第6章 FIR滤波器设计1新

1、G葛青1.1.低通巴特沃斯滤模拟波器设计步骤：低通巴特沃斯滤模拟波器设计步骤：（1 1）由）由 求滤波器阶次求滤波器阶次N N；（2 2）由）由N N查表，求出归一化传输函数查表，求出归一化传输函数 ；（3 3）令）令 代入代入 ，得实际，得实际 滤波器传输函数滤波器传输函数H Ha a(s) (s) 。 sspp和、css/)(sHa)(sHaN Nminmin应取向上取整。应取向上取整。Npcp211.0)110(Nscs211.0)110(N及 计算c或2.2.切比雪夫模拟滤波器设计切比雪夫模拟滤波器设计通带内等波纹，阻带内单调通带内等波纹，阻带内单调-切比雪夫切比雪夫1 1型型通带内单

2、调，阻带内等波纹通带内单调，阻带内等波纹-切比雪夫切比雪夫2 2型型切比雪夫切比雪夫1 1型的幅度平方函数：型的幅度平方函数：)(11| )(|222pNaCjH切比雪夫滤波器模拟设计过程切比雪夫滤波器模拟设计过程 1 1) )根据要求的滤波器指标确定波纹参数根据要求的滤波器指标确定波纹参数和和N N。 滤波器的阶数滤波器的阶数N N的确定：的确定：110p1 . 02 的确定：的确定：ps11.01.01/cosh110/110lgcoshpsN待定参数待定参数可通过通带内的最大衰减来求得可通过通带内的最大衰减来求得 2)查表求得归一化传输函数查表求得归一化传输函数 ,令 代替归一化原型滤波

3、器系统函数中的 ，即得到实际滤波器传输函数。cs)(sHas切比雪夫滤波器模拟切比雪夫滤波器模拟设计过程设计过程基本思路：基本思路：转换要求：转换要求：（1 1）确保稳定性；）确保稳定性；（2 2）模仿的频响特性基本一致）模仿的频响特性基本一致)()(zHsHa转换成数字设计模拟IIRIIR数字滤波器的实现数字滤波器的实现常用方法常用方法工程上常用工程上常用: :脉冲响应不变法脉冲响应不变法1.1.双线性变换法双线性变换法冲激不变法冲激不变法s平面与平面与z平面的映射关系平面的映射关系jImzRez1 j/T-/T3/T-3/T5/T-5/Ts平面到z平面的多值映射32)j(aHoo23 T)

4、(ejHT2TTT2脉冲响应不变法中的频响混叠现象 信号响应系统？)(sHa得由模拟滤波器设计理论脉冲响应不变法的基本思路脉冲响应不变法的基本思路)()()(zHznThthaa函数变换得数字滤波器传递取进行采样得：取拉氏逆变换得：( )aHs( )ah t( )h n( )H z拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换tnTz z变换变换再对h(n)取Z 变换，得到数字滤波器的传递函数11011011( )( )()()1kkkNNs Ts TnnnkknnkknNks TkH zh n zA ezAezAez 脉冲响应不变法脉冲响应不变法模拟到数字的转换模拟到数字的转换NkkkassAsH1)(冲激响

5、应不变法的实现步骤冲激响应不变法的实现步骤(1)确定数字滤波器的性能指标（ ) 和( )(2)利用 ，将数字滤波器的性能指标变换 成模拟滤波器的性能指标( )和( ）(3)利用成熟的模拟滤波器设计方法设计模拟滤波器，求出(4)将模拟滤波器系统函数 转变成数字滤波器的系统函数,pp ,ss T ,pp,ss( )aHs( )aHs( )H zNkkkassAsH1)(NkTskzeTAzHk111)(冲激响应不变法的优缺点冲激响应不变法的优缺点优点：优点：一个线性相位的模拟滤波器可以映射成为一个线性相位的数字滤波器。缺点：缺点：根据奈奎斯特抽样定理，冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，即只适

6、用低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计，否则会出现混叠，而且这种频率混叠现象的出现不会因抽样周期的减少而消失。双线性变换法双线性变换法（ Bilinear Transformation method Bilinear Transformation method ）为了克服脉冲响应不变法的频谱混叠为了克服脉冲响应不变法的频谱混叠现象，采用非线性频率压缩方法现象，采用非线性频率压缩方法-双线性变换法。双线性变换法。双线性变换法（Bilinear Transform)1.1.变换原理变换原理 s平面到z平面的映射关系二次映射法S S1 Z为了将S平面的j轴压缩到S1平面j1轴上的 到

