光学谐振腔分析

1、2021年12月24日1绪论第一章 激光基本原理第二章 光学谐振腔与高斯光束第三章 电磁场与物质的相互作用第四章 激光振荡特性第五章 激光器特性的控制与改善第六章 激光放大器第七章 激光参数测量2021年12月24日2第二章 光学谐振腔与高斯光束光学谐振腔的基本知识光学谐振腔的几何理论光学谐振腔的衍射理论高斯光束非稳定谐振腔的几何自再现波形2021年12月24日3光学谐振腔的基本知识光学谐振腔的结构光学谐振腔的分类光学谐振腔与激光模式：纵模、横模光学谐振腔的损耗2021年12月24日4光学谐振腔的结构光轴光学谐振腔示意图R1R2LO光学谐振腔的基本知识2021年12月24日5光学谐振腔分类、常

2、见光学谐振腔v稳定性:稳定腔、非稳定腔、临界腔临界腔稳定腔非稳定腔光学谐振腔的基本知识2021年12月24日6闭腔开腔气体波导腔v开放程度开放程度:闭腔闭腔、开腔开腔 、气体波导腔气体波导腔光学谐振腔的基本知识光学谐振腔分类、常见光学谐振腔2021年12月24日7v反射镜类型反射镜类型:平行平面腔平行平面腔、同心、同心腔腔 、共焦腔、共焦腔腔等腔等光学谐振腔的基本知识2021年12月24日8光学谐振腔的基本知识光学谐振腔的结构光学谐振腔的分类光学谐振腔与激光模式：纵模、横模光学谐振腔的损耗2021年12月24日9光学谐振腔与激光模式20qL或以波长表示：Lcqq2以频率表示为：v纵模-沿光的传

3、播方向的纵向光场分布设介质的折射率为n，则：nLcqq2相长干涉的条件：波从某一点出发，经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初始出发波同相。即相长干涉的条件可以表示为为：2220qLq=1q=2q=3L光学谐振腔的基本知识2021年12月24日10nLc21基纵模的频率为：nLcqq2q 阶纵模频率可以表达为：谐振腔内q阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍(q倍）nLcqq21纵模间隔： 激光器谐振腔的频谱示意图光学谐振腔的基本知识-纵模2021年12月24日11v说明在公式： 、 中 我们假设沿整个谐振腔的长度上折射率为一常数；若激活物质的长度不等于谐振腔的长度时，则有：nLc2221122Ln

4、LncnLcqq2光学谐振腔的基本知识-纵模2021年12月24日12激光谐振腔内低阶纵模分布示意图激光谐振腔内低阶纵模分布示意图光学谐振腔的基本知识-纵模2021年12月24日13激光纵模分布示意图激光纵模分布示意图 光学谐振腔的基本知识-纵模2021年12月24日14 例题例题 1 HeNe 激光器谐振腔长 50 cm，激射波长 632.8nm 求：纵模频率间隔及谐振腔内的纵模式数； GHzHzmmnLc3.01031052sec1032818671105803.110328.610522mmLqq 解:光学谐振腔的基本知识-纵模2021年12月24日152 已知：HeNe激光器谐振腔长5

5、0cm，若模式m的波长为632.8mn; 计算：纵模 m+1 的波长； 解答： 纵模的频率间隔为：由：m = 0.6328000*10-6 m 可以得到：光学谐振腔的基本知识-纵模2021年12月24日16由： 故：lm = 632.8000 nm , lm+1 = 632.7996 nm相邻纵模的波长差：lm - lm+1 =4*10-13 m则有：光学谐振腔的基本知识-纵模2021年12月24日17小结：激光器的纵模 激光器的纵模是沿激光器光轴传播的方向的光场分布； 纵模的频率间隔为常数，等于谐振腔的基频；缩短腔长， 频率间隔增大；nLcqq21 谐振腔内存在的纵模的频率由谐振腔的长度以及

6、激活物质 的折射率决定；nLcqq22qqL2021年12月24日18v横模横模 TEMm- -横向光场分布横向光场分布激光横模强度花样示意图光学谐振腔的基本知识横模2021年12月24日19横模分布及强度示意图横模分布及强度示意图光学谐振腔的基本知识横模2021年12月24日20激光谐振腔内横模分布示意图激光谐振腔内横模分布示意图-2-1012-2-101200.20.40.60.81-2-1012TEM00-2-1012-2-1012-0.2-0.100.10.2-2-1012TEM11光学谐振腔的基本知识横模2021年12月24日21激光多横模振荡示意图激光多横模振荡示意图光学谐振腔的基

7、本知识横模2021年12月24日22光学谐振腔与激光模式（1） 谐振腔内的纵模光学谐振腔的基本知识2021年12月24日23 谐振腔内的横模光学谐振腔与激光模式（2）光学谐振腔的基本知识2021年12月24日24光学谐振腔的基本知识光学谐振腔的结构光学谐振腔的分类光学谐振腔与激光模式：纵模、横模光学谐振腔的损耗2021年12月24日25激光器谐振腔的损耗 v光学开腔的损耗的分类（1）几何偏折损耗（2）衍射损耗 （3）腔镜不完全反射损耗 （4）材料中非激活吸收、散射，以及腔内插入物引起 的损耗光学谐振腔的基本知识2021年12月24日26v与损耗相关的几个参数与损耗相关的几个参数 10ln21I

