理想低通滤波器的响应

1、第五章 傅里叶变换应用于通信系统第三讲 理想低通滤波器的响应1 234沱理想低通滤波器的冲激响应我们曾经说过，冲激函数是一种很特别的函数。用冲激函数来鼓励系统的输入端 等价丁同时用所有可能频率的相同幅度的正弦波来测试系统， 所以输入一个冲激 函数就能够确定系统在所有频率的频率响应。对理想低通滤波器的传输函数进行傅里叶反变换，不难得到其冲激响应，如图5-3-25-3-2 所示。力= 土匚反严2 71一收=-2兀j(t 上)卜吃=色sinc(f-f0Tl分析:1.1.从响应波形我们可以看出，输出的波形完全不同丁冲激信号的波形，产生了很 大的失真。这是因为，理想滤波器是一个限带系统，而冲激信号的频谱

2、带宽是无 穷大，自然会造成失真。在输出波形中，上升和下降的时间即波形的陡峭程度 与截止频率仞 C C 成反比，截止频率越高，波形越陡峭2.2. 虽然带宽的限制造成了波形畸变，但是这个畸变是对称的，即输出波形关丁延迟时间柘对称。这是因为系统具有线性相移特性的缘故。系统虽然有振幅畸变， 但线性相移特性使得输出波形与输入波形为同一类型的对称形式。网络的线性相移特性给出了对称的冲激响应和对称的阶跃响应，这在电视和雷达系统中是特别 重要的。3.3. 系统违背了因果律。输出电压不再是冲激函数，而是在脉冲建立的前后出现起 伏的振荡现象，而且这种振荡一直延伸到 f f T T处。从响应波形可以看出，冲 激响应

3、对应丁 t t 的负值也存在，而输入却是在 t=0t=0 时参加的。这显然不符合常规, 似乎是系统可=-Sa(f )71图5-3-2理想低通滤波器的冲激响应以预测鼓励。实际上，这里所讨论的只是一个理想化的低通滤波器，1 234沱它的响应特性在物理上是不可实现的系统的物理可实现性佩利-维纳准那么一个物理可实现系统在 这个条件在时域里的表nf三oo。从频域来看，如果幅度函数满足平方可积条件，即 匚伽|血 筮，佩利 和维纳证明了对丁幅度函数物理可实现的必要条件是它被称为佩利-维纳准那么。 关丁这个准那么的推导及更详细的内容， 与本课程的联 系不紧，在此我们只讨论由这个准那么得到的一些推论。1.1.幅

4、度函数在某些离散频率处可以是零，但在一个有限频带内不能为零。这是因为，假设在某个频带内都有 时脚| = 0,0,那么 h h】|H HJ J 刎*,从而不能满足为佩利-维纳准那么，系统是非因果的。2.2. 幅度特性不能有过大的总衰减。 由佩利-维纳准那么可以看出， 幅度函数不能比指 数函数衰减的还要快，即回物1 1 = =院是允许的，而 B Bj j | |二爵 g是不可实现的。3.3. 尽管理想滤波器是不能实现的，但是我们可以任意逼近其特性。因此有关理想 滤波器的研究是有意义的。在实际电路中，不能实现理想低通滤波器的矩形振幅 特性，我们只能近似得到，但所需要的电路元件随着逼近程度的增加而增多

5、的。一个精确的近似，在理论上需要无限多个元件，丁是滤波器的相移常数变为无限 大，从而输出脉冲的振幅出现在无限延时以后，所以响应曲线的振荡衰减局部不 会在 f f 0 0以前出现。我们注意到，佩利-维纳准那么只是就幅度函数特性提出了系统可实现性的必要要 求，而没有给出相位方面的要求。如果一个系统满足这个准那么，对应丁一个因果 系统，此时我们把系统的冲激响应沿着时间轴向左平移到 f f 00 以前，那么，虽 然系统的幅虽然理想低通滤波器在实际中是不能实现的，但是我们希望找到一种区分可实现 性与不可实现性的标准，这就是佩利-维纳Paley-WienerPaley-Wiener准那么。物理可实现性在文献中有不同定义方法，这里采用最低限度的定义把物理可实现 性系统和不可实现系统区分开来。我们可以直观地看到， 鼓励参加之前是不可能有响应输出的， 这称为因果条件。述为：物理可实现系统的单位冲激响应必须是有起因的，即1 234沱度特性满足了佩利-维纳准那么，但是它显然是一个非因果系统。