7、 一段上，可通过以下的正切变换实现： 这里C是待定常数，下面会讲到用不同的方法确定C 。 1()2TC tg T/T/1()2TC tg 221cccCtgTCtg11112)()(zzsTsasHzH平平面面整整个个平平面面的的一一个个带带域域平平面面整整个个映映射射过过程程：带带域域映映射射映映射射ZSS 1sTsez1 （1 1）确定数字低通技术指标：）确定数字低通技术指标： 通带截止频率通带截止频率 、通带衰减、通带衰减 阻带截止频率阻带截止频率 、阻带衰减、阻带衰减 （2 2）预畸变：将数字低通指标转换成模拟低通）预畸变：将数字低通指标转换成模拟低通指标（指标（ 和和 不变不变 ）

8、边界频率的变换关系：边界频率的变换关系：pspsps)2(2tgT)()()()(zHsHjHeHj双线性变换频率预畸变双线性变换法设计数字低通滤波器的步骤双线性变换法设计数字低通滤波器的步骤双线性变换法设计数字低通滤波器的步骤双线性变换法设计数字低通滤波器的步骤（3 3）设计模拟低通滤波器传输函数）设计模拟低通滤波器传输函数H Ha a(s)(s)；（4 4）将）将H Ha a(s)(s)转换成数字低通滤波器：转换成数字低通滤波器： 这里的采样间隔这里的采样间隔T T可任意选取，可任意选取， 通常取通常取 T=1T=1。 11112| )()(zzTsasHzH双线性变换的频率对应关系双线性

9、变换的频率对应关系双线性变换法虽然避免了“频率混叠效应频率混叠效应”，但出现了模拟频率与数字频率为一种非线性的关系情形即：数字频率为一种非线性的关系情形即：可见：模拟滤波器与数字滤波器的响应在对应的频率关系上发生了“畸变”，也造成了相位的非线性变化，这是双线性变换法的主要缺点。具体而言，在上刻度为均匀的频率点映射到上时变成了非均匀的点，而且随频率增加越来越密。 双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然是应双线性变换法除了不能用于线性相位滤波器设计外，仍然是应用最为广泛的设计用最为广泛的设计IIRIIR数字滤波器的方法。数字滤波器的方法。 22tgT IIR IIR数字滤波器最大缺点：

10、不易做成线性相数字滤波器最大缺点：不易做成线性相位，而现代图像、语声、数据通信对线性相位，而现代图像、语声、数据通信对线性相位的要求是普遍的。正是此原因，使得具有位的要求是普遍的。正是此原因，使得具有线性相位的线性相位的FIRFIR数字滤波器得到大力发展和数字滤波器得到大力发展和广泛应用广泛应用IIRIIR滤波器滤波器FIRFIR滤波器滤波器h(n)无限长h(n)有限长极点在Z平面的任意位置极点固定在原点滤波器的阶次低滤波器的阶次高得多非线性相位可严格的线性相位递归结构一般采用非递归结构不能用FFT计算可用FFT计算可用模拟滤波器设计设计借助于计算机用于设计规格化的选频滤波器可设计各种幅频特性

11、和相频特性的滤波器 FIR FIR滤波器无相位失真，其单位冲击响滤波器无相位失真，其单位冲击响应是有限长的，不存在稳定性的问题，应是有限长的，不存在稳定性的问题，应用广泛，但要获得好的特性，应用广泛，但要获得好的特性，FIRFIR滤滤波器的长度较长，运算时间长，算法较波器的长度较长，运算时间长，算法较复杂。复杂。lclear;clc;l fs=1600;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;l x=sin(2*pi*100*t);lplot(t(1:50),x(1:50)lxlabel(t=n/fs);ltitle(sin(2*pi*100*t);lgrid on;lclear;clc;

12、l fs=1600;N=1024;n=0:N-1;t=n/fs;ly=sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*180*t)lplot(t(1:50),y(1:50)lxlabel(t=n/fs);ltitle(y=sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*180*t);lgrid on; Wp=2Wp=2* *120/fs;Ws=2120/fs;Ws=2* *150/fs;Rp=1;Rs=30;150/fs;Rp=1;Rs=30; NJ,Wn= buttord(Wp,Ws,Rp,Rs) ; NJ,Wn= buttord(Wp,Ws,Rp,Rs) ; b,a=butter(NJ

13、,Wn) ; b,a=butter(NJ,Wn) ; z=filter(b,a,y);plot(t(1:50),z(1:50) z=filter(b,a,y);plot(t(1:50),z(1:50)xlabel(t=n/fs);title(y=sin(2*pi*100*t)+sin(2*pi*180*t);grid on;l w=0:0.01*pi:200*pi;lHlp=exp(-j*5*w)lHnp=exp(-j*pi*cos(5*w)l有限冲激响应滤波器的传输函数为有限冲激响应滤波器的传输函数为 10NnnznhzHl输出只与现时刻的输入及过去时刻的输入输出只与现时刻的输入及过去时刻的