8、I因此：ii321如果损耗是由多种因素引起，则有：当 很小时：)21(01 II0102 III1 平均单程损耗因子2exp01 II若初始光强为 ，在无源腔内往返一次后，光强衰减为 ，则：0I1I光学谐振腔的基本知识2021年12月24日27cLc腔寿命：光强从初始值衰减到初始值的1/e所用的时间；设t时刻光在腔内往返m 次数后，光强变为：meItI20)(cLtm2其中：ctLcteIeItI00)(因此：cteItI0)(若取t=0 时刻光强为 ，时刻t光强为 ，则：0I)(tIc 2 腔寿命光学谐振腔的基本知识2021年12月24日28 3 谐振腔的品值因数Q cLcv小结： 、 、Q

9、的关系：cccLQ22、PEPEQ2谐振腔Q值的普遍定义:式中，E：储存的总能量；P：单位时间内损耗的能量 ：腔内电磁场的振荡频率； ：场的角频率cLQc2可以推出：光学谐振腔的基本知识2021年12月24日29谐振腔损耗计算rrorrln2111212101rrII20eI21ln21rr可以得出：v 由镜面不完全反射引起的损耗 、 分别表示腔的两个反射率，则初始光强 经过一个往返后，光强由变为 ，则有：1r2r0I1I光学谐振腔的基本知识2021年12月24日30v 腔镜倾斜的几何损耗腔镜倾斜的几何损耗DmLDmLLL)12(53122)12(62 可以得到：光学谐振腔的基本知识2021年

10、12月24日31LDm2利用等差级数求和公式，有：返一次的平均时间 ，则腔内光子的平均寿命 及损耗 ： cLt/2cDL2DLcnLDcLmtc222例：谐振腔横向尺寸 D=1cm,L=1m,n=1；若要求 分别小于0.1、0.01，分析腔的平行度。DL2LD22解答：若使小于0.01：rad622102101.01012若使小于0.1：rad42210211.01012光学谐振腔的基本知识2021年12月24日32v衍射损耗衍射损耗 单程功率损耗率： aLLaaLaSSS2)()(22212aa61.0222.1由物理学可知，衍射角 ：菲涅耳系数FLaaL22.122.122 则：F1光学谐

11、振腔的基本知识2021年12月24日33第二章 光学谐振腔与高斯光束光学谐振腔的基本知识光学谐振腔的几何理论光学谐振腔的衍射理论高斯光束非稳定谐振腔的几何自再现波形2021年12月24日34光学谐振腔的几何理论几何理论光学变化矩阵方法共轴球面腔的光学变换矩阵共轴球面腔的稳定性条件典型的激光器谐振腔2021年12月24日35几何理论光学元件的光学变化矩阵T:)1()1()2()2(rrT光学变化矩阵的符号规则：1 光线在轴线上方时r取正，否则为负；2 光线的出射方向在轴线上方时，夹角取正，否则为负；v光学变化矩阵方法光学谐振腔的几何理论2021年12月24日36)1()2()1()1()2(Lr

12、r)1()1()1()1()2()2(101rrLr 写成矩阵：Tv自由空间传播的光学变换矩阵光线在自由空间L传播旁轴光线从 ，经L传播距离后， 达到 后，有： ),()1()1(r),()2()2(r光学谐振腔的几何理论2021年12月24日37v球面反射镜的光学变换矩阵球面反射镜的光学变换矩阵Rrrr)1()1()1()2()1()2(2光线经球面反射镜传播旁轴光线从 ，经球面反射镜后，达到 后，有：),()1()1(r),()2()2(r)1()1()1()1()2()2(1201rrRrT写成矩阵：光学谐振腔的几何理论2021年12月24日38共轴球面腔的光学变换矩阵 光线在共轴球面腔

13、中的往返传播光学谐振腔的几何理论2021年12月24日39 ),(11r腔长L T1M2反射 T2 腔长L T3 M1反射T4光线在谐振腔往返一次的轨迹：),(22r),(33r),(44r),(55r112211101rrLr光线由上 的 出发，到达 上时，变为变换矩阵T1T11M2M),(22r),(11r光学谐振腔的几何理论2021年12月24日40 333344101rrLrT3光线再从球面镜M2传播到M1时,变换矩阵T3：),(33r光线在球面镜上 发生反射时，坐标变为22222331201rrRr变换矩阵为T2:2MT2光学谐振腔的几何理论2021年12月24日4111111155

14、rrDCBArr经过一个往返后，总的坐标变换为：TT4T3T2T144415451201rrRrT4光线将在M1上发生反射，变换矩阵T4 ：光学谐振腔的几何理论2021年12月24日42 其中：211121222121221221221RLRLRLDRLRRCRLLBRLA光学谐振腔的几何理论2021年12月24日43 往返n次后的变换，有： 111111rDCBArTrDCBArnnnnnnnn1111nnnnnnDrCBrAr即：11)1sin(sinsinsin)1sin(sinsin1rnnDnCnBnnA)(arccos21DA 上式中： 光学谐振腔的几何理论2021年12月24日4

15、4共轴球面腔的稳定性条件 1)(211DA111021RLRL1021gg引入几何g参数：令 ，则上式变为：iiRLg 1经过推导，可以得到稳定性条件 ： 为使光线能在腔内任意多次往返而不横向逸出，要求对n次往返后的光学变换矩阵 的各个元素 对任意的n保持有限，这就要求 为实数且不应为 。nTnnnnDCBA,k2021年12月24日45光学谐振腔的几何理论几何理论光学变化矩阵方法共轴球面腔的光学变换矩阵共轴球面腔的稳定性条件典型的激光器谐振腔2021年12月24日46111RLg221RLg、几何参数g：由谐振腔的结构所决定:R的符号规则：当反射镜凹面向着腔内时，R取正值；当反射镜凸面向着腔

