4费马点利用旋转变换求线段和最值T

1、例5、（衢州市）如图，已知点 A（-4 , 8）和点B（2, n）在抛物线y ax2上.（1） 求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q,使得AQQB最短，求出点 Q的坐标；（2） 平移抛物线y ax2 ,记平移后点 A的对应点为 A',点B的对应点为B',点Q-2 , 0）和点D（-4 , 0）是x轴上的两个定点. 当抛物线向左平移到某个位置时，A' C+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A' B' CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由.14年

2、1月石景山期末6.已知点a（2, 2）和点B（ 4,n）在抛物线y ax2（a 0）上.（1）求a的值及点B的坐标；（2）点P在y轴上，且满足 ABP是以AB为直角边的直角三角形，求点 P的坐标；2（3）平移抛物线y ax （a 0），记平移后点 A的对应点为 A',点B的对应点为B'.点M（2,0）在x轴 上，当抛物线向右平移到某个位置时，A'M MB'最短，求此时抛物线的函数解析式.练习1、（达州）15、如图6,在边长为2 cm的正方形 ABCM,点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接 PR PQ则4PBQ周长的最小值为 cm （结果不取近似值）

3、（第名题图）2.如图所示，正方形 ABCD的面积为12, ABE是等边三角形，点 E在正方形ABCD内，在对角线 AC上 有一点P,使PD PE的和最小，则这个最小值为（ ）A.2J3 B . 2屈 C .3 D . J63、滨州市中考第24题如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A( 2, -4 )、Q0, 0) 、B(2, 0)三点.(1)求抛物线y= ax2+ bx+ c的解析式；(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AMF OM勺最小值.4、山西省中考第 26题如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x + 3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,点D是抛

4、物线的顶点.(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；5. (1)(2)(3)存在,(2)点P是x轴上的一个动点，过 P作直线l AC交抛物线于点 Q试探究：随着点 P的运动，在抛物线 上是否存在点 Q使以A、P、Q C为顶点的四边形是平行四边形？若存在， 请直接写出符合条件的点 Q的坐标; 若不存在，请说明理由；(3)请在直线 AC上找一点 M使 BDM勺周长最小，求出点 M的坐标.图1 满分解答(年山东聊城)已知 ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.写出 ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为 48时当BC多长时， ABC的面积最大？最大面积是多少？当 ABC

5、面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说出理由，并之 ，请给予说明.6 .(江苏苏州)如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3, J5 ), 1点C的坐标为(！ 0),点P为斜边OB上的一动点，则 PA+ PC的最小值为【 2A.晅BC ,上D , 2币 2227 .(已知点 D与点 A (8, 0), B (0, 6), C (a, a)形的四个顶点，则 CDK的最小彳1为.8 .如图，在正方形 ABCD43, E是AB上一点，BE=2, AE=3BE P是AC上一动点，则 PB+PE的最小值是 9 .如图，抛物线 y=ax2+bx+c (

6、aw0)的图象过点 C (0, 1),顶点为Q (2, 3),点D在x轴正半轴上，且 OD=OC (1)求直线CD的解析式；(2)求抛物线的解析式；(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证：ACE。ACDO(4)在(3)的条件下，若点 P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在 P点和F点移动过程中， PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.费马点、利用旋转变换求线段和最值费马点编辑本段费马点定义在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边 形的费马点。在平面三角形中：(1).三内角皆小于 1

7、20°的三角形，分别以 AB,BC,CA ，为边， 向三角形外侧做正三角形 ABC1,ACB1,BCA1, 然后连接 AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.(2).若三角形有一内角大于或等于120度，则此钝角的顶点就是所求.(3)当4 ABC为等边三角形时 ，此时外心与费马点重合(1) 等边三角形中BP=PC=PA , BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。 BPC CPA PBA 。(2)当BC=BA 但GA AB时，BP为三角形 CA上的高和中线、三角上的角分线。编辑本段证明(1)费马点对边的张角为120