14、输入有关，而与过去时刻的输出没有直接关系。有关，而与过去时刻的输出没有直接关系。 设设FIRFIR滤波器的单位冲击响应滤波器的单位冲击响应h(n)h(n)长度长度为为N N，其系统函数，其系统函数H(z)H(z)为：为：121)1(110)1(.)1()0()1(.)1()0(NNNNNnnzNhzhzhzNhzhhznhzH H(z) H(z)在在Z Z平面有平面有N-1N-1个零点，在个零点，在Z=0Z=0处有处有N-1N-1阶重极点。阶重极点。设设FIRFIR数字滤波器单数字滤波器单位脉冲响应为位脉冲响应为： nh10Nn 1jjjj0eeeeNnnHh nH 则频率响应为：则频率响应为

15、：称为相位特性称为相位特性)( 问题：问题：并非所有的并非所有的FIRFIR系统都是线性相系统都是线性相位的，只有当它满位的，只有当它满足一定条件时才具足一定条件时才具有线性相位。有线性相位。或：或： a 满足：满足： a0（第一类线性相位）（第一类线性相位）（第二类线性相位）（第二类线性相位）线性相位线性相位：指指 是是 的线性函数的线性函数 即群时延为常数即群时延为常数add)()( 1jjjj0eeeeNnnHh nH 1j0ecoscosNnHah nn 1j0esinsinNnHahnn 则：则：10)()()(NnjnajjenheeH 1010s ins inc o sc o s

16、NnNnhnnaahnn 1100sincoscossin0NNnnh nnah nna 10sin0Nnh nan 即：即：满足上式，并对所有成立的一组解为：满足上式，并对所有成立的一组解为： 12101Nah nh NnnN 是是FIR数字滤波器具有线性相位的充要条件。数字滤波器具有线性相位的充要条件。它要求单位脉冲响应它要求单位脉冲响应 必须以必须以 偶对称，时间延时为长度的一偶对称，时间延时为长度的一半，即半，即 个取样周期。个取样周期。 12101Nah nh NnnN h n 1 /2nN 1 / 2aN 相位函数是相位函数是omigaomiga的线性函数，且通过原点，的线性函数，

17、且通过原点，即具有严格的线性相位特性即具有严格的线性相位特性。0 06 61 12 2n nC Ce en nt tr re e o of f s sy ym mm me et tr ry yN N o od dd d, , p po os si it ti iv ve e s sy ym mm me et tr ry y（N N为奇数，偶对称）为奇数，偶对称）0 06 61 11 1n nC Ce en nt tr re e o of f s sy ym mm me et tr ry yN N e ev ve en n, , p po os si it ti iv ve e s sy ym

18、mm me et tr ry yN N= =1 12 2（N N为偶数，偶对称）为偶数，偶对称） a0第二类线性相位：第二类线性相位：aNnnHnhH0jj10jjeeee同理可以证明信号通过滤波器后不仅有 个取样周期的时延，而且还要产生 的相移。 1 /2N 90它要求单位脉冲响应 必须以 奇对称，时间延时为长度的一半，即 个取样周期。 h n 1 /2nN 1 / 2aN 相位特性同样为一严格的直线，相位特性同样为一严格的直线，但在零点处有但在零点处有-pi/2-pi/2的截距。的截距。0 06 6n nC Ce en nt tr re e o of f s sy ym mm me et

19、tr ry yN N o od dd d, , n ne eg ga at ti iv ve e s sy ym mm me et tr ry yN N= =7 7（N N为奇数，奇对称）为奇数，奇对称）0 07 7n nC Ce en nt tr re e o of f s sy ym mm me et tr ry yN N e ev ve en n, , n ne eg ga at ti iv ve e s sy ym mm me et tr ry yN N= =8 8（N N为偶数，奇对称）为偶数，奇对称） 奇对称中心的脉冲响应奇对称中心的脉冲响应(a) N(a) N为奇数为奇数 (b)

20、 N (b) N为偶数为偶数(1)h(n)(1)h(n)为偶对称，为偶对称，N N为奇数为奇数 当当N为奇数时，为奇数时， 的对称中心在的对称中心在 ，因此频，因此频率响应可写为率响应可写为 nh21Nh 21j121j1210j10jje21eeeeNNNnnNnnNnnNhnhnhnhH将上式第二项进行变量代换将上式第二项进行变量代换 ，得，得 nNn1 2121cos2ee21eeee21e1ee121021j21j21j21j121021j21j12101jjjNhNnnhNhnhNhnNhnhHNnNNNnNnNnNNNnnNn其幅频特性为其幅频特性为 2121cos21210NhN

21、nnhHNn令令 nNm21 mNhma2122121Nm，可表示为可表示为21cos211NhmmaHNm(1)h(n)(1)h(n)为偶对称，为偶对称，N N为奇数为奇数也可写为也可写为由于由于 对对 这些点都是偶对称的，这些点都是偶对称的，因此因此 对对 这些点也都有偶对称结构。这些点也都有偶对称结构。 210cos210NhammaHNmmcos20， H20，可以设计任何一种滤波器可以设计任何一种滤波器(1)h(n)(1)h(n)为偶对称，为偶对称，N N为奇数为奇数 (2)h(n) (2)h(n)为偶对称，为偶对称，N N为偶数为偶数其幅频特性为其幅频特性为由上式可以看出，当时由上