16、内时，R取负值；共轴球面腔的稳定性条件 共轴球面腔结构示意图谐振腔的结构参数：R1 、 R2 、 L光轴R1R2L2021年12月24日47 1021gg 稳定腔：012121ggorgg 非稳定腔：012121ggorgg 临界腔：共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件共轴球面腔的稳定性条件 2021年12月24日48v 例题例题由符号规则，凸透镜的半径应为负值，即 R2 = - 0.1 m， R1 = 1.5 m谐振腔的几何参数为： g1 = 1-L/R1 = 1-1/1.5 = 0.333. g2 = 1-L/R2 = 1+1/0.1 = 11 由稳定性判断规则： g1*g2 =

17、11*0.333 1因此该谐振腔为非稳定谐振腔解答：已知：激光器谐振腔长1m，由一个半径为1.5m的凹透镜和半径 为10 cm的凸透镜组成；试判断该谐振腔的稳定性；共轴球面腔的稳定性条件 2021年12月24日49非稳腔临界腔1）平行平面腔：A点2）共心腔：3）半共心腔：C、D点121 ggLRR21LR 稳定腔：1）双凹稳定腔： 1区： 2区： 3区： 4区：2）平凹稳定腔：AC、AD3）凹凸稳定腔： 5区： 6区：4）共焦腔5）半共焦腔：E、F （R2L）LRR21LRRRRLRRRRR122112121;,0,0或LRRRRLRRRRR211221221;,0,0或LR LRLR21,L

18、RR21LRLR21,共轴球面腔的稳定性条件 -2021年12月24日501、给定稳定腔的一块反射镜，选配另一块反射镜稳区图的应用根据已有的反射镜的数据，如R1 2L可以得到：g1 = 1-L/R1 = 0.5凹面镜：2RL凸面镜：LR22、给定稳定腔的二块反射镜，确定腔长根据已有的反射镜的数据，可以确定：12RRk 代入g参数的表达式，可以得到方程：2kkkgkgkkkRLRLg11)1(111111225.05.012gg11132:0:RLRCDRLAB共轴球面腔的稳定性条件 -2021年12月24日51光学谐振腔的几何理论几何理论光学变化矩阵方法共轴球面腔的光学变换矩阵共轴球面腔的稳定

19、性条件典型的激光器谐振腔2021年12月24日52典型的激光器谐振腔v模体积激光模式在腔内所能扩展的空间范围。 模体积大，对该模式的振荡有贡献的激发态粒子数就多就可能获得大的输出功率；v谐振腔的选择： 衍射损耗 模体积 腔体镜面的安装v典型的激光器谐振腔2021年12月24日53平行平面腔结构示意图平行平面腔主要应用于高功率脉冲激光器 1）衍射损耗高 2）镜面调整难度高v平行平面腔的劣势 1） 模体积大、 2）腔内激光辐射没有聚焦现象v平行平面腔的优势1.平行平面腔典型的激光器谐振腔2021年12月24日542. 2. 同心球面同心球面腔腔1）衍射损耗低 2）易于安装调整1）模体积小 2）腔内

20、产生光辐射聚焦现象同心球面腔结构示意图同心球面腔主要应用于连续工作的染料激光器泵浦激光器v同心球面腔的劣势：v同心球面腔的优势：典型的激光器谐振腔2021年12月24日553. 3. 共焦谐振腔共焦谐振腔 共焦谐振腔示意图共焦谐振腔一般应用于连续工作的激光器共焦谐振腔的性能介于平行平面腔与球面腔之间，其特点如下：1）镜面较易安装、调整；2）较低的衍射损耗；3）腔内没有过高的辐射聚焦现象；4）模体积适度；典型的激光器谐振腔2021年12月24日564. 4. 长半径球面腔长半径球面腔 长半径球面腔示意图长半径球面谐振腔适于连续工作的激光器长半径球面谐振腔的性能介于共焦腔与球面腔之间，它的特点如下

21、：1）中等的衍射损耗；2）较易安装调整；3）模体积很大； 4）腔内没有很高的光辐射聚焦现象；典型的激光器谐振腔2021年12月24日575. 5. 半球型谐振腔半球型谐振腔 半球型谐振腔半球型谐振腔主要应用于低功率氦氖激光器半球型谐振腔的特点：1)易于安装调整2)衍射损耗低、成本低典型的激光器谐振腔2021年12月24日586. 6. 平凹稳定腔平凹稳定腔 平凹稳定腔示意图平凹稳定腔一般应用与连续激光器；大多数情况下 R1 2L平凹稳定腔的特点：模体积较大、 且具有价格优势典型的激光器谐振腔2021年12月24日597. 7. 非稳定腔非稳定腔 一连续高功率二氧化碳激光器的非稳定谐振腔典型的激

22、光器谐振腔2021年12月24日60第二章 光学谐振腔与高斯光束光学谐振腔的基本知识光学谐振腔的几何理论光学谐振腔的衍射理论高斯光束非稳定谐振腔的几何自再现波形2021年12月24日61光学谐振腔的衍射理论开腔中的自再现模菲涅耳基尔霍夫衍射理论自再现模满足的积分方程平行平面腔的自再现模共焦腔的模式理论一般稳定性球面腔的模式理论2021年12月24日62开腔中的自再现模（b)孔阑传输线(a) 理想开腔光学谐振腔的衍射理论-自再现模2021年12月24日63v自再现模自再现模TEMm-TEMm-横向光场分布横向光场分布 激光束在横截面上呈现各种光强的不同花样的稳定分布。 激光器谐振腔的反射镜大小有

