第1章 静电场

1、电 磁 学陕西师范大学陕西师范大学 物理学与信息技术学院物理学与信息技术学院 1.1.电磁学电磁学 贾起民，郑永令，陈暨耀，高等教育出版社贾起民，郑永令，陈暨耀，高等教育出版社2.2.电磁学电磁学 梁灿彬，秦光戎，梁竹健，高等教育出版社梁灿彬，秦光戎，梁竹健，高等教育出版社3.3.物理学物理学 美美 哈里德哈里德 瑞斯尼克著、李仲卿译，科学出版社瑞斯尼克著、李仲卿译，科学出版社 新概念物理教程新概念物理教程 电磁学电磁学( (第二版第二版) ) 赵凯华赵凯华 陈熙谋，高等教育出版社陈熙谋，高等教育出版社 平时：平时： 3030 作业等作业等 期末：期末： 7070 闭卷闭卷高等数学、大学物理高

2、等数学、大学物理绪绪 论论 一、电磁学的研究对象一、电磁学的研究对象 “场场”“路路”场场电场电场磁场磁场路路直流电路直流电路交流电路交流电路 电荷、电流产生电场、磁场的规律电荷、电流产生电场、磁场的规律 电场和磁场的相互联系电场和磁场的相互联系 电磁场对电荷、电流的作用电磁场对电荷、电流的作用 电磁场与物质的相互作用电磁场与物质的相互作用 的顺序，对电磁现象的基本规律予以介绍。的顺序，对电磁现象的基本规律予以介绍。静电场静电场 恒定电流场恒定电流场恒磁场恒磁场电磁感应电磁感应电磁介质电磁介质电路电路麦克斯韦电磁理论麦克斯韦电磁理论 电磁波电磁波本课程将按照本课程将按照深入研究深入研究广泛应用

3、广泛应用1865年麦克斯韦提出年麦克斯韦提出电磁场理论电磁场理论1820年年奥斯特发现奥斯特发现电流对磁针的作用电流对磁针的作用公元前公元前600年年1831年年法拉第发现法拉第发现电磁感应电磁感应古希腊泰勒斯古希腊泰勒斯第一次记载电现象第一次记载电现象二、电磁学的发展过程二、电磁学的发展过程 本书将涉及下面一些科学家以及他们的重大发现，本书将涉及下面一些科学家以及他们的重大发现，他们是：库仑、奥斯特、安培、法拉第和麦克斯韦等。他们是：库仑、奥斯特、安培、法拉第和麦克斯韦等。 库仑库仑奥斯特奥斯特安培安培法拉第法拉第麦克斯韦麦克斯韦三、电磁学的研究方法三、电磁学的研究方法 实践实践理论理论再实

4、践再实践 通过通过观察、实验、抽象、假设观察、实验、抽象、假设，从而得出，从而得出定律定定律定理理，然后，然后再通过实践予以检验以决定其是否成立再通过实践予以检验以决定其是否成立 四、电磁学的应用四、电磁学的应用 应用实例：应用实例： 民用：民用：阴极射线示波器阴极射线示波器喷墨打印机喷墨打印机微波炉微波炉电磁炉电磁炉 工业：工业：矿物的分选矿物的分选磁分离器磁分离器回旋加速器回旋加速器磁流体发电机磁流体发电机电磁泵电磁泵变压器变压器通信：通信：蓝牙技术蓝牙技术码分多址码分多址(CDMA)无线应用协议无线应用协议(WAP)微带线微带线医疗：医疗：生物电磁场保健生物电磁场保健激光治疗激光治疗微波

5、治疗微波治疗电磁波消毒电磁波消毒电磁式生物芯片电磁式生物芯片 军事：军事：电磁脉冲炸弹电磁脉冲炸弹隐形飞机隐形飞机交通：交通：磁悬浮列车磁悬浮列车电磁高速公路电磁高速公路与电磁学相关的新学科与电磁学相关的新学科 v 电磁兼容电磁兼容(EMC) 一种器件、设备或系统的性能，它可以使其在自一种器件、设备或系统的性能，它可以使其在自身环境下正常工作并且同时不会对此环境中任何其他身环境下正常工作并且同时不会对此环境中任何其他设备产生强烈电磁干扰。设备产生强烈电磁干扰。v 生物电磁学生物电磁学 是研究电磁场与生物系统相互关系和相互作用的一是研究电磁场与生物系统相互关系和相互作用的一门跨越传统学科边界的交

6、叉学科。它与生命科学、环境门跨越传统学科边界的交叉学科。它与生命科学、环境科学以及生物医学工程学都有着密切关系。科学以及生物医学工程学都有着密切关系。v 天体磁学天体磁学 研究宇宙世界的天体和星际物质之间各种磁场，研究宇宙世界的天体和星际物质之间各种磁场，磁力的产生、运作和相互间的关联。磁力的产生、运作和相互间的关联。五、电磁辐射五、电磁辐射 神秘的柔情杀手神秘的柔情杀手1. 电磁辐射案例介绍电磁辐射案例介绍 在斯德哥尔摩市，生活在高压输电线区域内的市在斯德哥尔摩市，生活在高压输电线区域内的市民，因磁通密度民，因磁通密度B3mG（毫高斯），癌症发病率（毫高斯），癌症发病率为其他地区的为其他地区