22、式可以看出，当时 ， ，而且对，而且对 呈奇对称。因此呈奇对称。因此 ， 对对 也呈奇对也呈奇对称。称。 2121cosNmmmbH02/1cosm 0H H H (2)h(n)(2)h(n)为偶对称，为偶对称，N N为偶数为偶数只能设计低通和带通滤波器，只能设计低通和带通滤波器，不能设计高通和带阻滤波器不能设计高通和带阻滤波器(3)h(n)(3)h(n)为奇对称，为奇对称，N N为奇数为奇数其幅频特性为其幅频特性为由于由于 在在 处为零，所以处为零，所以 在在 处也为零，且处也为零，且 对对 呈奇对称。呈奇对称。 211sinNmmmcHmsin20， H20， H20，(3)h(n)(3)

23、h(n)为奇对称，为奇对称，N N为奇数为奇数只能设计带通滤波器只能设计带通滤波器(4)h(n)(4)h(n)为奇对称，为奇对称，N为偶数为偶数） 其幅频特性为其幅频特性为 211sin2NmHd mm 由于由于 在在 处为零，所处为零，所以以 在在 处也为零，且处也为零，且 对对 呈奇对称。呈奇对称。2/1sinm20， H20， H20，(4)h(n)(4)h(n)为奇对称，为奇对称，N为偶数为偶数只能设计带通只能设计带通和和高通滤波器高通滤波器四种线性相位滤波器的特性四种线性相位滤波器的特性四种线性相位滤波器的特性四种线性相位滤波器的特性 了解线性相位滤波器的频率特性，便可根据了解线性相

24、位滤波器的频率特性，便可根据实际需要选择合适的实际需要选择合适的FIRFIR滤波器，同时设计滤波器，同时设计时要遵循线性相位的约束条件；时要遵循线性相位的约束条件；l第第1 1种、第种、第2 2种情况适合设计选频滤波器种情况适合设计选频滤波器; ;l第第2 2种不适合设计高通和带阻滤波器种不适合设计高通和带阻滤波器; ;l第第3 3种不适合设计低通和高通滤波器种不适合设计低通和高通滤波器; ; l第第3 3种、第种、第4 4种情况适合设计希尔伯特变换器种情况适合设计希尔伯特变换器和微分器和微分器; ; FIRFIR滤波器的极点都集中在原点，只有零点。因此，滤波器的极点都集中在原点，只有零点。因

25、此，对零点位置的确定直接关系到滤波器的传输特性和对零点位置的确定直接关系到滤波器的传输特性和构成。构成。 已知已知FIRFIR滤波器的系统函数为滤波器的系统函数为 10,)1()(NnnNhnh)()(1,)()1()()(1)1(10)1(10)1(1010zHzzmhznNmzmhznNhznhzHNNmmNNmmNNnnNnn上式表明上式表明: : 和和 除了相差除了相差 个样点的延时外，它们具有相同的根个样点的延时外，它们具有相同的根。 zH1zH1N 若若 是零点，是零点， ，则其倒数，则其倒数 也必定是也必定是零点，因为零点，因为 。所以。所以 必定存必定存在互为倒数的一对零点在互

26、为倒数的一对零点 和和 ，而且由于，而且由于 是是实数，实数， 的零点必然是共轭成对，的零点必然是共轭成对， 即即 和也和也为零点。这样，为零点。这样，线性相位滤波器的零点必须是互为线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对。确定其中一个，另外三个零点也就倒数的共轭对。确定其中一个，另外三个零点也就确定了。确定了。 线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对对,有三种可能的结构有三种可能的结构。izz 0izH1izz 011iNiizHzzH zHiz1iz nh zHiz 1iziziz （1） 既不在实轴上也不在单位圆上，则必然是四个互为倒数的两组

27、共轭对。如图(a)所示。 （2） 若在单位圆上，则共轭对的倒数就是其本身。若 在实轴上，即 是实数，则共轭数就是本身。如图(b)所示。 （3） 当既在实轴上也在单位圆上时， 或 。如图 (c)所示,只有一个零点。 线性相位线性相位FIRFIR滤波器的零点结构滤波器的零点结构iz1iz1izizizizizizizFIR滤波器设计方法滤波器设计方法 lFIR滤波器的设计是通过对理想滤波器的频率特性作某种逼近得到的。 l常用的设计方法:u窗函数法u频率采样法u计算机辅助最优化设计法 nh1,|()0|jjcdceHe 1( )()sin()1 ()2()jddjj ncdh nFHenHeedn1