23、限，镜面边缘起光阑的作用。任何光束经光阑时，都会发生衍射现象,衍射使场的分布不断发生变化，最后趋于稳定的分布状态，这种稳态的场的分布称为自再现模。(a) 理想开腔L2aL2a(b) 孔阑传输线模拟光学谐振腔的衍射理论-自再现模2021年12月24日64v开腔模式的多样性v激光空间相干行的理解 在开腔中，正是由于衍射的作用，使非相干的自发辐射发展成空间相干性极好的激光光学谐振腔的衍射理论-自再现模2021年12月24日65光学谐振腔的衍射理论开腔中的自再现模菲涅耳基尔霍夫衍射理论自再现模满足的积分方程平行平面腔的自再现模共焦腔的模式理论一般稳定性球面腔的模式理论2021年12月24日66菲涅耳基

24、尔霍夫衍射理论 惠更斯菲涅耳衍射原理光学谐振腔的衍射理论2021年12月24日67 空间曲面上光波场的振幅和相位分布函数为 ，所要考察的空间任意一点 所产生的场为 ， ),(yxu),(yxP),(yxu源点 与观察点 之间连线的长度；),(yx),(yx面 上点 处的法线与上述连线的夹角；),(yxS面 上点 处的面积元；Ssd ),(yx波矢的模。/2ksdikyxuikyxus)cos1()exp(,4),(则有 ：v菲涅耳基尔霍夫衍射理论光学谐振腔的衍射理论2021年12月24日68自再现模满足的积分方程 将上述公式应用到开腔的两个镜面上的场，则有sdikyxuikyxus)cos1(

25、)exp(,4),(12光学谐振腔的衍射理论- 2021年12月24日69sdikyxuikyxusqq)cos1()exp(,4),(1经过q 次渡越后所形成的场 与产生它的场 之间满足类似的迭代关系：1ququ我们考虑对称腔镜的情况。当足够 大时， 、 满足如下关系：q1ququqquu1sdikyxuikyxusqq)cos1()exp(,4),(故：用 表示开腔中不受衍射影响的稳态场分布函数，则有：yx , sdyxyxyxKyxs,),(自再现模满足的积分方程光学谐振腔的衍射理论- 2021年12月24日70 yxyxikLiyxyxikLikyxyxKsdyxyxyxKyxs,ex

26、p,exp2,),()cos1(),(),(exp4,yxyxyxyxikikyxyxK其中：取 ：/)cos1(L/2iqqqeueuu1则：:光在单程渡越过程中自再现模的衰减ie令： 越大，衰减越大；当 0时，表示自再现模在腔内无损耗的传播； ：光经过一次渡越的相位滞后， 越大，相位滞后越多；光学谐振腔的衍射理论- 2021年12月24日71v积分方程解的物理意义积分方程解的物理意义qquuargarg1 单程总相移 积分方程的解包括本征函数与本征值两部分，它们决定了开腔自再现模的全部特性：qquu1qquuargargarg1arg222121qqquuu 单程总损耗 谐振条件：qarg

27、本征值：自再现模在传输过程中的模的衰减、相移和频率特性。本征函数：给出了自再现模在镜面上的振幅与相位分布；光学谐振腔的衍射理论- 2021年12月24日72 在对称开腔中，单程总相移除包括几何相移外kL外，还有单程附加相移，即：复常数的模量度自再现模的单程损耗；它的辐角量度自再现模的单程相移，从而决定了模谐振频率：kL因此有：kLargcnk2mnmnqLcLqc22 :附加相移滞后:附加相移超前00光学谐振腔的衍射理论- 2021年12月24日73v激光器谐振腔的概念 nLc23）相邻两纵模的频率差等于基纵模频率：1）纵模描述了沿谐振腔内沿轴向的电磁场的分布2）基纵模的频率为： q阶纵模的频

28、率为： q阶纵模的频率为基纵模的频率的m倍nLcqq2nLc21v 激光纵模模式光学谐振腔小结2021年12月24日74iiRLg 11021ggv激光横模模式1）激光横模为光在垂直与光轴的横截面内的分布2）基横模为高斯分布3）基横模具有最小的发散角4）基横模较其他所有的模式具有最好的空间相干性v谐振腔的稳定性判别1）谐振腔的稳定性由谐振腔的几何参数 决定：ig2）稳定条件：光学谐振腔小结2021年12月24日75v光学开腔的损耗1）几何偏折损耗2）衍射损耗3）腔镜不完全反射损耗4）材料中非激活吸收、散射，以及腔内插入物引起 的损耗v谐振腔的衍射理论1）利用孔阑传输线的模型对开腔中稳定电磁场分

29、布的形成过程进行了说明；光学谐振腔小结2021年12月24日765）积分方程的解包括本征函数与本征值两部分，它们决定了开腔自再现模的全部特性 sdyxyxyxKyxs,),()cos1(),(),(exp4,yxyxyxyxikikyxyxK4）自再现积分方程：sdikyxuikyxusqq)cos1()exp(,4),(12）利用菲涅耳基尔霍夫衍射积分建立了表征衍射的方程式：)()(1iqqqeueuu3）稳定电磁场的自再现：一次渡越后的场 应能将 再现出来：1ququ光学谐振腔小结2021年12月24日77光学谐振腔的衍射理论开腔中的自再现模菲涅耳基尔霍夫衍射理论自再现模满足的积分方程平行