7、的3.8倍！倍！ 1991年英国劳达公司一架民航机不幸坠毁，电磁年英国劳达公司一架民航机不幸坠毁，电磁辐射酿成了这场大祸。辐射酿成了这场大祸。环境保护报环境保护报 1993年，瑞典等北欧三国的研究调查公布，长期年，瑞典等北欧三国的研究调查公布，长期受到受到2mG以上的电磁辐射影响，患白血病的机会以上的电磁辐射影响，患白血病的机会是正常人的是正常人的2.1倍，患脑肿瘤的机会是正常人的倍，患脑肿瘤的机会是正常人的1.5倍倍2. 电磁辐射的来源电磁辐射的来源天然的电磁辐射是一种自然现象，主要来源于雷电、天然的电磁辐射是一种自然现象，主要来源于雷电、太阳热辐射、宇宙射线、地球的热辐射和静电等太阳热辐射

8、、宇宙射线、地球的热辐射和静电等 天然：天然： (1) 来源于无线电发射台，如广播、电视发射台、雷达系来源于无线电发射台，如广播、电视发射台、雷达系统等。统等。非天然：非天然：(2) 来源于工业强电系统，如高压输变电线路、变电站等。来源于工业强电系统，如高压输变电线路、变电站等。(3) 来源于应用电磁能的工业、医疗及科研设备，如电子来源于应用电磁能的工业、医疗及科研设备，如电子仪器、医疗设备、激光照拍设备和办公自动化设备等。仪器、医疗设备、激光照拍设备和办公自动化设备等。(4) 来源于人们日常使用的家用电器，如微波炉、电冰来源于人们日常使用的家用电器，如微波炉、电冰箱、空调、电热毯、电视机、录

9、像机、电脑、手机等。箱、空调、电热毯、电视机、录像机、电脑、手机等。3. 电磁辐射的防护电磁辐射的防护距离防护距离防护屏蔽防护屏蔽防护个人防护个人防护1. 静电场基本现象和基本规律静电场基本现象和基本规律2. 电场电场 电场强度电场强度3. 高斯定理高斯定理4. 电势及其梯度电势及其梯度5.静电能静电能 1. 静电场基本现象和基本规律静电场基本现象和基本规律电荷-组成实物的某些基本粒子（电子、质子等）的固有属性之一。密立根测定电子电荷的实验密立根测定电子电荷的实验19091909年密立根测量电子电荷；年密立根测量电子电荷；1923年年获得诺贝获得诺贝尔物理奖。尔物理奖。方法：观察均匀电场中带电

10、油滴的运动。方法：观察均匀电场中带电油滴的运动。不加电场时不加电场时油滴在重力和阻力的油滴在重力和阻力的作用下，最后得到终作用下，最后得到终极速度。极速度。0 61 rvmgrmgv 61 由此式可从实验中测量油滴的质量。由此式可从实验中测量油滴的质量。密立根密立根加电场时加电场时油滴在重力、阻力和油滴在重力、阻力和电场力的作用下，最电场力的作用下，最后也得到终极速度。后也得到终极速度。0 62 qErvmg rqEmgv62 因而可得油滴的电荷为因而可得油滴的电荷为 Evvrq216 密立根油滴实验的结果密立根油滴实验的结果电子电荷的值为电子电荷的值为e=1.60310-19C，称为基元电荷

11、；，称为基元电荷； 油滴的电荷总是等于同一基元电荷的整数倍油滴的电荷总是等于同一基元电荷的整数倍 q=ne, n=1,2,.,即电荷是量子化的。即电荷是量子化的。二、摩擦起电和静电感应二、摩擦起电和静电感应静电感应使物体带电静电感应使物体带电某种电荷从一个物体转移到另一个物体某种电荷从一个物体转移到另一个物体电荷从一个物体电荷从一个物体(或物体的一部份或物体的一部份)转移到另一个物体转移到另一个物体(或或同一物体的另一部分同一物体的另一部分) 用木块摩擦过的琥珀能吸引碎草等轻小物体的现象。许用木块摩擦过的琥珀能吸引碎草等轻小物体的现象。许多物体经过毛皮或丝绸等摩擦后，都能够吸引轻小的物体。多物

12、体经过毛皮或丝绸等摩擦后，都能够吸引轻小的物体。人们人们就说它们带了电就说它们带了电，或者，或者说它们有了电荷说它们有了电荷。2. 静电感应静电感应1. 摩擦起电摩擦起电库仑库仑 (Charlse-Augustin de Coulomb 1736 1806)法国物理学家法国物理学家17731773年提出的计算物体上应力和应变分布情年提出的计算物体上应力和应变分布情况的方法，是结构工程的理论基础。况的方法，是结构工程的理论基础。17791779年对摩擦力进行分析，提出有关润滑剂年对摩擦力进行分析，提出有关润滑剂的科学理论。的科学理论。1785-17891785-1789年，用扭秤测量静电力和磁力

13、，导年，用扭秤测量静电力和磁力，导出著名的库仑定律。出著名的库仑定律。他还通过对滚动和滑动摩擦的实验研究，得他还通过对滚动和滑动摩擦的实验研究，得出摩擦定律。出摩擦定律。三、库仑定律三、库仑定律Coulombs Lawq1q2电荷电荷1 1 给电荷给电荷 2 2的力的力122q qFKr121 21 22q qFKrr2 20 02 21 14 4rqq 0 04 41 1 K令令22120/1085. 8NmC真空中的介电常数真空中的介电常数21F3q31F11iiFF两个点电荷之间的作用力，不会两个点电荷之间的作用力，不会因为第三个电荷的存在而改变因为第三个电荷的存在而改变3. 电力的叠加

14、原理电力的叠加原理1F12rrrF1212rr例：例：在氢原子中，电子与质子之间的距离约为在氢原子中，电子与质子之间的距离约为5.310-11m，求求它们之间的库仑力与万有引力，并比较它们的大小。它们之间的库仑力与万有引力，并比较它们的大小。解：氢原子核与电子可看作点电荷解：氢原子核与电子可看作点电荷NreFe82112199220102 . 8)103 . 5()106 . 1(10941 万有引力为万有引力为NrmMGFg472112731112106 . 3)103 . 5(1067. 1101 . 91067. 6 两值比较两值比较39478103 . 2106 . 3102 . 8