8、度。 CC1B 和 AA1B 中，BC=BA1,BA=BC1, Z CBC1= / B+60 度=/ABA1, CC1B 和 AA1B 是全等三角形 彳导至IJ / PCB= Z PA1B同理可得/ CBP= Z CA1P由/ PA1B+ Z CA1P=60 度，得/ PCB+ / CBP=60 度,所以/ CPB=120 度同理，/APB=120 度，/ APC=120 度(2)PA+PB+PC=AA1将 BPC以点B为旋转中心旋转60度与 BDA1重合，连结 PD ,则4 PDB为等边三角形，所以/ BPD=60 度又/ BPA=120 度，因此 A、P、D三点在同一直线上，又/ CPB=

9、 Z A1DB=120 度，/ PDB=60 度，/ PDA1=180 度，所以 A、P、D、A1 四点在同一直线 上，故 PA+PB+PC=AA1 。（3）PA+PB+PC 最短在 ABC内任意取一点 M （不与点 P重合），连结 AM、BM、CM ,将 BMC以点B为旋转中心旋 转 60 度与 BGA1 重合，连结 AM、GM、A1G（同上），贝U AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM. 所以费马 点到三个顶点 A、B、C的距离最短。平面四边型费马点平面四边型中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。（1）在凸四边型 ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。（2

10、）在凹四边型 ABCD中，费马点为凹顶点D （P）。7 （自编）已知O点坐标为（0, 0）, A点坐标为（8, 0）, B点坐标为（0, 8）,在平面直角坐标系上确定点P,使OP +AP + BP最小。并求出点 P坐标和OP+AP+BP的最小值。8 .（自编）3J3）,在平面直角坐标系上确定点P,使23已知O点坐标为（0, 0）, A点坐标为（5, 0）, B点坐标为（-.2OP+ AP + BP最小。并求出点 P坐标和 OP+ AP + BP的最小值。9、若P为4ABC所在平面上一点，且 APB BPC CPA 120° ,则点P叫做4ABC的费马点.（1）若点P为锐角 ABC的费

11、马点，且 ABC 60°, PA 3, PC 4,则PB的值为（2）如图，在锐角zABC外侧作等边zACB'连结BB'.求证：BB'过4ABC的费马点P,且BB' =PA PB PC .有关费马点最值问题凸23. （09年湖州）若尸为/HC所在平面上一点，且24PB=则点尸叫做的费马点（】）若点P为锐角4的费马点j且乙430 = 60°, P/ = 3, PC = 4,则PB的值为jt（2）如图,在锐角nBC外侧作等边4CB,连结SB 求证63过ZS/BC的费马点产，且3中二尸/十户2十尸匕二 A£24. （10福建宁德）如图，四边

12、形ABCD是正方形，4ABE是等边三角形，M为对角线BD （不含B点）上任意一点，将BM统点B逆时针旋转6cti得到BN,连接EN、AM. CM.求证：AAMBAtNB；当M点在何处时，AM + CM的值最小当M先在何处时，AM+RM+CM的值最小，并说明理由；当AM+BM + CM的最小值为V3 + 1时,求正方形的边民.B25.如图，在平面直角坐标系 xOy中，点B的坐标为（0,2）,点D在x轴的正半轴上，ODB 30 , OE为4BOD的中线，过B、E两点的抛物线y ax2 x c与x轴相交于A、F两点（A在F的左侧）.6（1）求抛物线的解析式；（2）等边 OMN的顶点M、N在线段AE上

13、，求AE及AM的长;段AP的长.（备用图）（3）点P为乙ABO内的一个动点，设m PA PB PO ,请直接写出m的最小值，以及m取得最小值时,13通州24.已知：AD 2 , BD 4 ,以AB为一边作等边三角形 ABC.使C、D两点落在直线 AB的两侧.（1）如图，当/ ADB= 60°时，求 AB及CD的长；（2）当/ ADB变化，且其它条件不变时，求 CD的 最大值，及相应/ ADB的大小.1房山28.如图1,已知线段 BC=2,点B关于直线 AC的对称点是点 D,点E为射线 CA上一点，且 ED=BD,连接DE, BE.(1)依题意补全图1,并证明：4BDE为等边三角形;(2)若/ ACB=45°,点C关于直线 BD的对称点为点 F,连接FD、FB>ACDE绕点D顺时针旋转 a度(0°< a< 360°)得到 C'DE',点E的对应点为E',点C的对应点为点C'如图2,当 户30°时，连接BC .证明：EF=BC ;PM长度的如图3