“空间与图形”动态几何问题的专题分析与复习思考

1、“空间与图形”动态几何问题的专题分析与复习思考泉港美发中学 黄志平近几年来，动态几何数学试题已成为中考试题的重要部分。在各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转问题等代表的动态几何问题在填空、选择、解答题中频频出现，并与“数与代数”、“综合与实践”等领域相结合，全面考查了学生对基础知识、基本技能的掌握情况，又能很好地呈现学生的探究能力、知识迁移能力、合情推理能力。纵观几年中考的动态几何问题，主要是研究在几何图形的运动中，出现的图形位置、数量的变化，在“变”中探求“不变”的本质。动态几何从运动对象及形式而言，有点动、线动、面动；从数学实践的操作层面而言，有平移、旋转、翻折、滚动等

2、。这些问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性，题目灵活、多变，动静结合，较好渗透分类讨论、数形结合、转化等数学思想。因此，以中考试题为载体，研究它的考查形式，分析考点，对于提高课堂教学效率，增强学生的数学思维品质是十分必要的。一、动点型1、单动点型例1 （2012兰州）如图，AB是O的直径，弦BC2cm，F是弦BC的中点，ABC60°若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着ABA方向运动，设运动时间为t(s)(0t3)，连接EF，当BEF是直角三角形时，t(s)的值为（ ）.A B1 C或1 D或1或【思路探析】若BEF是直角三角形，则有两种情况：当BFE90

3、76;时；t1s，当BEF90°时；故t1.75s或2.25s；在上述两种情况所得到的直角三角形中，已知边BC的长和B的度数，即可求得BE的长；AB的长易求得，由AEABBE即可求出AE的长，也就能得出E点运动的距离(有两种情况)，根据时间路程÷速度即可求得t的值【评析】此题主要考查了圆周角定理以及直角三角形的判定和性质，同时还考查了分类讨论的数学思想 例2 （2013湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，5）（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于

4、点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有什么位置关系，并给出证明；（3）在抛物线上是否存在一点P，使ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【思路探析】（1）由顶点式，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）判断直线与圆的位置关系，关键是利用数量关系分析C的半径r和圆心到直线距离d之间的大小关系由题意可知d=2，由相似三角形求得r=，因为2，所以可判定抛物线的对称轴l与C相离；（3）本小题是有关动点P的存在性问题点P有两种情况：（I）如图所示，点P在x轴上方时，点P坐标为（2，3）；（II）如图所示，点P在x轴下方点P坐标

5、为（7，12）在求点P坐标时，需要充分利用几何图形（等腰直角三角形）的性质，以及抛物线上点的坐标特征 【评析】本题是代数几何综合题，以抛物线为载体，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形以及利用数量关系来判定直线与圆的位置关系等重要知识点，考查了代数计算能力、几何空间想象能力、数形结合思想、分类讨论思想等综合运用第（3）问需要分类讨论，避免漏解，这是本题的难点2、多动点型例3 （2013烟台）如图所示，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BEEDDC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s若P，Q同时开始运动，设

6、运动时间为t（s），BPQ的面积为y（cm2）已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（）AAE=6cm BsinEBC= C当0t10时，y=t2 D当t=12s时，PBQ是等腰三角形【思路探析】由函数图象可知，在点（10，40）至点（14，40）区间，BPQ的面积不变，因此可推论BC=BE，由此分析动点P的运动过程如下：（1）在BE段，BP=BQ；持续时间10s，则BE=BC=10；y是t的二次函数；（2）在ED段，y=40是定值，持续时间4s，则ED=4；（3）在DC段，y持续减小直至为0，y是t的一次函数【评析】本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点

7、的运动过程突破点在于正确判断出BC=BE=10cm例4 （2013泉州）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足关系：l=t2+t（t0），乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm（1）甲运动4s后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？【思路探析】（1）根据题目所给的函数解析式把t=4s代入求得l的值即可；（2）根据图可知，二者第

8、一次相遇走过的总路程为半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可；（3）根据图可知，二者第二次相遇走过的总路程为一圈半，也就是三个半圆，分别求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可【评析】本题考查了一元二次方程的应用，试题比较新颖解题关键是根据图形分析相遇问题，第一次相遇时二者走的总路程为半圆，第二次相遇时二者走的总路程为三个半圆例5 （2013苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（

9、即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中，EBF关于直线EF的对称图形是EBF设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）（1）当t= s时，四边形EBFB为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【思路探析】（1）利用正方形的性质，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）EBF与FCG相似，分两种情况，若EBFFCG，则有，解得：t=2.8；若EBFGCF，则有，解得：t=142（不合题意，舍去）或t=14+2已知两个三角形相似（未注明字母对应关系