30、平面腔的自再现模共焦腔的模式理论一般稳定性球面腔的模式理论2021年12月24日78 平行平面腔的自再现模v矩形与条形镜平行平面腔矩形镜平面腔光学谐振腔的衍射理论-2021年12月24日79LyyLxxLLyyLxxLyxyx2)(2)(1),(2222222Lyyxx对矩形平面腔，在图示的坐标系中，有：将上式展开，当 ,并忽略高次项:2222)(,)(bLLbaLLav矩形与条形镜平行平面腔的自再现模光学谐振腔的衍射理论-2021年12月24日80我们重新写出自再现模的积分方程： yxyxikLiyxyxKsdyxyxyxKyxs,exp,),(2)(2)(exp)exp(,exp,22Ly

31、yLxxikikLLiyxyxikLiyxyxK其中，积分方程的核为：这样，平行平面腔的自再现模的积分方程可以简化为 ：ydxdLyyLxxikyxikLLiyxaabb 22exp,exp),(22光学谐振腔的衍射理论-2021年12月24日81 aaxxxdxxxKx, bbyyydyyyKy,yx因此有 ：)()(,yxyx上述方程是可以分离的，令： x表示在x方向宽度为2a而沿y方向无限延伸的条形镜平面腔的自再现模； y表示在y方向宽度为2b而沿x方向无限延伸的条形镜平面腔的自再现模；22)(expexp,LxxikikLLixxK22)(expexp,LyyikikLLiyyK并且有

32、：光学谐振腔的衍射理论-2021年12月24日82用 和 分别表示他们的第m和第n个解， 表示相应的复常数，则有： xm ynnm, bbnynnydyyyKy, aamxmmxdxxxKx,本征值本征函数在整个镜面上的自再现场分布函数为： yxyxnmmn,nmmn复常数为mn ：光学谐振腔的衍射理论-2021年12月24日83v圆形镜平面腔平行平面腔的自再现模圆形镜平面腔平行平面腔的自再现模对圆形平面腔，在图示的极坐标系中，有：)cos(2),(222rrrrLrr)cos(221),(22rrrrLLrr将上式展开，当 ,并忽略高次项,可以得到:aLaLLa,)(22光学谐振腔的衍射理论

33、-2021年12月24日84将上式代入自再现模积分方程，有： )cos(2expexp,),(22020LrrLrrikikLLirrKdrdrrrrKra)exp()(),(imrRrmnmn对上述积分方程进行分离变量，令：可以证明所满足的积分方程为：)(rRmnrrLrrikLrrkJikLLkirrKrdrrRrrKrrRmmmmnmmnmn)2exp()(exp,)(221为第m阶贝塞尔函数mJ光学谐振腔的衍射理论-2021年12月24日85v 平行平面腔的迭代解法平行平面腔的迭代解法 （3）如此反复运算多次后，观察是否形成稳态场分布； （1）假设在某一镜面上存在一个初始场分布 ，将它

34、代入 迭代公式，计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面 上生成的场 ；0u1u（2）利用1所得到 的代入迭代公式，计算在腔内经第二次 渡越而在第一个镜上生成的场 ；1u2u谐振腔的迭代解法的思路：)(1SqqsdKuu谐振腔内描述场渡越的迭代公式，表示为：光学谐振腔的衍射理论-2021年12月24日86.121qqqquuuu 0u如何选取初始入射波分布函数 :10u 若取：均匀平面波 基模TEM0； 一阶模TEM110, 10, 10 xaaxu即当 足够大时，由数值计算得出的 是否满足下述关系：qqu光学谐振腔的衍射理论-2021年12月24日87平行平面腔的迭代解法平行平面腔的迭代解法流程

35、图流程图光学谐振腔的衍射理论-2021年12月24日88 例：镜面宽度为2a，腔长为L的对称条形状腔。 并且： 分析腔中的自再现模的形成过程。25.6,100,252LaFLa aaxdxuLxxikikLLixu)(2expexp122 aaxdxuLxxikikLLixu)(2expexp223解：由条形状腔的迭代公式，可以得到：10u 取均匀平面波作为第一个镜面上的初始波，即：1maxiu将计算结果进行归一化处理，即取：光学谐振腔的衍射理论-2021年12月24日89由初始场分布出发，经第一次及第300次渡越后，可以得到腔内场的振幅与相位的分布图：振幅分布相位分布光学谐振腔的衍射理论-2

36、021年12月24日90v平行平面腔基横模稳态场分布特点：相位的分布发生了变化，镜面已经不是等相位面了，因此严格说，TEM00已不再是均匀平面波了； 在镜面中心处的振幅最大，从中心到镜面边缘振幅逐渐降落。 在整个镜面上场的分布具有有偶对称性。v谐振频率计算表明，对于条形平行平面腔，谐振频率主要取决于纵模频率：Lqcvq2v单程相移单程相移与菲涅耳有关，同一横模，F越大，单程相移越小；F相同时，基模的单程相移最小，横模阶数越高，单程相移越大；v 单程衍射损耗单程衍射损耗与菲涅耳有关，同一横模，F越大，单程衍射损耗越小；F相同时，基模的单程衍射损耗最小，横模阶数越高，单程衍射损耗越大；光学谐振腔的

37、衍射理论-2021年12月24日91光学谐振腔的衍射理论开腔中的自再现模菲涅耳基尔霍夫衍射理论自再现模满足的积分方程平行平面腔的自再现模共焦腔的模式理论一般稳定性球面腔的模式理论2021年12月24日92共焦腔的模式理论方形镜对称共焦腔的自再现模方形镜对称共焦腔的行波场圆形镜对称共焦腔自再现模圆形镜对称共焦腔的行波场一般稳定球面腔2021年12月24日93方形镜对称共焦腔的自再现模方形孔径对称共焦腔 LRR21共焦腔的模式理论-2021年12月24日94v方形镜对称共焦腔的自再现模的积分方程方形镜对称共焦腔的自再现模的积分方程22112121),(QPPQQQPPyxyx由图示，可知： 我们知