15、geFF结论：结论：库仑力比万有引力大得多，库仑力比万有引力大得多，所以在原子中，作用在电子上的所以在原子中，作用在电子上的力，主要是电场力，万有引力完力，主要是电场力，万有引力完全可以忽略不计。全可以忽略不计。早期：电磁理论是早期：电磁理论是超距超距作用理论作用理论后来后来: 法拉第提出法拉第提出近距近距作用作用一、电场一、电场 (electric field) 电荷周围存在电场电荷周围存在电场1. 电场的特点电场的特点 对放入其内的任何电荷都有作用对放入其内的任何电荷都有作用力力 电场力对移动电荷作电场力对移动电荷作功功 电场中的导体或介质将分别产生电场中的导体或介质将分别产生静电感应静电

16、感应现象或现象或极极化化现象现象（电场强度）（电场强度）（电势）（电势）电荷电荷 电场电场 电荷电荷2 电场和电场强度电场和电场强度 2.静电场静电场 相对于观察者静止的电荷产生的电场相对于观察者静止的电荷产生的电场 是电磁场的一种特殊形式是电磁场的一种特殊形式二、电场强度二、电场强度(Electric field intensity) 电量为电量为Q的带电体在空间产生电场的带电体在空间产生电场Q描述场中各点电场描述场中各点电场强弱强弱的物理量是的物理量是 电场强度电场强度0q0FEqQPF试验电荷试验电荷q0放到场点放到场点P处，处，试验电荷受力为试验电荷受力为F试验表明：试验表明：对于确定

17、场点对于确定场点 比值比值0Fq与试验电与试验电荷无关荷无关电场强电场强度定义度定义定义方法：定义方法：大小：单位大小：单位正电荷正电荷受力受力方向：方向：正电荷正电荷受力的方向受力的方向答案答案场点确定；场点确定；不至于使场源不至于使场源电荷重新分布。电荷重新分布。思考思考试验电荷必须试验电荷必须满足两小：满足两小：线度足够地小线度足够地小电量充分地小电量充分地小为什么？为什么？讨论讨论0FEq1) 1) q q0 0只是使场显露出来，即使无只是使场显露出来，即使无q q0 0 ， 也存在。也存在。E讨论讨论 EE rE x y z2)3) SI中中单位单位4) 电荷在场中受的电场力电荷在场

18、中受的电场力 点点电荷在外场中受的电场力电荷在外场中受的电场力FqEN/C或或V/m一般一般带电体在外场中受力带电体在外场中受力()QQFFE q()dd1.由由 是否能说，是否能说， 与与 成正比，与成正比，与 成反比？成反比？ 0qFE EF0q2. 一点的场强方向就是该点的试探点电荷所受电场力的方向？一点的场强方向就是该点的试探点电荷所受电场力的方向？3. 场强的方向可由场强的方向可由 定出，其中定出，其中q 0可正可负？可正可负？0FEqQ qP Q0E P 0EqF 4.一总电量为一总电量为Q0的金属球，在它附近的金属球，在它附近P点产生的场强为点产生的场强为 。将一点电荷将一点电荷

19、q0引入引入P点，测得点，测得q实际受力实际受力 与与 q之比为之比为 ，是大于、小于、还是等于，是大于、小于、还是等于P点的点的 ?0E0EFqF(electric field line)SNEdd 任何两条电任何两条电场场线不会在没有电荷的地方相交线不会在没有电荷的地方相交ESd 1. E 用电场线描述用电场线描述场强方向：电场线切线方向场强方向：电场线切线方向场强大小：取决于电场线场强大小：取决于电场线的疏密的疏密不闭合、不会在没有电荷处中断，不闭合、不会在没有电荷处中断，起于正电荷，止于负电荷起于正电荷，止于负电荷dN规定：规定： 2. 静电场中静电场中电场线性质电场线性质电场线是不是

20、点电荷在电场中的运动轨迹？电场线是不是点电荷在电场中的运动轨迹？(设此点电荷除电场力外不受其它力设此点电荷除电场力外不受其它力)解答：解答： 一般情况下电场线不是点电荷在电场中一般情况下电场线不是点电荷在电场中的运动轨迹。只有在均匀电场中，正点电荷的运动轨迹。只有在均匀电场中，正点电荷的初速度为零或初速度为电场方向时，点电的初速度为零或初速度为电场方向时，点电荷在电场中的运动轨迹才可能与电场线重合。荷在电场中的运动轨迹才可能与电场线重合。四、电场强度的计算四、电场强度的计算1.点电荷点电荷q的场强公式的场强公式要解决的问题是：场源点电荷要解决的问题是：场源点电荷q的场中各点电的场中各点电场强度

21、。场强度。解决的办法：根据库仑定律和场强的定义。解决的办法：根据库仑定律和场强的定义。0q00204qqFrr q0r由库仑定律有：由库仑定律有：r首先，首先，将试验点电荷将试验点电荷q0放置场点放置场点P处处P00204qqFrr0FEq0204qErr 1) ) 球对称，球对称，E的大小只与的大小只与r有关有关由库仑定律由库仑定律由场强定义由场强定义0qq0rr讨论讨论2) )场强方向：正电荷受力方向场强方向：正电荷受力方向由上述由上述两式得两式得请判断正误：在以点电荷为心的球面上，请判断正误：在以点电荷为心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相等？由该点电荷所产生的场强处处相等？2.场强

