【2019最新】精选高三数学(理)人教版一轮训练：第八篇第7节第三课时定点、定值、存在性专题

1、【 2019 最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第 7 节第三课时定点、定值、存在性专题【选题明细表】知识点、方法题号定点问题5定值问题1,2,4,6存在性问题1,3,5,7,81. 导学号 38486189(2017 ·二模 ) 已知抛物线 C:y2=2px(p>0) 与直线 x-y+4=0 相切 .(1) 求该抛物线的方程 ;(2) 在 x 轴正半轴上 , 是否存在某个确定的点 M,过该点的动直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点 , 使得 +为定值 . 如果存在 , 求出点 M的坐标 ; 如果不存在 , 请说明理由 .解:(1) 联立方程组有 y2-2py

2、+8p=0, 由于直线与抛物线相切 ,得 =8p2-32p=0,p=4, 所以 y2=8x.(2) 假设存在满足条件的点M(m,0)(m>0),直线 l:x=ty+m, 有所以 y2-8ty-8m=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),欢迎下载。有 y1+y2=8t,y1y2=-8m,|AM|2=(x1-m)2+=(t2+1) ,|BM|2=(x2-m)2+=(t2+1),+=+=·()=·=·,若·为常数 , 对于任意的t R,只有 4t2+m 是 t2+1 的 4 倍 , 所以m=4,当 m=4时,+ 为定值 , 所以 M(4,0).2

3、. 导学号 38486190(2017 ·四川一模 ) 已知椭圆 E:+=1 (a>b>0) 经过点 P(2,), 一个焦点为 F(2,0).(1) 求椭圆 E 的方程 ;(2) 设直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 相交于 A,B 两点 ,O 为坐标原点 , 椭圆 E的离心率为 e, 若 kOA·kOB=e2-1.求证 : AOB的面积为定值 .(1) 解: 由题意知 ,c=2,b2=a2-4,代入 P 点的坐标得 +=1, 解得 a2=8,所以椭圆 E 的方程为 +=1.【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节第三课时定点、定值、存在性专

4、题(2) 证明 :e=, 所以 kOA·kOB=e2-1=-,将 y=kx+m代入 +=1.化得 (1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.记 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=,x1x2=,因为 kOA=,kOB=,所以 =-,所以 y1y2=-x1x2=,而 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=+km·()+m2=,所以 m2=4k2+2,设点 O到直线 AB的距离为 d, 则 d=,而|AB|=,代入 m2=4k2+2得|AB|= ·,3/133/13所以 SAOB=··&

5、#183;=2,所以 AOB的面积为定值 2.3. 导学号 38486191(2017 ·一模 ) 已知椭圆C:+=1(a>b>0), 其焦距为2, 点 P(1,) 在椭圆 C上.(1) 求椭圆 C的标准方程 ;(2) 是否存在与椭圆 C交于 A,B 两点的直线 l:y=mx+t(m R), 使得·=0成立 ?若存在 , 求出实数 t 的取值范围 , 若不存在 , 请说明理由 .解:(1) 由椭圆 C的焦距 2c=2, 解得 c=1,因为点 P(1,) 在椭圆 C上, 所以 +=1,解得 a2=4,b2=a2-1=3,所以椭圆 C的标准方程为 +=1.(2) 设

6、 A(x1,y1),B(x2,y2),联立得 (3+4m2)x2+8tmx+4t2-12=0.=(8tm)2-4(3+4m2)(4t2-12)>0,化简得 3+4m2>t2.x1+x2=,x1x2=,(*)假设· =0 成立 , 则 x1x2+y1y2=0,x1x2+(mx1+t)(mx2+t)=0,【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节第三课时定点、定值、存在性专题(1+m2) x1x2+tm(x1+x2)+t2=0,将(*) 代入 , 化简得 7t2=12+12m2.代入 3+4m2>t2中得 t2>.又因为 7t2=12+12m21