28、.1.设计的基本思想设计的基本思想以低通滤波器为例：以低通滤波器为例：则：则：中心点为中心点为a a的偶对称无限长非因果序列。的偶对称无限长非因果序列。1( )()sin()1 ()2()jddjjncdhnFHenHeedn( )011( ),02dh nnNNh nandelsewhere加窗加窗加窗加窗矩形窗矩形窗( )( )( )1 01( )0,dNNh nhn RnnNRnotherwise时域时域n nn nn n0 00 00 0h hd d( (n n) )R RN N( (n n) )1 1N N- -1 1h h( (n n) )时域加窗时域加窗deReHeReHeHjN

29、jdjNjdj)()(21)()(21)()(频域频域1( )( )()2dNHHRd11001(1)2()( )sin(/2) ( )sin(/2)NNjj nj nNNnnjNjaNReRn eeNeResin(/2)1( ),sin(/2)2NNNRa式中ajdjdeHeH)()(|, 0| , 1)(ccdH其幅度特性为：其幅度特性为：()1()( )()21 ( )()2 ( )jj ajadNj adNj aH eHeRedeHRdHe 1( )( )()2dNHHRd其中幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性与其中幅度特性等于理想低通滤波器的幅度特性与矩形窗幅度特性的卷积。矩形窗幅

30、度特性的卷积。sin(/2)1( ),sin(/2)2NNNRa式中;/4) 1 (N主瓣宽度：;)()0()2(的全部面积近似于NRH5 . 0)0(/ )()()()3(cdcHHRHN有的一半重叠，正好与时，c这时应出现正的肩峰；的通带内，的主瓣全部在时，)()(/2)4(dcHRNNN/2c这时应出现负的肩峰；的通带外，的主瓣全部在时，)()(/2)5(dcHRNNN/2c 所设计的滤波器在通带内有波动，特别是在通所设计的滤波器在通带内有波动，特别是在通带边沿波动较大，这种现象称作吉布斯现象。带边沿波动较大，这种现象称作吉布斯现象。 吉布斯现象：对于具有不连续点吉布斯现象：对于具有不连

31、续点(跳变点跳变点)的波的波形，利用傅里叶级数对其逼近时，所取级数形，利用傅里叶级数对其逼近时，所取级数项越多，近似波形的均方误差虽可减少，但项越多，近似波形的均方误差虽可减少，但在跳变点处的峰值不能减少，该峰随项数的在跳变点处的峰值不能减少，该峰随项数的增多向向跳变点靠近，峰值趋近于跳变值的增多向向跳变点靠近，峰值趋近于跳变值的9%。减。带内波动和加大阻带衰改变窗的形状可以减小效应。，这种现象称作吉布斯是如何改变，最大肩峰总，不管，最大相对肩峰为的相对值。对于矩形窗的肩峰即不会改变归一化频响瓣与旁瓣的相对比例，值的改变，不能改变主吉布斯效应决于旁瓣的多少度，而震荡的多少则取度取决于旁瓣的相对

32、幅其震荡幅形成起伏震荡，处出现肩峰，肩峰两侧在小。，但不能减小肩峰的大可以控制过渡带的宽度改变窗口长度数频响的主瓣宽度过渡带，其宽度为窗函加窗后，使频响产生一. 4%95. 8N%95. 8. 3/2)(. 2,/4. 1cNNHNN设计步骤：设计步骤：1.1.给定理想滤波器的频率响应给定理想滤波器的频率响应2.2.计算计算 若若 表达式复杂，不便于直接计算积分，表达式复杂，不便于直接计算积分，可对可对 进行抽样，求出上述积分的数进行抽样，求出上述积分的数值近似解，即是值近似解，即是N N点的离散傅里叶反变换。点的离散傅里叶反变换。)(jdeH jjddee21dHnhn)(jdeH)()(1

33、)(2102kHIDFTeeHNnhdknNjNkkNjddft设计步骤：设计步骤：3.3.选窗函数及计算窗口长度选窗函数及计算窗口长度N N 窗函数的选择原则窗函数的选择原则 (1) (1)保证阻带衰减满足要求；保证阻带衰减满足要求； (2)(2)希望主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带（过渡希望主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带（过渡带等于主瓣宽度；带等于主瓣宽度； (3)尽量减少窗谱最大旁瓣尽量减少窗谱最大旁瓣 的相对幅度，使肩峰和的相对幅度，使肩峰和波纹减少；波纹减少； 窗谱：窗谱：窗函数的频响的幅度函数称作窗谱；窗函数的频响的幅度函数称作窗谱； 常用窗口函数的特性常用窗口函数的特性设计步骤：设

