF，1 F 2AEB，C 是AB

8、的中点， ACBC， AEC BEC， AEBAECBEC， 1AEC2AEB， AECF，CEBF；(2)DAEDCB，AEDCEB， ADE CBE，CBDCEB，BCDECB， CBE CDB，BD BE 2 1CBCE，即 CB 5，CB2 5，AD6， AB8，点 C为劣弧 AB 的中点，1OCAB，设垂足为 G，则 AGBG2AB 4，CG CB2 BG22，11 SBCD2BD·CG2×2×22.6如图 Z137，AB是 O的直径， C 为O 上一点， AE 和过点 C 的切线互相 垂直，垂足为 E，AE 交O 于点 D，直线 EC交 AB 的延长线

9、于点 P，连结 AC，BC，PBPC12.(1)求证： AC 平分 BAD；(2)探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由图 Z13 7中考变形 6 答图解： (1)证明：如答图，连结 OC. PE是O的切线， OCPE， AEPE，OCAE， DAC OCA，OAOC， OCAOAC， DAC OAC， AC 平分 BAD；(2)线段 PB，AB 之间的数量关系为 AB3PB.理由： AB 是O 的直径， ACB90°， BACABC90°， OBOC， OCBABC，PCBOCB90°， PCBPAC，P 是公共角， PCB PAC，PCPB， PA

10、PC， PC2PB·PA，PBPC12，PC2PB，PA4PB，AB3PB.P是O 外一BC 的长72016 ·枣庄如图 Z138，AC 是 O的直径， BC 是 O的弦， 点，连结 PA，PB，AB，已知 PBAC.(1)求证： PB是 O 的切线；图 Z13 8(2)连结 OP，若 OPBC，且 OP8，O 的半径为 2 2，求中考变形 7 答图解： (1)证明：如答图，连结 OB， AC 是O 的直径， ABC90°， CBAC90OAOB， BACOBA， PBA C， PBAOBA90°，即 PBOB. PB 是O 的切线；(2)O 的半径为

11、2 2， OB 2 2，AC4 2， OPBC， BOPOBCC， 又ABCPBO90°， ABC PBO， BC2.BCAC，即 BC 4 2， BOPO，即 2 2 8 ， BACAB 的82017·聊城如图 Z139，O是ABC的外接圆， O点在 BC边上， 的平分线交 O于点 D，连结 BD，CD，过点 D 作 BC的平行线，与 延长线相交于点 P.(1)求证： PD 是O的切线；(2)求证： PBD DCA；(3)当 AB6，AC8 时，求线段 PB的长图 Z139中考变形 8 答图解： (1)证明： 圆心 O在 BC上，BC 是O 的直径， BAC90°

12、;，如答图，连结 OD，AD 平分 BAC，BAC2DAC，DOC2DAC， DOCBAC90°，即 ODBC，PDBC，ODPD，OD 为O的半径，PD 是O 的切线；( 2)证明： PDBC， P ABC， ABC ADC， PADC，PBDABD180°， ACDABD180°， PBD ACD， PBD DCA； (3)ABC 为直角三角形， BC2AB2AC26282100，BC10， OD 垂直平分 BC， DBDC， BC为O的直径， BDC90°， 在 RtDBC 中， DB2DC2BC2，即 2DC2BC2100， DCDB5 2， PBD DCA， PBBD，即 PBDC·BD5 2×5 225.DCAC，即 PB AC 8 4.中考预测】2017 ·黄冈模拟如图 Z1310，AB为 O的直径， CD 与O 相切于点 C， 且 ODBC，垂足为 F，OD 交O 于点 E.证明：(1)DAEC； (2)OA2OD·OF.图 Z