22、叠加原理场强叠加原理求任意带电体的场强求任意带电体的场强0FEq1100i kki kiiiFFqqEEii1）如果带电体由）如果带电体由 k 个点电荷组成，如图个点电荷组成，如图iq1ikkiFFq由电力叠由电力叠加原理加原理由场强定义由场强定义整理后得整理后得或或根据电力叠加原理根据电力叠加原理和场强定义和场强定义02104i kiiiiqErrir0ir0204rrqEEQQddEd2）如果带电体电荷连续分布，如图）如果带电体电荷连续分布，如图Qqd把带电体看作是由许多个把带电体看作是由许多个电荷元（点电电荷元（点电荷）荷）组组成，然后利用场强叠加原理求解成，然后利用场强叠加原理求解Pr

23、分量式分量式kEjEiEEzyxqd e : 线密度线密度 e :面密度面密度 e :体密度体密度VsldeV(体分布)deS(面分布)del(线分布)V0limVeq S0limSeq 0limelql 3）电场强度的计算方法电场强度的计算方法离散型离散型0204iiqEErr连续型连续型0204dqEdErr计算的步骤大致如下：计算的步骤大致如下：n 任取电荷元任取电荷元dq，写出写出dq在待求点的场强的表达式；在待求点的场强的表达式；n 选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式；选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式；n 进行积分计算；进行积分计算；n 写出总的电场强度

24、的矢量表达式，或求出电场强度的大小写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的大小和方向；和方向； 在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程，并注意利在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程，并注意利用已有结果。用已有结果。qqlrrP若从电荷连线的中点向场点若从电荷连线的中点向场点P画一位矢径画一位矢径rr且满足：且满足： r l 的条的条件，则这一对等量异号件，则这一对等量异号点电荷叫做点电荷叫做电偶极子电偶极子描述的物理量是描述的物理量是电偶极矩电偶极矩 ，定义式：定义式：方向：从负点电荷指向正点电荷方向：从负点电荷指向正点电荷五、电偶极子五、电偶极子(electric dipole)

25、的电场的电场 1. 定义：一对定义：一对相距为相距为l 的的等量异号点电荷等量异号点电荷pql2、电偶极子轴线延长线上一点的电场强度、电偶极子轴线延长线上一点的电场强度Eqq EAOrl2014/2qEirl2014/2qEirl 22014/2/2qqEEEirlrl222024/4qrlEirl当当rl时时，r2-l 2/4 r23300121244lqpEirr3. 电偶极子中垂面上任意点的场强电偶极子中垂面上任意点的场强l解解rrEEE304rrqE304rrqErEEE304rrrqrrllrr304rlq304rpElqp电偶极矩电偶极矩r lr+= r- r+-qq电偶极子电场线

26、电偶极子电场线30301244prEpr延长线上中垂面上 电偶极子的场强与距离电偶极子的场强与距离r的三的三次方成反比，它比点电荷的场次方成反比，它比点电荷的场强随强随r递减得快得多；递减得快得多； 电偶极子的场强只与电偶极子的场强只与q与与l的的乘积，即电偶极矩有关乘积，即电偶极矩有关圆环轴线上任一点圆环轴线上任一点P 的电场强度的电场强度RP解解dqddeqlOx0201dd4qErr0201dd4qEErrcosddEExsinddEE r EdxEdEd例例1 1 半径为半径为R 的均匀带电细圆环，带电量为的均匀带电细圆环，带电量为q 求：求：0E由于圆环上电荷分布关于由于圆环上电荷分

27、布关于x 轴对称轴对称 cosd4120rqExrxcos2/ 122)(xRr2/3220)(41xRqxE(1) 当当 x = 0（即（即P点在圆环中心处）时，点在圆环中心处）时， 0E(2) 当当 xR 时时 2041xqE可以把带电圆环视为一个点电荷可以把带电圆环视为一个点电荷 cos4120rqqrdcos4120(3) E的极值：的极值： 令令dE/dx = 0，可得极大值，可得极大值cosddEExR2 23 32 22 20 04 4rxixdQEd rxEdrdrRQdQ 2 22 2RrxrdrRxQE0 02 23 32 22 22 20 02 2 已知：总电量已知：总电

28、量Q ；半径半径R 。 求：求： 均匀带电圆盘轴线上的场强。均匀带电圆盘轴线上的场强。2 22 22 20 01 12 2RxxRiQE 当当R x2 20 02 2RiQE 0 02 2 iE22RQrdr例例2由对称性由对称性例例3 3L均匀带电均匀带电细细棒，长棒，长 L ，电荷线密度，电荷线密度e ，求：中垂面上的场强求：中垂面上的场强 。解解 ：edQdyrEd304rdQrEd 304erdyrjdEidEEdyxLLLyxdEjdEiEdExdEydE0 cosdEdEx20cos4edyr xtgy 2cosxddyxcosr 2 22 22 2cosxr0cos4edx100

29、cos24exdEx 10sin2ex1yx010sin2eEix当当 L 1 - 2 2 202eEix210sinsin4exEx120coscos4eyEx一般一般1LedQdyEd2yx0a E？思考：思考：细棒延线上任一点的场强？细棒延线上任一点的场强？真空中点电荷的场强真空中点电荷的场强0204qErr e e e1、在匀强电场中的受力情况、在匀强电场中的受力情况EqF 0 EqEqFFF电偶极子不受电场力的作用；电偶极子没有平动。电偶极子不受电场力的作用；电偶极子没有平动。-q+qF+F-l2、在匀强电场中所受的力矩、在匀强电场中所受的力矩sinsin22llLFFLpE在力矩的