38、道：由球面镜的几何关系，可以得到：RyxPPPQ222111RyxPPQP222222 及共焦腔的模式理论-LyyLxxLQQ2)(2)(22212021年12月24日95 方形镜对称共焦腔自再现模积分方程 aaaamnmnmnydxdLyyxxikyxikLLiyxexp,exp,可以得到： yxyxikLiyxyxKsdyxyxyxKyxs,exp,),( 将上式代入积分方程：共焦腔的模式理论-则有：)(1222)(2)(),(222222yyxxLLRyxRyxLyyLxxLyxyx2021年12月24日96v方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的求解方形镜对称共焦腔自再现模积分方程的求解进

39、行如下变换：FLaLkacyacYxacX22,22ccccnmnmnmYdYiYYGXdXiXXFikLiYGXFexpexp2exp则积分方程转化为可分离变量的积分方程：YGXFyxnmmn),(令：求解上述方程的问题等价于如下两个方程的求解问题：ccmmmXdXiXXFikLiXFexp2exp2/1ccnnnYdYiYYGikLiYGexp2exp2/1共焦腔的模式理论-2021年12月24日97,.2,1 ,0,/,/,),(nmcYcScXcSYGXFyxvonomnmmn在c为有限值时，自再现模积分方程的本征函数为:上式中：axcScXcSomom,/,aycScYcSonon,

40、/,角向长椭球函数 ikLinmnmexp与 相应的本征值为：yxmn,.2, 1 ,0,1 ,/2)1(mcRicommm,.2, 1 ,0,1 ,/2)1(ncRiconnn式中：共焦腔的模式理论-2021年12月24日982exp),(2XXHCcXcSXFmmomm2exp),(2YYHCcYcSYGnnonn可以证明，在 时：ayax, 式中 、 :为常系数； :为 m 阶厄米多项式 mCnCXHm)1 ,()1 ,(2)1()1(2)1(cRcReconomnmkLinm 径向长椭球函数厄米多项式 :022222!2!1expexp1mkkmkmmmmXkmkmXdXdXXH共焦腔

41、的模式理论-2021年12月24日991)(0XHXXH2)(124)(22XXHXXXH128)(33124816)(244XXXH厄米多项式具有如下的性质： 有m个实数根最初几阶厄米多项式：0)(xHm当c1时，将X,Y换回镜面上的直角坐标系x,y，得到本征函数：/exp2221exp,22222LyxyLHxLHCyxacyacHxacHCyxnmmnnmmnmn2)1(expnmkLimn本征值的近似解：厄米多项式的零点决定了镜面上场分布图的过零点得位置，高斯函数决定了自再现模的分布的外形轮廓共焦腔的模式理论-2021年12月24日100v镜面上场的振幅镜面上场的振幅基模基模基模振幅最

42、大值的1/e处Lws0基模在镜面上的光斑半径 ：sw0LyxCyx220000exp,0 nm当 ，得出共焦腔基模（TEM00）的场的分布函数：半功率点的光斑半径：sswLw005889.022ln)0,0(21,00IyxI2022swyx基模强度最大值1/2处共焦腔的模式理论-2021年12月24日101 高斯分布与光斑半径v镜面上场的振幅基模共焦腔的模式理论-2021年12月24日102v镜面上场的振幅镜面上场的振幅高阶横模高阶横模利用基模光斑半径，本征函数的解可以写为：ssnsmmnmnwyxywHxwHCyx022200exp22,202210202201010expexp22,ss

43、swyxxCwyxxwCyx202201202200101expexp22,ssswyxyCwyxxwCyx20220222020220222020exp4exp224,sssswyxwxCwyxwxCyx2022112022021111expexp24,ssswyxxyCwyxxywCyx因此，最初几个横模的振幅分布函数为：共焦腔的模式理论-2021年12月24日103高阶横模光斑半径须按沿不同坐标来计算，可以证明，沿x,y方向的光斑半径分别为：snssmswnwwmw001212 ,.2, 1 ,0,/,/,),(nmcYcScXcSYGXFyxvonomnmmn自再现模 的辐角决定了镜面

44、上场的相位分布：yxmn,无论对基模或者高阶模式，共焦腔反射镜本身构成一个等相位面共焦腔的模式理论-2021年12月24日104v单程损耗单程损耗 单程功率损耗2211nmnmmnF94.400109.10共焦腔基模单程功率损耗经验公式：例： HeNe激光器采用共焦腔，L=30cm,a=0.2cm,振荡波长0.6328微米；分析其损耗特性。%200而同一菲涅耳数的圆形平面镜腔基模的损耗：2.250010因此：267.5)106328.030(1.0422LaF菲涅耳数：共焦腔的模式理论-2021年12月24日105v单程损耗单程损耗 方形镜共焦腔的单程功率损耗共焦腔的模式理论-2021年12月