34、计步骤：3.3.选窗函数及计算窗口长度选窗函数及计算窗口长度N N 估计窗口长度。估计窗口长度。pspsANBBAN2,2（4）对理想滤波器加窗，求得FIR滤波器的单位冲击响应)()()(nwnhnhd（5）求)()(nhFTeHj验证结果是否满足设计要求。若不满足，改变N值或窗形状重新设计。设计步骤：设计步骤：.d50sec)/(1032sec);/(105 . 12sec);/(105 . 123st3p4sBradradradFIR阻带衰减不小于阻带截止频率：通带截止频率：抽样频率：低通滤波器，要求例：设计一个线性相位.d503 . 0)(34 . 0/22 . 0/21p21sstss

35、tspsppBdBTTstcst阻带衰减不小于截止频率：阻带截止频率：抽样频率：）求数字滤波器的指标（解：1,|()0|jjcdceHe 1( )()sin()1 ()2()jddjj ncdh nFHenHeedn则：则：(2)确定确定hd(n)(12cos46. 054. 0)()53(d50)3(nRNnnWdBBN，确定海明窗有阻带衰减选择窗函数1621332.06.62.0而,6.6海明窗带宽：值确定)4(stNNNNp)(1646. 054. 0)16()16(3 . 0sin)()()()()5(33nRnosnnnwnhnhnhFIRd滤波器的确定或窗形状重新设计。若不满足，改

36、变，验证是否满足要求，求NeHj)()6( 常用窗口函数的特性常用窗口函数的特性 从上述表格可以看出，矩形窗的主瓣从上述表格可以看出，矩形窗的主瓣宽度最小，布拉克曼窗的旁瓣峰值衰减很大，宽度最小，布拉克曼窗的旁瓣峰值衰减很大，且旁瓣衰减的速度也很快，但主瓣宽度较宽。且旁瓣衰减的速度也很快，但主瓣宽度较宽。因此在实际应用中，应根据设计要求，即滤因此在实际应用中，应根据设计要求，即滤波器通带和阻带的衰减、过渡带的宽度等指波器通带和阻带的衰减、过渡带的宽度等指标具体选择不同的窗口函数。标具体选择不同的窗口函数。lW=boxcar(N): rectangular windowW=boxcar(N):

37、rectangular windowlW=triang(N): bartlett windowW=triang(N): bartlett windowlW=hanning(N)W=hanning(N)lW=hamming(N)W=hamming(N)lW=blackman(N)W=blackman(N)lW=kaiser(N,beta)W=kaiser(N,beta)在窗口函数的选取时，原则上应注意以下几点：在窗口函数的选取时，原则上应注意以下几点：（1 1）主瓣宽度要尽量窄，以获得较陡的过渡带。）主瓣宽度要尽量窄，以获得较陡的过渡带。（2 2）尽量减少窗口频谱中的旁瓣，即能量尽量集中在主瓣中

38、，）尽量减少窗口频谱中的旁瓣，即能量尽量集中在主瓣中，以减小带内波动，提高阻带衰减。以减小带内波动，提高阻带衰减。 在实际应用中，上述两个要求总是不能同时兼得。当选取在实际应用中，上述两个要求总是不能同时兼得。当选取的主瓣宽度很窄时，虽然过渡带较陡，但通带和阻带波动明显的主瓣宽度很窄时，虽然过渡带较陡，但通带和阻带波动明显增加。当选取的旁瓣幅度较小时，虽然带内波动较小，但过渡增加。当选取的旁瓣幅度较小时，虽然带内波动较小，但过渡带较宽。因此，应统筹考虑，在主瓣宽度达到一定要求的条件带较宽。因此，应统筹考虑，在主瓣宽度达到一定要求的条件下，适当增加主瓣宽度来换取旁瓣的抑制。下，适当增加主瓣宽度来

39、换取旁瓣的抑制。1,01( )( )0,RNnNw nRnotherwise)1(21)2sin()2sin()(NjjReNeW矩形窗函数矩形窗函数频率响应频率响应三角（三角（Bartlett）窗）窗 21,01221( )2,1120,nNnNnNw nnNNotherwise)21(2)2sin()4sin(2)(NjjBreNNeW频率响应频率响应l汉宁（汉宁（Hanning）窗）窗 ，又称升余弦窗，又称升余弦窗20.5 1 cos,01( )10,nnNw nNotherwise12122()0.5( )0.25()12 ()1 ( )jHnRRNjRNjHnWeWWNWeNWe当N

40、1时，N-1N22( )0.5( )0.25()()HnRRRWWWWNNl汉明（汉明（HammingHamming）窗）窗（改进升余弦窗）（改进升余弦窗） )()12cos(46. 054. 0)(nRNnnwNHm2( )0.54( )0.23()12 ()1HmRRRWWWNWN当当N1N1，可近似为：，可近似为：22( )0.54( )0.23()()HmRRRWWWWNN例例: 设计一个低通滤波器，设计一个低通滤波器，N=81，截止频率，截止频率， 采用采用hamminghamming窗窗a=(N-1)/2=40 低通滤波器的冲激响应为低通滤波器的冲激响应为: :2sin(0.3 (

