《平方差公式》知识讲解及例题演练

1、平方差公式【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；3发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯【要点梳理】要点一、公式法平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 要点诠释：(1)逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式(2) 平方差公式的特点：左边是两个数(整式)的平方，且符号相反，右边 是两个数(整式)的和与这两个数(整式)的差的积(3) 套用公式时要注意字母 a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以 是单项式或多项式要点二、因式分解步骤(1) 如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；(2) 如果各项

2、没有公因式那就尝试用公式法；(3) 如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解(以后会学到) 要点三、因式分解注意事项(1)因式分解的对象是多项式；(2 )最终把多项式化成乘积形式；(3)结果要彻底，即分解到不能再分解为止.【典型例题】类型一、公式法平方差公式(1) (x y)24 ；(2) 16(ab)225(a b)2 ；2 2(3) (x 2)(2x 1) 【思路点拨】(1)把x y看做整体，变形为(x y)222后分解.(2) 16(a b)2可写成24( a b) , 25(a2b)可写成5( a2b) , 4(a b)和5(ab)分别相当于公式里的b (3)把(x 2

3、)、(2x 1)看作一个整体进行分解.【答案与解析】解：(1)(x y)24 (xy)2 22(x y2)( xy2) (2)16(a b)2125(a2 2b) 4( a b)5( ab)2(3)(x 2)22(2x 1)(x 2) (2x1)(x2)(2x 1)【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式举一反三：【变式】将下列各式分解因式:2 2 2 2(1) 25 a b9 a b ；(2) 2x 3y 4x(3) x3y xy3 ；(4) 4x3 36xy2 ；【答案】解：(1)原式5 a b 3a b 5 a b3a b(2) 原式=2x 3y

4、 2x 2x 3y 2x(3) 原式xy x2 y2 xy x y xy2 2(4) 原式 4x x 9y 4x x 3y x 3y2、分解因式：1 2/、3. 3/、5,2(1)X 2 ;(2) a b ab ;(3) x 16x ;(4) (a 1) b (1 a)8【答案与解析】解：(1)1-x82 21 / 28(x16)18(x 4)(x 4).(2)a3bab3ab(a2b2)ab(a b)(ab).(3)5 x16xx(x416)2 2x(x 4)( x4)x(x24)( x2)( x 2).(4)(a1) b2(1 a)(a1) b2(a 1)(a1)(1b2)(a 1)(1

5、b)(1 b)【总结升华】(1)如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运用平方差公式分解.(2)因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止.举一反三：【变式】先化简，再求值：(2a+3b) 2-( 2a- 3b) 2,其中a二丄.6b【答案】解：原式=(2a+3b+2a- 3b) (2a+3b- 2a+3b)=4a >6b=24ab,11当a= ，即ab= 时，6b6原式=24ab=4.类型二、平方差公式的应用3、在日常生活中，如取款、上网需要密码，有一种因式分解法产生密码，例如x4- y4= (x- y) (x+y ) (x2+y2),当 x=9 , y=9 时,x- y=0, x+y=18 , x2 +y2=162 ,则密码 018162 .对于多项式4x3-xy2,取x=10 , y=10,用上述方法产生密码是什么？3232【思路点拨】 首先将多项式4x - xy进行因式分解，得到 4x - xy =x (2x+y) (2x - y),然 后把x=10 , y=10代入，分别计算出 2x+y=及2x - y的值，从而得出密码.【答案与解析】解：原式=x (4x2 - y2) =x ( 2x+y) ( 2x - y),当 x=10 , y=10 时，x=10, 2x+y=30 ,