45、24日106结论：1.损耗随着菲涅耳系数F的增大而迅速减小2.菲涅耳系数相同时，不同横模的损耗不同，模的阶次越高，损耗越大；3.共焦腔模的损耗要小于平面腔模的损耗，这是因为共焦腔对光束会聚作用的结果。4.自再现模的衍射损耗小于均匀平面波的衍射损耗，因为自再现模的形成过程反应了衍射损耗的影响，从而使得边缘部分强度变小，衍射损耗的作用变小。 v单程损耗单程损耗共焦腔的模式理论-2021年12月24日107v单程相移和谐振频率单程相移和谐振频率 22q由谐振条件:1212nmqLcmnq可以得出各阶模的谐振频率为 ：Lcq2同一横模的相邻两纵模之间的频率间隔为：qnqm21,21q一定时，m,n改变

46、，频率间隔为：TEMmn模在腔内一次渡越的总相移为：nmmnarg2)1(nmkLmn)1 ,()1 ,(2)1()1(2)1(cRcReconomnmkLinm附加相移共焦腔的模式理论-2021年12月24日108共焦腔的振荡频谱共焦腔的模式理论-2021年12月24日109方形镜共焦腔方形镜共焦腔强度花样强度花样共焦腔的模式理论-2021年12月24日110方形镜共焦腔方形镜共焦腔振幅分布振幅分布-2-1012-2-101200.20.40.60.81-2-1012 TEM00 TEM11-2-1012-2-1012-0.2-0.100.10.2-2-1012共焦腔的模式理论-2021年1

47、2月24日111v共焦腔与平行平面腔之不同共焦腔与平行平面腔之不同1 镜面上基模场的分布 平行平面腔基模在分布在整个镜面上，呈偶对称性分布，镜面中心处振幅最大，向镜边缘振幅逐渐降低； 共焦腔基模在镜面上的分布在厄米-高斯近似下，与镜的横向几何尺寸无关，仅由腔长决定；一般共焦腔模集中在镜面中心附近； 2 相位分布平行平面腔的反射镜不是等相面；而共焦腔的反射镜为等相面3 单程损耗平行平面腔衍射损耗远高于共焦腔的衍射损耗4 单程相移与谐振频率 平行平面腔中横模阶次m、n的变化引起的频率改变远远小于纵模阶次q的改变对谐振频率的改变； 在共焦腔中， m、n的变化或q的改变对谐振频率的影响具有相同的数量级

48、； 共焦腔的模式理论-2021年12月24日112共焦腔的模式理论方形镜对称共焦腔的自再现模方形镜对称共焦腔的行波场圆形镜对称共焦腔自再现模圆形镜对称共焦腔的行波场一般稳定球面腔2021年12月24日113方形镜共焦腔的行波场 坐标原点选在腔轴线的中心 zyxizwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn,exp)(exp)(2)(2)(,22200 fztgnmzRyxkkzzyxfzwfzwfzLzws12220202)1()(2,11212其中：式中： ：共焦腔的腔长 ：镜的焦距 L2/Lf共焦腔场的解析式：共焦腔的模式理论-2021年12月24日1141 ：振幅衰减因子)(0

49、zww2 ：行波场横向振幅分布因子)(exp)(2)(222zwryzwHxzwHnmfztgnmzRyxkkzzyx122)1()(2,3 ：位相因子zyxi,expvTEMmn模在腔内任意点(x,y,z) 处的电场强度：zyxizwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmn,exp)(exp)(2)(2)(,22200传播因子位相弯曲因子附加相移因子共焦腔的模式理论-2021年12月24日115v振幅分布和光斑尺寸振幅分布和光斑尺寸 在z=0处有最小值 共焦场的振幅分布为：)(exp)(2)(2)(,22200zwyxyzwHxzwHzwwEAzyxEnmmnmnzwyxzwwEA

50、zyxE222000000exp,对基模： 2020112fzwfzwzws基模光斑尺寸 ：Lwfwzws0在共焦镜面上： fww00基模高斯光束的束腰半径 ：共焦腔的模式理论-2021年12月24日116共焦腔中，基模光斑随着坐标按双曲线规律变化： 122202fzwzw共焦腔基模高斯光束腰斑半径002 wws共焦腔的模式理论-2021年12月24日117v模体积模体积2)12)(12(21222LnmwwLVnsmsmn高阶模模体积通常用下式估算：220002121LwLVs基模模体积通常用下式估算：共焦腔的模式理论-2021年12月24日118v等相位面的分布等相位面的分布 抛物面方程)

51、(2)(2022220zRyxzRyxzz忽略附加相移因子， z0点的等相位面方程为：)(210zRf 抛物面焦距：可以证明，在近轴情况下，共焦场的在z0处的等相位面近似为球面，其曲率半径为：)()(000zffzfzR0,0,0,zzyx与腔的轴线交于z0点的等相位面方程可以写成：共焦腔的模式理论-2021年12月24日119共焦腔的反射镜面是两个等相位面，且曲率半径最小一般情况下，共焦腔的等相面凹面向着腔的中心的球面 腔中点或距腔中点无限远处，等相面为平面)0(R)0(R当 时，当 时，0zzLzR)(0当 时，fz0)(2220zRyxzz当 时， 0z0)(zR当 时，0)(zR0z)

52、()(zffzfzR由：00z00 zz0)(0zR00z00 zz0)(0zR共焦腔的模式理论-2021年12月24日120v 共焦腔等相位面的一个重要的性质： 若在等相位面处放置一个具有相应曲率的反射镜片，不影响共焦腔的场分布。 共焦场等相面的分布 共焦腔的模式理论-2021年12月24日121v远场发散角远场发散角 某共焦腔二氧化碳激光器， L=1m, m6.10rad3102.5 fwzfzwzzwzz22)(12lim2lim020基模远场发散角：双曲线两根渐近线之间的夹角：radf3103.22例：某共焦腔氦氖激光器，L=30cm, m638.0共焦腔的模式理论-2021年12月2