7、2, 所以 t2 ,即 t , 或 t -.所以存在实数t, 使得· =0 成立 , 实数 t 的取值范围为 (- ,- ,+).4. 导学号l:y=3与38486192C交于 A,B已知抛物线C:x2=2py(p>0) 的焦点为两点 ,l与 y 轴交于点 N,且 AFB=120°.F, 直线(1) 求抛物线 C的方程 ;(2) 当 0<p<6时, 设 C在点 Q处的切线与直线 l,x 轴依次交于 M,D两点 ,以 MN为直径作圆 G,过 D作圆 G的切线 , 切点为 H,试探究 ; 当点 Q在 C 上移动 (Q 与原点不重合 ) 时, 线段 DH的长度是

8、否为定值 ?解:(1) 抛物线 C:x2=2py(p>0) 的焦点为 F(0,),准线方程为 y=-.直线 y=3 与 y 轴交于点 N,即 N(0,3).当 0<p<6 时, 由抛物线的定义可得|FA|=3+,|FN|=3-.由 AFB=120°, 得|FA|=2|FN|,即有 3+=2(3-),5/135/13解得 p=2,即抛物线的方程为x2=4y.当 p6 时, 由抛物线的定义可得 |FA|=3+,|FN|=-3.由 AFB=120°, 得|FA|=2|FN|,即有 3+=2(-3), 解得 p=18,即抛物线的方程为x2=36y.综上可得 , 抛

9、物线方程为 x2=4y 或 x2=36y.(2) 由(1) 知当 0<p<6 时, 抛物线方程为x2=4y.设 Q(m, m2),y=x2 的导数为 y=x, 则有切线斜率为 m,切线方程为 y-m2=m(x-m),令 y=0 可得 x=m;令 y=3 可得 x=m+.即有 M（m+,3）,D（m,0）.以 MN为直径作圆 G,G（m+,3）, 设圆 G的半径为 r,r=|MN|=|m+|. DHHG,由勾股定理可得|DH|=,则有当点 Q在 C上移动 (Q 与原点不重合 ) 时, 线段 DH的长度为定值 ,【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节第三课时定点、

10、定值、存在性专题且为 .5. 导学号 38486193(2017 ·二模 ) 已知动点 M到定点 F(1,0) 和定直线 x=4 的距离之比为 , 设动点 M的轨迹为曲线 C.(1) 求曲线 C的方程 ;(2) 过点 F 作斜率存在且不为 0 的任意一条直线与曲线 C交于两点 A,B,试问在 x 轴上是否存在一点 P(与点 F 不重合 ), 使得 APF=BPF,若存在 , 求出 P 点坐标 ; 若不存在 , 说明理由 .解:(1) 设点 M(x,y), 则据题意有=|x-4|,则 4(x-1)2+y2=(x-4)2,即 3x2+4y2=12,所以 +=1即曲线 C的方程为 +=1.

11、(2) 假设存在点 P(x0,0) 满足题设条件 ,设 AB所在直线的方程为y=k(x-1),代入椭圆方程化简得 (4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,可知>0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=,x1x2=,若 APF=BPF,则 kAP+kBP=0,7/137/13即+=0,即k(x1-1)(x2-x0)+(x2-1)(x1-x0)=k2x1x2-(1+x0)(x1+x2)+2x0=0,代入 , 整理得 k(x0-4)=0, 因为 kR,所以 x0=4; 即在 x 轴上存在点 P(4,0), 使得 APF=BPF.6. 导学号 38486194(20

12、17 ·质量检测 ) 已知直线 l:y=x+, 圆 O:x2+y2=5, 椭圆 E:+=1(a>b>0) 的离心率 e=, 直线 l 被圆 O截得的弦长与椭圆的短轴长相等 .(1) 求椭圆 E 的方程 ;(2) 过圆 O上任意一点 P(x0,y0)(x0 ± ,y0 ± ) 作两条直线与椭圆 E分别只有唯一一个公共点, 求证 : 这两直线斜率之积为定值 .(1) 解: 设椭圆半焦距为 c, 圆心 O到 l 的距离d=,则 l 被圆 O截得的弦长为 2=2,所以 b=.由题意得又 b=,所以 a2=3,b2=2, 所以椭圆 E 的方程为 +=1.【201