41、40)( )0.540.46cos()80(40)nnh nnn=0,1,80n=0,1,800.3c( )( )( )hmdh nwn h nl布莱克曼（布莱克曼（Blackman）窗（二阶升余弦窗）窗（二阶升余弦窗） 24( )0.420.5cos()0.08cos( )11BlNnnwnRnNN22( )0.42( )0.25()()1144 0.04()()11BlRRRRRWWWWNNWWNN上述几种窗函数设计滤波器时，方法简单，上述几种窗函数设计滤波器时，方法简单，但是由于吉布斯但是由于吉布斯(Gibbs)(Gibbs)效应的影响，一旦效应的影响，一旦选择了窗函数，其最大相对肩峰值

42、就不受控选择了窗函数，其最大相对肩峰值就不受控制，在要求比较高的场合，这种方法是不能制，在要求比较高的场合，这种方法是不能满足要求的满足要求的; ;。凯塞窗可以克服上述窗函数存在的缺陷，凯塞窗可以克服上述窗函数存在的缺陷，具有两个可调参数：窗宽具有两个可调参数：窗宽N N和窗形参数和窗形参数;l凯泽（凯泽（Kaiser）窗）窗 2012( )1!kkxIxk 是零阶第一类修正贝塞尔函数是零阶第一类修正贝塞尔函数0( )Ix2/ )1(1cos)(2)0()(NnkkknnwwW凯塞窗的幅度函数为凯塞窗的幅度函数为10)(/ ) 112(1)(020NnINnInw一般一般I0(x)I0(x)取

43、取1515- -2525项项 KaiserKaiser窗是以窗是以n=n=为对称中心的函数，两个为对称中心的函数，两个 参数参数和和分别控制窗函数的中心点位置和分别控制窗函数的中心点位置和 边缘边缘的下降程度。的下降程度。 加大，主瓣加宽，旁瓣幅度减小， 当=5.44时，凯赛窗接近哈明窗； =7.865时，凯赛窗接近布莱克曼窗。 改变可同时调整主瓣宽度和旁瓣幅度；可同时调整主瓣宽度和旁瓣幅度； 上升，主瓣宽度上升，旁瓣幅度下降；上升，主瓣宽度上升，旁瓣幅度下降； 当当=0 =0 时，与矩形窗相同。时，与矩形窗相同。 当当=5 =5 时，形状非常接近时，形状非常接近hamminghamming窗

44、。窗。 因此，通过调整因此，通过调整可以得到不同的波纹参数，因而可可以得到不同的波纹参数，因而可以控制滤波器的频率响应；以控制滤波器的频率响应； KaiserKaiser窗由于设计灵活而被广泛采用窗由于设计灵活而被广泛采用和和的选取的选取：线性相位FIR滤波器设计中:=(N-1)/2；：一般根据滤波器阻带衰减大小要求进行选择，其值越大，相应的窗函数边缘下降程度越大，阻带衰减也就越大，计算的经验公式：21,05021),21(07886. 0)21(5842. 050,)7 . 8(1102. 04 . 0AAAAAAA A表示阻带衰减的表示阻带衰减的dBdB值值总结：总结：在窗长一致的前提下在

45、窗长一致的前提下（1）矩形窗的频谱主瓣最窄，相应的低通滤波器过）矩形窗的频谱主瓣最窄，相应的低通滤波器过渡带也最窄，但阻带衰减也最小；渡带也最窄，但阻带衰减也最小；（2）哈明窗有较好的综合性能；）哈明窗有较好的综合性能；（3）凯塞窗具有灵活）凯塞窗具有灵活 的参数控制手段使低通滤波器的参数控制手段使低通滤波器具有所需的阻带衰减，而其他窗函数不具备；具有所需的阻带衰减，而其他窗函数不具备；（4）窗函数两边的平滑下降可以提高其频谱中旁瓣）窗函数两边的平滑下降可以提高其频谱中旁瓣的下降幅度，但同时主瓣变宽了；的下降幅度，但同时主瓣变宽了；（5）滤波器的阻带衰减与窗函数频谱旁瓣衰减幅度）滤波器的阻带衰

46、减与窗函数频谱旁瓣衰减幅度成正比，而过渡带与窗函数的主瓣宽度成正比；成正比，而过渡带与窗函数的主瓣宽度成正比；（6）在选定窗函数类型后可通过窗长）在选定窗函数类型后可通过窗长N调节滤波器调节滤波器过渡带的宽度，过渡带的宽度，N越大，窗函数主瓣越窄，滤波器越大，窗函数主瓣越窄，滤波器过渡带也越窄；但是，窗长过渡带也越窄；但是，窗长N的变化对阻带衰减几的变化对阻带衰减几乎没有影响，因为窗函数主瓣和旁瓣的幅度几乎是乎没有影响，因为窗函数主瓣和旁瓣的幅度几乎是随随N一样变化的，其比值几乎不随一样变化的，其比值几乎不随N而变化，即旁而变化，即旁瓣的衰减几乎不变。瓣的衰减几乎不变。 下图显示了下图显示了4