10、），需按相应顶点进行分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在【评析】本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在二、动线型1、线平移型例6 （2013荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD，ADBC，若动直线l垂直于BC，且向右匀速平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是（） ABCD

11、【思路探析】【方法1】分三段考虑，当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；直线l经过AD段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项即可得出答案【方法2】为计算的方便，不妨设ABCD，AD1，ABC45°分别过点A，D向BC作垂线，垂足依次为E，F，如图3，设动直线l移动的距离为x当0x1时，Sx2，其图象是开口向上的抛物线的一部分；当1x2时，S1×(x1)x，其图象是直线的一部分；当2x3时，S2(3x)2，其图象是开口向下的抛物线的一部分【评析】本题既考

12、查了学生对两个变量关系的理解，又考查了学生对函数图象及函数表达式的理解，通过图象，准确地反映函数关系，从而解决实际问题，体现数形结合及数学模型的思想判断函数大致图象的试题，一般应先确立函数关系解析式，再根据函数图象及性质做出合理的判断解答分段函数的图象问题一般遵循以下步骤：根据自变量的取值范围对函数进行分段；求出每段的解析式；由每段的解析式确定每段图象的形状本题考查了动线问题的函数图象，类似此类问题，有时候并不需要真正解出函数解析式，只要我们能判断面积增大的快慢就能选出答案例7 （2013泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B(m，

13、2).(1)求该反比例函数关系式；(2)将直线向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点C，且ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式.【思路探析】（1）根据点B是两图象交点，将B（m，2）代入直线，求出B点坐标，即可知反比例函数解析式；（2）设平移后的直线的函数关系式为：，根据面积与函数关系，转化为一元二次方程求出C点坐标即可.【评析】本题考查了一次函数与反比例函数图象与性质，平面直角坐标系中面积计算、平移，方程思想. 这里探究到两直线平行，两条直线对应的函数关系式中的自变量系数k相同.2、线旋转型例8 （2013南充）如图，二次函数的图象与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），

14、交轴于点C，且经过点（，）（1）求这条抛物线的解析式；（2）M过A，B，C三点，交轴于另一点D求点M的坐标；（3）连接AM，DM，将AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与轴，轴分别交于点E，F若为DMF等腰三角形，求点E的坐标【思路探析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式；（2）先让二次函数y=0，求出A、B两点坐标，又因为M过A，B两点，所以MA=MB,则M在AB的垂直平分线上，则M在抛物线的对称轴上，因此确定了M点的横坐标. 设M(1，)，作MG轴于G，MH轴于H，连接MC，MB，又C也在M上，所以MC=MB，再利用勾股定理列方程，即可求出M点纵坐标；（3）根据（2）知MG=MH，又M

15、A=MD，利用HL可得RtAMGRtDMH，再利用全等三角形对应角相等和旋转的性质可得AMEDMF，进而将DMF转化为AME，所以当DMF为等腰三角形时，AME也必为等腰三角形，这样问题就好解决了，再利用分类讨论思想分三种情况解决即可.【评析】本题主要考查了利用待定系数法确定二次函数解析式，线段垂直平分线的性质及其逆定理的运用，勾股定理的运用，圆当中的相关概念，转化思想，分类讨论思想的运用等知识点，综合性强.(2)中M点的横坐标的确定及辅助线的作法是解决此问题的关键，（3）中将DMF转化为AME尤为重要，是问题的突破口.解决线旋转型这类问题，要分清图形的变化过程，正确分析变量与其他变量之间的内

16、在联系，探寻它们之间的关系；要善于探索动点运动的特点和规律，抓住AMD在变化过程中的不变元素。三、动图型1、图形平移型例9 （2013杭州）射线QN与等边ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且ACQN，AM=MB=2cm，QM=4cm动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 （单位：秒）【思路探析】求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，BMN=BNM=C=A=60°，分为三种情况：如图1，当P切AB于M时， t=2；如图2，当P于AC切于A点时， t=3；当P于A

17、C切于C点时， t =7，即当3t7时，P和AC边相切；如图3，当P切BC于N时， t=8；【评析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论例10 （2013娄底）如图，在ABC中，B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H（1）求证：；（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩

18、形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围【思路探析】（1）由相似三角形，对应高的比等于相似比；（2）首先求出矩形EFPQ面积的表达式，然后利用二次函数求其最大面积；（3）运动型问题，要点是弄清矩形EFPQ的运动过程：（I）当0t2时，如答图所示，此时重叠部分是一个矩形和一个梯形, S=t2+5；（II）当2t4时，如答图所示，此时重叠部分是一个三角形，S=t25t+10【评析】本题是运动型相似三角形压轴题，考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的表达式与最值、矩形、等腰直角三角形等多个知识点，涉及考点较多

19、难点在于第（3）问，弄清矩形的运动过程是解题的关键2、图形旋转型例11 （2013黄冈）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为 【思路探析】如图根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长【评析】本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质根据题意画出点A运动轨迹，是突破解题难点的关键例12 （2013临沂）如图，矩

20、形ABCD中，ACB30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F（1）当PEAB，PFBC时，如图1，则的值为_；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转（0°60°）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°90°，且使AP：PC1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论ABCFDEPABCFDPABCFDPEE图1图2图3【思路探析】（1）证明APEPCF，得PE=CF；在RtPCF中，解直角三角形求得的值

21、；（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明PMEPNF，并利用（1）的结论，求得 的值；（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明APMPCN，求得的值；然后证明PMEPNF，从而由,求得的值与（1）（2）问相比较，的值发生了变化【评析】本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点本题（3）问的解题思路是一致的：即都是直接或作辅助线构造直角三角形，通过相似三角形或全等三角形解决问题3、图形翻折型例13 （2013襄阳）平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中A（4，0），B（2，0），C（3，3）

22、反比例函数的图象经过点C（1）求此反比例函数的解析式；（2）将平行四边形ABCD沿x轴翻折得到平行四边形ADCB，请你通过计算说明点D在双曲线上；（3）请你画出ADC，并求出它的面积【思路探析】（1）把点C（3，3）代入反比例函数y=，求出m，即可求出解 析式；（2）过C作CEx轴于点E，过D作DFx轴于点F，则CBEDAF，根据线段之间的数量关系进一步求出点D的坐标，再点D与点D关于x轴对称，求出D坐标，进而判断点D是不是在双曲线；（3）根据C（3，3），D（3，3）得到点C和点D关于原点O中心对称，进一步得出DO=CO=DC，由SADC=2SAOC=2×AOCE求出面积的值【评析

23、】本题主要考查反比例函数综合的知识，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及点的对称性等知识点四、动函数型例14 （2011江西）将抛物线：沿轴翻折，得拋物线，如图所示（1）请直接写出拋物线的表达式（2）现将拋物线向左平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线向右也平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与轴交点从左到右依次为D，E当B，D是线段AE的三等分点时，求的值；在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由【思路探析】（1）根据翻折的性质可求拋物线的表达式为：；

24、 (2)分类讨论（和两种情况），注意数形结合（点的坐标与相关线段的长的转化）.存在理由：连接AN，NE，EM，MA利用中心对称容易得出四边形ANEM为平行四边形，要使平行四边形ANEM为矩形，必需AME是直角三角形，且AME=,由，解得（或必需满足OM=OA，即，从而得到m=1.）.【评析】本题综合考查了二次函数、平移、对称、方程、平行四边形和矩形的判定、以及分类讨论等思想.在考查学生掌握基础知识的同时，也考查了学生对知识的迁移能力.例15 （2013桂林）已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（2，0），（2，0）（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛

25、物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由【思路探析】（1）由抛物线的顶点为（0，4），可设抛物线解析式为y=ax2+4，再将点（2，0）代入，求出a=1，即可得到抛物线解析式为y=x2+4；（2）连接CE，CD，先根据切线的性质得出CEOD，再解RtCDE，得出EDC=30°，然后解RtCDO，得出OC=，则k=OC=；设抛物线y=x2+4向右平移k个单位后的解析式是y=（xk）2+4，它与y=x2+4交于点P，先求

26、出交点P的坐标是（，k2+4），再利用待定系数法求出直线OD的解析式为y=x，然后将点P的坐标代入y=x，即可求出k的值【评析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线平移的规律，直线与圆相切，解直角三角形，两函数交点坐标的求法，三点共线的条件，综合性较强，难度中等其中（2）除了可以将点P的坐标（，k2+4）代入直线OD的解析式，建立关于k的方程外，还可以利用相似三角形对应边成比例列式求解动态几何问题的复习思考动态几何问题知识覆盖面广、形式多样，其中蕴含丰富的数学思想，要有效提高数学总复习的质量和效率，使学生能较好地应对动态几何型问题，我觉得要做好以下几点：1、增强课堂互动生成，