30、作用下，电偶极子将在平面内转动。在力矩的作用下，电偶极子将在平面内转动。六、带电体在电场中受的力及其运动六、带电体在电场中受的力及其运动在外电场中电偶极子的力矩和取向在外电场中电偶极子的力矩和取向- -F F- - q qE EsinpE sinq lE3、在匀强电场中电偶极子的取向、在匀强电场中电偶极子的取向-q+qF+F-l当当=0时，电偶极子所受的力矩为时，电偶极子所受的力矩为零，零，稳定的平衡位置；稳定的平衡位置；当当=时，电偶极子所受的力矩为零，时，电偶极子所受的力矩为零，非稳定平衡位置。非稳定平衡位置。只要电偶极子稍微偏离这个位置，它将在力矩的作用下，使只要电偶极子稍微偏离这个位置

31、，它将在力矩的作用下，使电偶极子电矩的方向与电场强度的方向一致。电偶极子电矩的方向与电场强度的方向一致。4、在不均匀电场中的行为、在不均匀电场中的行为这时作用在在这时作用在在+q和和-q上的电场力上的电场力F+和和F-大小不相等，这大小不相等，这时电偶极子不仅要转动，而且还将要在空间平动。时电偶极子不仅要转动，而且还将要在空间平动。3 高斯定理高斯定理1. 定义定义 从一给定点从一给定点O向一给定的有向曲面向一给定的有向曲面S的边线做连线，的边线做连线，连线的集合构成一个锥面，该锥面所对应的空间角度连线的集合构成一个锥面，该锥面所对应的空间角度叫做叫做O点对点对S所张的立体角所张的立体角。2d

32、dRS eR 2d cosSRSOdSnRdO矢量面元矢量面元dS的的立体角立体角Re任任意意锥锥面面任意曲面任意曲面S对一点所张的立体角对一点所张的立体角d 22dd cosRSSS eSRR立体角单位：球面度立体角单位：球面度(sr)立体角的正负立体角的正负: :dSRe和和成锐角时为正；反之为负。成锐角时为正；反之为负。2. 闭合曲面的立体角闭合曲面的立体角若闭合面为球面，且顶点在球心的立体角若闭合面为球面，且顶点在球心的立体角2dRSS eR 21dSSR2214 RR4dSnRdORe对任意闭合曲面的立体角，分以下两种情况讨论：对任意闭合曲面的立体角，分以下两种情况讨论：(1) 立体

33、角的顶点立体角的顶点O在闭合曲面内部在闭合曲面内部OS SdS4 (1) 立体角的顶点立体角的顶点O在闭合曲面外部在闭合曲面外部1dSRe1S2S2dSORe0 流速场流速场0d00vSS S通通量量v 有源（或汇）、有旋有源（或汇）、有旋 、两者兼而有之、两者兼而有之0d0vlL L环环流流场场是一定空间范围内是一定空间范围内连续分布的客体连续分布的客体穿过任意曲面的电穿过任意曲面的电场场线线条数称为电通量。条数称为电通量。 1.均匀场中均匀场中面元面元dS 的电通量的电通量NeddnSS dd矢量面元矢量面元SEedd2.非均匀场中曲面的电通量非均匀场中曲面的电通量SEed dSdSdnS

34、Ed cos S eeESEdSSdE流线流线电力线电力线 流量流量电通量电通量 E(2) 电通量是代数量电通量是代数量穿出为正穿出为正 穿入为负穿入为负 3. 闭合曲面电通量闭合曲面电通量SSEeedd方向的规定：向外方向的规定：向外n(1) 11dd0eES1dS2dS22dd0eESSSEeedd穿出、穿入闭合面电力线条数之差穿出、穿入闭合面电力线条数之差 (3) 通过闭合曲面的电通量通过闭合曲面的电通量202r说明说明（2 2）为零，也可能不为零；）为零，也可能不为零；（1 1）处处为零。）处处为零。请点击你认为是对的答案请点击你认为是对的答案 若通过一闭合曲面的若通过一闭合曲面的 通

35、量为零，通量为零，则此闭合曲面上的则此闭合曲面上的 一定是一定是()01dSeESq内Sii反映静电场的性质反映静电场的性质真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，真空中的任何静电场中，穿过任一闭合曲面的电通量，等于该曲面所包围的电荷电量的代数和除以等于该曲面所包围的电荷电量的代数和除以 0VSEVed1d0S(不连续分布的源电荷不连续分布的源电荷)(连续分布的源电荷连续分布的源电荷) 有源场有源场, ,电荷就是它的源。电荷就是它的源。r意义意义 是所有电荷产生的是所有电荷产生的; ; e 只与只与内部电荷内部电荷有关。有关。E高斯高斯1 内容内容(1) 任一闭合曲面任一闭合曲面S包围

36、点电荷包围点电荷q 在闭合曲面上任取一面积元在闭合曲面上任取一面积元dS，通过面元的电场强度通量，通过面元的电场强度通量ddeES20d4reSqr0dd4eq2 证明证明出发点：库仑定律和场强叠加原理出发点：库仑定律和场强叠加原理00d4eSqq d4S +qrS SdSre(2)(2)闭合曲面闭合曲面S不包围该电荷不包围该电荷0d04eSq 0dd4eq通过面元的电场强度通量通过面元的电场强度通量d0S 0dd21+1dSRe1S2S2dSORe(3)(3)闭合曲面闭合曲面S包围多个电荷包围多个电荷q q1 1- -q qk k，同时面外也有多个，同时面外也有多个电荷电荷q qk+1k+1