53、4日122不同的腰半径的激光光束的远场发散角对比图共焦腔的模式理论-2021年12月24日123共焦腔的模式理论方形镜对称共焦腔的自再现模方形镜对称共焦腔的行波场圆形镜对称共焦腔自再现模圆形镜对称共焦腔的行波场一般稳定球面腔2021年12月24日124圆形镜对称共焦腔v圆形镜对称共焦腔自再现模积分方程mwrwrLwrcrussmnmsmnmncos)exp()2()2(),(2022020Lws0),(r：为镜面上的极坐标，并且)(mnL：拉盖尔多项式1)(0mLmLm1)(1)2(2)2)(1(21)(22mmmLm可以证明，当时，圆形镜共焦腔积分方程的本征函数的近似解：N共焦腔的模式理论-

54、2021年12月24日1252)1(expnmkLimn本征值的近似解：v镜面上对基模及高阶模的场振幅分布：2020000),(swrecrucos2),(20201010swrsrewcru202)21(),(020101swrsewrcrucos)1(22),(20220201111swrssewrrwcru共焦腔的模式理论-2021年12月24日126v模的振幅和相位分布模的振幅和相位分布 镜面上，基模振幅分布是高斯型的，在镜面中心处（r=0） 处，振幅最大。对于高阶模，在沿辐角方向有节线，数目为m；沿半径方向有节圆，节圆数为n；m、n增加，模的光斑半径增大，并且随着n的增大光斑半径的增

55、大来的更快；mnTEM基模在镜面上的光斑半径：Lws0圆形共焦镜面本身也是等相位面。高阶模的光斑半径：振幅降低至最外面的极大值的1/e处的点与镜面中心的距离；共焦腔的模式理论-2021年12月24日127v单程相移和谐振频率单程相移和谐振频率 12212nmqLcmnq圆形镜共焦腔模的谐振频率为 :Lcqmnqnqmm4211Lcqmnqqmnn21Lcmnqmnqq212)12(argnmkLmn自再现模在腔内一次渡越的总相移为 :共焦腔的模式理论-2021年12月24日128v单程衍射损耗单程衍射损耗 圆形镜共焦腔的行波场分布与方形镜完全类似 v圆形镜共焦腔的行波场 3 基模的损耗高阶模的

56、损耗，模阶次越高，损耗越大；2 方形镜共焦腔损耗圆形镜共焦腔损耗平面腔损耗平面波损耗；1 所有模式的损耗随F值的增大而急剧减小；共焦腔的模式理论-2021年12月24日129圆形镜共焦腔横截面场强度圆形镜共焦腔横截面场强度分布（分布（1）-2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM00-2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM01共焦腔的模式理论-2021年12月24日130圆形镜共焦腔横截面场强度分布（2）-2-1012x-2-1012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM02-2-1012x-2-1

57、012y00.20.40.60.81-2-1012yTEM10共焦腔的模式理论-2021年12月24日131共焦腔的模式理论方形镜对称共焦腔的自再现模方形镜对称共焦腔的行波场圆形镜对称共焦腔自再现模圆形镜对称共焦腔的行波场一般稳定球面腔2021年12月24日132一般稳定球面腔 共焦腔与稳定球面腔的等价性 v一般稳定球面腔与共焦腔的等价性 共焦腔的模式理论-2021年12月24日133v任一共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价任一共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价 根据曲率半径R的符号规定：曲面凸向z轴正向为正，在放置在c1、c2处的反射镜，则有：122222212111,)(,)(zzLzfzzRRz

58、fzzRR即放置在c1、c2处的反射镜构成稳定腔221212111fzzzfRLg222212221fzzzfRLg1021gg对腔进行稳定性判断：共焦腔的模式理论-2021年12月24日134v任一稳定的球面腔唯一地等价于某一共焦腔任一稳定的球面腔唯一地等价于某一共焦腔 1222221211,zzLzfzRzfzR稳定球面腔和它的等价共焦腔 我们需要确定共焦腔的焦距及共焦腔的中心位置。 以共焦腔的中心o点为坐标原点，则同样有 ：假设实际稳定腔的参数为 ，其对应的共焦腔已知。LRR,21共焦腔的模式理论-2021年12月24日135由上述方程联立可以求解：2212121221122121222

59、RRLLRRLRLRLfRRLLRLzRRLLRLz02f任一稳定的球面腔唯一地等价于某一共焦腔可以证明，当 满足稳定腔条件时，有LRR,21共焦腔的模式理论-2021年12月24日136v一般稳定球面腔镜面上基模的光斑尺寸一般稳定球面腔镜面上基模的光斑尺寸412112211)()(LRRLRLLRRLws412121222)()(LRRLRLLRRLws将求得的焦距f代入上式可以得到一般稳定球腔（ ）行波场的基模光斑尺寸的分布，从而得到：镜面上基模的光斑尺寸LRR,212020112fzwfzwzws共焦腔中基模的光斑尺寸：共焦腔的模式理论-2021年12月24日137上式还可以用腔的g参数表示：41211201)1(ggggwwss41212102)1(ggggwwssLws0其中：v谐振频率谐振频率 qzzzyxmnmnmn2,0,0,0,02,212将f 、z1、z2代入上式，并由谐振条件：fztgnmzRyxkkzzyxmn122)1()(2,共焦镜的相位函数：fztgfztgnmqLcmnq2111(1212对于方形一般稳定球面腔，可以得到谐振频率：共焦腔的模式理论-2021年12月24日138211211cos1212)1)(1(cos1212ggnmqLcRLRLnmq