47、1点和点和81点长度的哈明窗的频谱和点长度的哈明窗的频谱和FIR低通滤波器的幅频响应，截止频率为低通滤波器的幅频响应，截止频率为0.4pi，可以看，可以看到，在两种情况下，窗函数频谱的旁瓣衰减和滤波到，在两种情况下，窗函数频谱的旁瓣衰减和滤波器阻带衰减几乎没有差别，但窗函数主瓣宽度和滤器阻带衰减几乎没有差别，但窗函数主瓣宽度和滤波器过渡带随窗长增大而变窄。波器过渡带随窗长增大而变窄。l增加窗函数长度，只能减少窗函数的主瓣和过渡带宽度，但不能减少主瓣和旁瓣的相对值，该值取决于窗函数的形状。1N=31N=41N=51N=61矩形窗窗长度影响矩形窗窗长度影响l因为，对因为，对FIR系统而言，冲击响应

48、就是系统函数的系统而言，冲击响应就是系统函数的系数。因此设计系数。因此设计FIR滤波器的方法之一可以从时域滤波器的方法之一可以从时域出发，截取有限长的一段冲击响应作为出发，截取有限长的一段冲击响应作为H(z)的系数，的系数，冲击响应长度冲击响应长度N就是系统函数就是系统函数H(z)的阶数。只要的阶数。只要N足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。足够长，截取的方法合理，总能满足频域的要求。一般这种时域设计、频域检验的方法要反复几个回一般这种时域设计、频域检验的方法要反复几个回合才能成功。合才能成功。例：试用矩形窗设计一个例：试用矩形窗设计一个FIRFIR数字低通滤波数字低通滤波器，其通带截

49、止频率器，其通带截止频率c c =0.3 =0.3，矩形窗的，矩形窗的长度分别取长度分别取N=41 N=41 和和 N=121N=121。（1 1） N=41 N=41时，有时，有a=(N-1)/2=20a=(N-1)/2=20（2 2）低通滤波器的冲激响应）低通滤波器的冲激响应: :sin(0.3 (20)( )(20)(20)dnh nh nnn=0,1,40n=0,1,40特别地特别地 h(20)=hd(0)= h(20)=hd(0)= c c/=0.3/=0.3（3 3）N = 121 N = 121 时时a=(N-1)/2=60,h(60)=hd(0)=0.3a=(N-1)/2=60

50、,h(60)=hd(0)=0.3其低通滤波器的冲激响应为：其低通滤波器的冲激响应为：sin(0.3 (60)( )(60)(60)dnh nh nnn=0,1,120n=0,1,120Matlab Program:Matlab Program:% % 低通滤波器设计低通滤波器设计N=41;N=41;a=(N-1)/2 ;a=(N-1)/2 ;n=0n=0: (N-1);: (N-1);h=sin(0.3h=sin(0.3* *pipi* *(n-a)./(pi(n-a)./(pi* *(n-a+eps);(n-a+eps);h(a+1)=0.3; %h(a+1)=0.3; %序号必须从序号必须

51、从1 1开始开始subplot(1,2,1);subplot(1,2,1);plot(n,h); %plot(n,h); %画出脉冲响应画出脉冲响应title(Impulse Response,N=41);title(Impulse Response,N=41);axis(0,130,-0.1,0.4);axis(0,130,-0.1,0.4);xlabel(time sample n);xlabel(time sample n);ylabel(h(n);ylabel(h(n);X=fft(h,128);X=fft(h,128);subplot(1,2,2);subplot(1,2,2);pl

52、ot(abs(X); %plot(abs(X); %画幅频特性画幅频特性title(Magnitude Response,N=41);title(Magnitude Response,N=41);axis(0,60,0,1.1);axis(0,60,0,1.1);xlabel( in units of xlabel( in units of pi/Npi/N ); );ylabel(H();ylabel(H();gridgridMatlab Program:Matlab Program:01020304050607000.81Magnitude Response(lowpass), N=41 in u ni ts o f H( )01020304050607000.81Discrete(FFT) Magnitude Response(lowpass), N=41 in u ni ts o f H(k) 当采用矩形窗时当采用矩形窗时 滤波器的幅频特性为滤波器的幅频特性为利用上式可以求得利用上式可以求得 取不同值时，取不同值时， 相应的相应的值，画出幅频特性曲线，如图值，画出幅频特性曲线，如图7.6（a）中实线所示，）中实线所示，虚线为理想低通滤波器的幅频特性。虚线为理想低通滤波器的幅频特性。当采用汉宁窗时当采用汉宁窗时 由表可知由表可知求的汉