37、- -q qn n由电场叠加原理由电场叠加原理 iiEE nkinkiiEE11deSES nkiSikiSiSESE11dd()01Siiq内0与空间与空间所有所有的电荷量、电荷的分布有关的电荷量、电荷的分布有关与与闭合面内闭合面内的电量有关的电量有关, ,与电荷的分布无关与电荷的分布无关ESSEd(2) (4) (4) 高斯定理源于库仑定律高于库仑定律。高斯定理源于库仑定律高于库仑定律。 高斯定理是电磁理论的基本方程之一，适高斯定理是电磁理论的基本方程之一，适用于静电场和随时间变化的场，库仑定律只适用用于静电场和随时间变化的场，库仑定律只适用于真空中的静电场于真空中的静电场 (1) 适用于

38、一切静电场；闭合曲面称为适用于一切静电场；闭合曲面称为高斯面高斯面3 3 说明说明只有闭合只有闭合面内面内的的电量电量对对电通量电通量有贡献有贡献()01dSeESq 内Sii(5) 静电场是静电场是有源场有源场. .0E(积分积分)(微分微分)1S2S3Sqq11e0dSqES2e03e0q 在点电荷在点电荷 和和 的静电场中，做的静电场中，做如下的三个闭合面如下的三个闭合面 求求通过各通过各闭合面的电通量闭合面的电通量 .,321SSSqq 将将 从从 移到移到2qABePs 点点 电场强度是否变化电场强度是否变化？ 穿过高斯面穿过高斯面 的的 有否变化有否变化？2q2qABs1qP*常见

39、的具有对称性分布的源电荷有：常见的具有对称性分布的源电荷有：球对称分布：球对称分布：包包括均匀带电的球括均匀带电的球面，球体和多层面，球体和多层同心球壳等同心球壳等无限大平面电荷：无限大平面电荷：包括无限大的均匀包括无限大的均匀带电平面，平板等。带电平面，平板等。轴对称分布：轴对称分布：包包括无限长均匀带括无限长均匀带电的直线，圆柱电的直线，圆柱面，圆柱壳等；面，圆柱壳等；4.4.高斯定理的应用高斯定理的应用 对对Q 的分布具有某种对称性的情况下，利用高斯定理求的分布具有某种对称性的情况下，利用高斯定理求解场强较为方便。求解的关键是选取适当的高斯面。解场强较为方便。求解的关键是选取适当的高斯面

40、。步骤：步骤：1. 进行对称性分析进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分，即由电荷分布的对称性，分析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；（常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）；2. 根据场强分布的特点，作根据场强分布的特点，作适当的高斯面适当的高斯面，要求：，要求： 待求场强的场点应在此高斯面上待求场强的场点应在此高斯面上; ; 穿过该高斯面的电通量容易计算。穿过该高斯面的电通量容易计算。一般地，高斯面各面元的法线矢量一般地，高斯面各面元的法线矢量n与与E平行

41、或垂直，平行或垂直，n与与E平行时，平行时，E的大小要求处处相等，使得的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外能提到积分号外面；面；3. 计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由，最后由高斯定理求出场强。高斯定理求出场强。 例例1 求电量为求电量为Q 半径为半径为R 的均匀带电球面的的均匀带电球面的 电场强度分布电场强度分布 Q根据电荷分布的对称性根据电荷分布的对称性选取合适的高斯面选取合适的高斯面(闭合曲面闭合曲面)解解:取取过场点过场点P的以球心的以球心O为圆心的球面为圆心的球面ESSEdSSEdSSE d24 rERoPrSSd从高斯定理等

42、式的左方入手从高斯定理等式的左方入手计算高斯面的电通量计算高斯面的电通量根据高斯定理列方程根据高斯定理列方程 解方程解方程024iiqrEEqrii402 求过场点的高斯面内电量代数和求过场点的高斯面内电量代数和24 rESESdQrSRoP0iiqRr得解得解rER均匀带电球面电场分布均匀带电球面电场分布00ERr例例2 求：电量为求：电量为Q 、半径为、半径为R 的均匀的均匀带电球体带电球体的场强分布的场强分布R解：解： 选择高斯面选择高斯面同心球面同心球面SeSdE RrQ0 0 RrQ0 0 3 33 3RQrQ r3 30 03 3RQr SdSE2 24 4 rE ERrRQr3

43、30 04 4 RrrQ2 20 04 4 r0ER例例3 均匀带电的无限长的直线均匀带电的无限长的直线线密度线密度对称性的分析对称性的分析rP取合适的高斯面取合适的高斯面lr计算电通量计算电通量SsEd两底面侧面sEsEddrlE 2sdEsd利用高斯定理解出利用高斯定理解出E02lErl02Er思考：思考：无限长带电无限长带电圆柱面圆柱面、圆柱体圆柱体的的E？E解：解：选择高斯面选择高斯面 与平面正交对称的柱面与平面正交对称的柱面SdE侧面侧面SdE平行底面底面SeSdE 0 0 SSE 2 20 02 2 E+ + + + + + + + + + SdSd例例4 4 求：电荷面密度为求：

44、电荷面密度为 的的无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面的的场强分布。场强分布。E思考：思考：密度为密度为无限大无限大带电平板（厚为带电平板（厚为b b）的的E？PEE例例5、两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场、两个带等量异号电荷的无限大平行平面的电场设面电荷密度分别为设面电荷密度分别为1=+ 和和2= - 解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用高斯定律。解：该系统不再具有简单的对称性，不能直接应用高斯定律。然而每一个带电平面的场强先可用高斯定律求出，然而每一个带电平面的场强先可用高斯定律求出，然后再用然后再用叠加原理叠加原理求两个带电平面产生的总场强。求两个带电平面产生的总场强。B

