九年级数学培优讲义：反比例函数

1、于待定系数的方程;(3)解方程求出待定系数4的值；(4)把求得的k值代回所设的函数关系式y = K中. x要点三、反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位 于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称， 永远不会与X轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：(1)若点(。，b)在反比例函数y = 8的图象上，则点 x也在此图象上，所以反比例函数的图象关 于原点对称；ir(2)在反比例函数y = £ (女为常数，kwO)中，由于 才。0+不0,所以两个分支都无限接近但永远不能达 至Ijx轴和轴.2、画反比

2、例函数的图象的基本步骤：(1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对(或 三对以上)互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值， 相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲 线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远 不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由左的符号决定的：当2>0时，两 支曲线分别位于第一、三象限内，当&<。时，两支曲线分别位于第二、 四象限内.3、反比

3、例函数的性质（1）如图1,当我>0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象 限，在每个象限内，值随x值的增大而减小；（2）如图2,当& <0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象 限，在每个象限内，y值随X值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在 各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数左 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可 以推断出女的符号.要点四：反比例函数尸:中的比例系数 的几何意义过双曲线），=4（%。0）上任意一点作x轴、轴的垂线，所得矩形 X的面积为|A|.过双曲线片七（女工0）上任意一点

4、作一坐标轴的垂线，连接该点 x和原点，所得三角形的面积为要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变 化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【典型例题】类型一、反比例函数定义Oh当我为何值时产也-1）/7是反比例函数？【思路点拨】根据反比例函数解析式产勺心0）,也可以写成 xy =的形式，后一种表达方法中x的次数为-1,由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为4-2 = -1且"100,二者必须同 时满足，缺一不可.【答案与解析】解：令=由得，k = 土1,由得，kWL"IwO,综上，k = - l,即4=-1时， =（女一1）/7是反比

5、例函数.【总结升华】反比例函数解析式的三种形式：y = 3 广 x刈=w0）.类型二、确定反比例函数解析式2、(2014春裕民县校级期中)正比例函数产2x与双曲线厂上的 x一个交点坐标为A (2, m).(1)求出点A的坐标；(2)求反比例函数关系式.【答案与解析】解：(1)将A点坐标是(2, m)代入正比例尸2x中，得：m=4,则 A (2, 4)；(2)将A (2, 4)代入反比例解析式中，得：4=与即k=8,2则反比例函数解析式尸名x【总结升华】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.举一反三：【变式】已知y=% + K，切与x成正比

6、例，%与x成反比例，且当x =1 时，y =7；当x=2 时，y =8.(1) y与x之间的函数关系式；(2)自变量的取值范围；(3)当x=4时，y的值.【答案】解：(I)：州与x成正比例， 力与x成反比例， 设必=%伙0). 'x ' k、h+h = 7, 2% + k = 8. y=弘 + y，=攵/+ -X把产=1与卜=2分别代入上式，得)=7 y = S化=3, k2 =4.所以y与x的函数解析式为)，= 3x+3.x(2)自变量的取值范围是x WO.(3)当x=4 时，y = 3x4 + - = 13.4类型三、反比例函数的图象和性质03、(2016宁夏)正比例函数y

7、1=k】x的图象与反比例函数y24的X图象相交于A, B两点，其中点B的横坐标为-2,当y】Vy2时，xx< -2 或 0VxV2第9页共10页C. - 2<X<0SK0<X<2 D. -2Vx<0 或 x>2【思路点拨】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可 得出点A的横坐标，再根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐 标，即可得出结论.【答案】B.【解析】解：.,正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐 标为-2,点A的横坐标为2.观察函数图象，发现：当xV - 2或0<x<2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，当yiy2

8、时，x的取值范围是xV-2或0VxV2.【总结升华】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例 函数的性质以及正比例函数的性质，解题的关键是求出点A的横坐 标.本题属于基础题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点A 的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等 式的解集.举一反三：【变式】（2014春邓州市校级期中）已知四个函数y=-x+l, y=2x-1, y=-尸工，其中y随x的增大而减小的有（）XX个.A.4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D；提示：解：y= - x+1中k= - 1 VO,所以y随X的增大而减小，正确;k2x-1中k=2>0,所以y随

9、x的增大而增大，故本选项，错误；y- 2是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错 X误；产是反比例函数，其增减性必须强调在双曲线的每一支上，故错误. X故选D.类型四、反比例函数综合04、如图所示，反比例函数的图象与一次函数y = ox+方的图象交于 M（2, m）, N（-l, -4）两点.（1）求反比例函数和一次函数的关系式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的x的取值范围.【思路点拨】（1）由点N的坐标为（一1, -4）,根据待定系数法可求 反比例函数的关系式.从而求出点M的坐标.再根据M、N的坐标， 用待定系数法可求出一次函数的关系式；（2）结合图象位置和两

10、交点 的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的x的取值范围.【答案与解析】解：设反比例函数的关系式为y =4.x由 N(1, -4),得-4 = X,1/. k =4. 反比例函数的关系式为 =百.x 点M加)在双曲线y = ±上,x 4 、 m = - = 2.2 点M(2, 2).设一次函数的关系式为=改+人 由M(2, 2)、N(-l, -4),得/。+ = 2,解得("2， a + b = -4.b = -2.J 一次函数的关系式为y = 2x-2.(2)由图象可知，当工 1或0VxV2时，反比例函数的值大 于一次函数的值.【总结升华】本题考查了反比例函数与一次

11、函数的交点问题：反比例 函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式.也考查了待 定系数法确定函数解析式以及观察函数图象的能力.举一反三：【变式】如图所示，已知正比例函数尸改的图象与反比例函数y = K的 x图象交于点A(3, 2).(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式.（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3） M（如）是反比例函数图象上的一动点，其中0VzV3,过 点M作直线MB 工轴，交y轴于点B；过点A作直线ACy轴交x轴 于点C,交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时，请判断线 段BM与DM的大小关系，并说明理由.【答案】解：（1）将A（3, 2）分别代入=上，y = 中，得2 =白，3a=2. x3 ,一公2 k -a =.3 反比例函数的表达式为y = %正比例函数的表达式为y = 2x. x3（2）观察图象，在第一象限内，当0Vx<