13、9最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节第三课时定点、定值、存在性专题(2) 证明 : 设过 P(x0,y0) 的直 线与 椭圆 E 的切 线 l0 的方程 为y-y0=k(x-x0),整理得 y=kx+y0-kx0,联立直线 l0 与椭圆 E 的方程得消去 y 得 2kx+(y0-kx0)2+3x2-6=0,整理得 (3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0,因为 l0 与椭圆 E 相切 ,所以=4k(y0-kx0)2-4(3+2k2)2(kx0-y0)2-6=0,整理得 (2-)k2+2x0y0k-(-3)=0,设与椭圆E 分别只有唯一的公共点的直

14、线的斜率分别为k1,k2, 则k1k2=-.因为点 P 在圆 O上, 所以 +=5,所以 k1k2=-=-1.所以这两条直线斜率之积为-1.7. 导学号 38486195(2017 ·三模 ) 已知 F1,F2 分别为椭圆 C1:+=1(a>b>0) 的上、下焦点 , 其中 F1 也是抛物线 C2:x2=4y 的焦点 , 点M是 C1与 C2在第二象限的交点 , 且|MF1|=.(1) 求椭圆的方程 .(2) 已知点 P(1,3) 和圆 O:x2+y2=b2, 过点 P 的动直线 l 与圆 O相交于9/139/13不同的两点 A,B, 在线段 AB取一点 Q,满足 :=-

15、 ,= ( 0 且± 1), 探究是否存在一条直线使得点 Q 总在该直线上 , 若存在求出该直线方程 .解:(1) 由 C2:x2=4y 知 F1(0,1), 设 M(x0,y0)(x0<0),因为 M在抛物线 C2上,故=4y0,又|MF1|=, 则 y0+1=,由解得 x0=-,y0=, 椭圆 C1的两个焦点 F1(0,1),F2(0,-1),点 M在椭圆上 ,由椭圆定义可得2a=|MF1|+|MF2|=+=4,所以 a=2, 又 c=1, 所以 b2=a2-c2=3,椭圆 C1的方程为 +=1.(2) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),由=- 可得 (

16、1-x1,3-y1)=-(x2-1,y2-3),即由=可得 (x-x1,y-y1)=(x2-x,y2-y),即×得 - 2=(1- 2)x,×得 - 2=3y(1- 2),【2019最新】精选高三数学（理）人教版一轮训练：第八篇第节第三课时定点、定值、存在性专题两式相加得 (+)- 2(+)=(1- 2)(x+3y),又点 A,B 在圆 x2+y2=3 上, 且± 1,所以 +=3,+=3, 即 x+3y=3,所以点 Q总在定直线 x+3y=3 上.8. 导学号 38486196(2017 ·一模 ) 已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O,且与直线 l1:

17、x-y+6=0 相切 , 设点 A 为圆上一动点 ,AMx 轴于点 M,且动点 N满足 =+（- ）, 设动点 N的轨迹为曲线 C.(1) 求曲线 C的方程 ;(2) 若动直线 l2:y=kx+m 与曲线 C有且仅有一个公共点 , 过 F1(-1,0), F2(1,0) 两点分别作 F1Pl2,F2Q l2, 垂足分别为 P,Q, 且记 d1 为点F1 到直线 l2 的距离 ,d2 为点 F2 到直线 l2 的距离 ,d3 为点 P 到点 Q 的距离 , 试探索 (d1+d2) ·d3 是否存在最值 ?若存在 , 请求出最值 .解:(1) 设圆 C1:x2+y2=R2,根据圆 C1与

18、直线 l1 相切 ,得=R,即 R=2,所以圆的方程为 x2+y2=12,设 A(x0,y0),N(x,y),因为 AMx 轴于 M,所以 M(x0,0),所以 (x,y)= (x0,y0)+(-)(x0,0)=(x0, y0),所以即11/1311/13因为点 A(x0,y0) 为圆 C1上的动点 ,所以 +=12, 所以 (x)2+(2y)2=12,所以曲线 C的方程为 +=1.(2) 由(1) 知曲线 C 是椭圆 ,将 直 线l2:y=kx+m代 入 椭 圆C 的 方 程3x2+4y2=12 中 , 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由直线 l2 与椭圆 C有且仅有一个公共点知,=64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,整理得 m2=4k2+3,且 d1=,d2=.当 k0 时, 设直线 l2 的倾斜角为 , 则