45、AC由图可知，在由图可知，在A 区和区和B区场强均为零。区场强均为零。C区场强的方向从带正电的平板指向带负区场强的方向从带正电的平板指向带负电的平板。电的平板。场强大小为一个带电平板产场强大小为一个带电平板产生的场强的两倍。生的场强的两倍。ABC0022 EEEC对半径为对半径为R的均匀带电球内挖去半径为的均匀带电球内挖去半径为r的小球。的小球。对图对图(a)与与(b)中的两种挖法，能否用高斯定理和中的两种挖法，能否用高斯定理和叠加原理求各点的场强？为什么？叠加原理求各点的场强？为什么？RrRr(a)(b)4 电势及其梯度电势及其梯度1、单个点电荷产生的电场、单个点电荷产生的电场rrqqbar

46、rd14200bLaablFA)(dcosd )(0bLalEqbaLbrrarldrd qEOrrqqbLad )14()(200 q0drlq0)11(400barrqq 在点电荷的非匀强电场中，电场力对试验电荷所作的功与其在点电荷的非匀强电场中，电场力对试验电荷所作的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与其所经历的路径无关。移动时起始位置与终了位置有关，与其所经历的路径无关。2、任意带电体电场、任意带电体电场任意带电体都可以看成由许多点电荷组成的点电荷系，根据任意带电体都可以看成由许多点电荷组成的点电荷系，根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷场强的叠加叠加原理可知，点电荷系的场强为

47、各点电荷场强的叠加 21EEE任意点电荷系的电场力所作的功为任意点电荷系的电场力所作的功为00102LLLAqE dlqE dlqEdl每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。3、结论、结论在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它所作的功，仅与试验电荷的电量、所作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终了位置有关起始与终了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。而与试验电荷所经过的路径无关。静电场力是保守力，静电场是保守场。静电场力是保守力，静电场是保守场。在静电场中，沿闭合路

48、径移动在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力作功，电场力作功LLablEqlFAdd0bLabLalEqlEq)(0)(021ddL1L2bLalEq)(01d0aLblEq)(02dabq00d LlE在静电场中，场强沿任意闭合路径的在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分（称为线积分（称为场强的环量场强的环量）恒为零。）恒为零。安培安培讨论讨论1）静电场的基本方程之一）静电场的基本方程之一 静电场是静电场是保守场保守场或或无旋场无旋场2） 微分形式微分形式0E3）表征静电场的性质有两个方程）表征静电场的性质有两个方程0LlEd()01SSESq内dii0LlEd-有源无旋场有源无旋场静电场是

49、静电场是有源有源、无旋（无旋（保守保守）场，可引进场，可引进电势能电势能。v电势能的差电势能的差ab自自 a 点移至点移至 b 点过程点过程中电场力所做的功。中电场力所做的功。 0dbababaWWAq El定义：定义：)(abWW q0q0q0 在电场中在电场中a、b 两点两点电势能之差，电势能之差，v电势能电势能取电势能零点取电势能零点 W“b” = 0 等于等于把把 q0000daaalEqAWq0 在电场中某点在电场中某点 a 的电势能：的电势能：(1) 电势能应属于电势能应属于 q0 和和电场电场( (或产生电场的源电荷或产生电场的源电荷) )系统所共有系统所共有(3) 选电势能零点

50、原则：选电势能零点原则：(2) 电荷在某点电势能的值与电势能零点电荷在某点电势能的值与电势能零点有关有关, ,而两而两点的差值与电势能零点点的差值与电势能零点无关无关 实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。实际应用中取大地、仪器外壳等为势能零点。 当当( (源源) )电荷分布在电荷分布在有限范围内有限范围内时，一般选时，一般选无限远处无限远处 无限大带电体，无限大带电体，势能零点一般势能零点一般选在有限远处一点。选在有限远处一点。r说明：说明：000daaalEqAWpPpl dEQWU01、 定定 义义 P 点的电势点的电势1）单位正电荷放在）单位正电荷放在P处，系统的电势能。处，系统的电

51、势能。2）把单位正电荷从）把单位正电荷从P处移处移到到0电势（无限远）处，电势（无限远）处，电场力所做的功。电场力所做的功。单位：单位：V （伏特伏特）2、静、静 电场中任意电场中任意两点两点a、 b 间的间的电势电势差差2 2r1 1rbaO21rrldEldE2 2r 把单位正电荷从把单位正电荷从a 处沿任意路处沿任意路径移到径移到 b处电场力做的功。处电场力做的功。2 21 11 12 2UUU21rrl dE四、四、 电势电势（电位）（电位） 电势差电势差0Q把把 从从 a 处移到处移到 b 处电场力做的功可表示为处电场力做的功可表示为U 1 U 2Q0 0 A12 0Q0 0 A12

52、 0U 1 U 2 情况自行讨论情况自行讨论在静电场中释放正电荷在静电场中释放正电荷向电势低处运动向电势低处运动正电荷受力方向正电荷受力方向沿电力线切线方向沿电力线切线方向结论结论：电力线指向电势减小的方向电力线指向电势减小的方向21120rrAQ E dl2 21 10 0rrrdEQ2 21 10 0UUQ讨论：讨论：真空中的真空中的高斯定理高斯定理()01dSeESq 内Sii0d LlEppppUqlEqAW000d ppl dEUbabaabl dEUUU电势电势（电位）（电位） 电势差电势差1.点电荷电场中的电势公式点电荷电场中的电势公式rlEdrrQrd204rQU04五、电势的

53、计算五、电势的计算QPrEld PPlEUd204rrQerrdrldd Ur0q 02.点电荷系的电场中的电势点电荷系的电场中的电势 由定义式出发由定义式出发0PlEUd lElEUPiiPdd00iiUU iPiilE0d在点电荷系产生的在点电荷系产生的电场中，某点的电电场中，某点的电势是各个点电荷单势是各个点电荷单独存在时，在该点独存在时，在该点产生的电势的代数产生的电势的代数和。这称为和。这称为电势叠电势叠加原理。加原理。dUUardq041Qdqar0PUE dl04dqUr步骤：步骤：(1) 选择合适的路径选择合适的路径L(2) 求出线上各点场强求出线上各点场强 (3) 积分积分(

54、计算计算)步骤步骤(1) 把带电体把带电体 分为无限多分为无限多dq(2) 由由dq d U(3) 由由d U U = d U 用电势与场强的积分关系式用电势与场强的积分关系式 用点电荷的电势公式用点电荷的电势公式F由于积分路径的任意性，可以根据具体情况选由于积分路径的任意性，可以根据具体情况选择一条最便于计算的曲线。择一条最便于计算的曲线。 只对参考点在无限远的情况成立。只对参考点在无限远的情况成立。 2ar 1q2q3q4qOaaaa 2ar rqUii410041rq4410aq02)(00UUqA)0 (00Uqaqq002WL例例2均匀带电均匀带电细细棒，长棒，长 L ，电荷线密度，

55、电荷线密度 ， 求：求：沿线、距离一端沿线、距离一端 x0 米处的电势。米处的电势。解：解：Px000 xLx 0 xdxdQ xdQdU0 04 4dx LxxxdxU0 00 00 04 4 Lxxxln0 00 00 04 4 0 00 00 04 4xlnLxln 0 00 0 xLxln例例3已知：总电量已知：总电量Q ；半径半径R 。 求：求： 均匀带电圆环轴线上的电势分布均匀带电圆环轴线上的电势分布Rrx0P解：解：QrdQU0 04 4 QdQr0 04 41 1 rQ0 04 4 2 22 2xRr2 22 20 04 4xRQU rdQdU0 04 4 dQx2 22 20

56、 04 4xRQU (1) 当当 x = 0（即（即P点在圆环中心处）时，点在圆环中心处）时， (2) 当当 xR 时，时， 可以视为一个点电荷可以视为一个点电荷 r讨论讨论思考：思考：一段圆弧的一段圆弧的U？204QUR04QUxOxUR212204rxdQdUrxrdrRQdQ 2 22 2RrxrdrRQU02122202已知：总电量已知：总电量Q ；半径半径R 。 求：求： 均匀带电圆盘轴线上的电势。均匀带电圆盘轴线上的电势。22202QURxxR当当x RxQU04x = 0 22RQrdr例例4U02RUx22Rx1 2221Rxx22112Rxx22Rxx例例6. 已知电荷已知电

57、荷q均匀地分布在半径为均匀地分布在半径为R的球体上，的球体上，求空间各点的电势。求空间各点的电势。解：由高斯定理，可得：解：由高斯定理，可得：2030 4 4rrqerRrEqrerRR当当rR时时20044rqqUdrrr当当rR时时223230000()4484RrRqrqq RrqUdrdrRrRR求：电荷线密度为求：电荷线密度为 的的无限长带电直线无限长带电直线的电势分布的电势分布rE0 02 2 解：由解：由rrdEU 分析分析 如果仍选择无限远为电势如果仍选择无限远为电势0点，积分将趋于点，积分将趋于无限大。必须选择某一定点为电势无限大。必须选择某一定点为电势0点点通常可通常可选地

58、球。现在选距离线选地球。现在选距离线 a 米的米的P0点为电势点为电势0点。点。aP00 0PrrdEUardrrU0 02 2 rlnaln0 02 2 例例7 7raln思考：思考：无限长带电无限长带电圆柱面圆柱面的的U？Ura0 0势势1. 等势面：电场中电势相等的点连成的面称为等势面等势面：电场中电势相等的点连成的面称为等势面等势面的性质等势面的性质: :(1)电场线与等势面处处垂直电场线与等势面处处垂直设一试探电荷设一试探电荷q0沿任意一个等势沿任意一个等势面作一任意元位移面作一任意元位移dl，电场力所电场力所做的元功做的元功0dAq E dlldE 2EdlE0q证明：证明： 00

59、PQAqU PU Q0cosq Edl0cos0(2) 等势面的疏密反映了电场强度的大小等势面的疏密反映了电场强度的大小在一对临近的等势面间，在一对临近的等势面间，n大的地方大的地方E小，小， n小的地方小的地方E大大PQnEUUUQPUE dlE nUEn或 0 n 取取的的极极限限，得得0limnUEn 综合势场图coslnnUlU2. 电势的梯度电势的梯度U的梯度的梯度设：设：U和和U+U相距很近相距很近0limlUUll 0limnUUnn 1cosUUnlEPQnEUUUlQ方向：沿方向：沿 的方向的方向n大小：等于大小：等于UngradU U或0limnUUEnn EU )grad

60、()(uukzjyixE直角坐标系直角坐标系1. 场强点点相等的区域中电势也点点相等；场强点点相等的区域中电势也点点相等；下列说法是否正确？如不正确，请举一反例加以论述。下列说法是否正确？如不正确，请举一反例加以论述。2. 如果两点电势相等，则它们的场强也相等；如果两点电势相等，则它们的场强也相等；3. 设设A点场强（大小）大于点场强（大小）大于B点场强，则点场强，则A点电点电势必高于势必高于B点电势；点电势；4. 场强为零处电势一定为零；场强为零处电势一定为零；5. 电势为零处场强一定为零；电势为零处场强一定为零；例例1已知：总电量已知：总电量Q ；半径半径R 。 求：求： 均匀带电圆环轴线