(完整版)浙江职高高二数学空间几何知识点及典型习题

1、 常考知识点及相应习题汇总 一、棱锥 、正三棱锥1定义三个侧面是全等的等腰三角形的三棱正三棱锥是锥体中底面是正三角形，：锥。 性质： 1 底面是等边三角形。 2 侧面是三个全等的等腰三角形。 顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。3 4. 常构造以下四个直角三角形（见图）： 说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素 与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。练习1： 1、三棱锥ABCD的棱长全相等, E是AD中点, 则直线CE与直线BD所成角的余弦值

2、为( ) 33331 (B) (C) (A) (D) 62622、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ( ) 222422 CD A B 3333、侧棱长为2a的正三棱锥其底面周长为9a，则棱锥的高为 （ ） 33a a2a227a D、 、 A、 B C4、如图为正三棱柱的平面展开图，该正三棱柱的各侧面都是正方形，对这 ACBCAB/ 是异面直线； 个正三棱柱有如下判断：BC与；1112BCACAB垂直与；所成的角的余弦为与BC. 1114 ._其中正确的判断是5?AB?6,PAV?ABCP）求二面角（中，1）求此三棱锥的体积25、在正三棱锥；（。C?P?AB 的

3、正弦值。 V-ABC的底面边长是a, 侧面与底面成60°的二面角。6、正三棱锥 ）侧棱与底面所成的角的正切值。 （2求（1）棱锥的侧棱长 2、正四面体 定义：正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。 它有4个面，6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。 正四面体与正三棱锥的关系：正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形且顶点在底面的投影是底面三角形的中心，不需要四个面全等且都是等边三角形。 因此，正四面体又是特殊的正三棱锥。 性质： 练习2： ABEFPAPCABCE、FP?与中，如果、那么异面直线的中点，1、

4、在正四面体分别为所成的角为 ( ) 000030906045 (D) (C) (B) (A) 3、正四棱锥定义：顶点在底面的投影是侧面为4个全等的等腰三角形且有公共顶点，底面是正方形， 底面的中心。三角形的底边就是正方形的边。 性质：各等腰三角形底边上各侧面都是全等的等腰三角形，）（1正四棱锥各侧棱相等， 的高相等（它叫做正棱锥的斜高）；侧棱、2）正四棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、（ 侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形； ）正四棱锥的侧棱与底面所成的角都相等；正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等；（3 h'，那么它的侧面积是 （4）正四棱锥的侧面

5、积：如果正棱锥的底面周长为s=1/2chc，斜高为 3：练习26: 1。、正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为 ），则侧面与底面的夹角为（? （D（C） ）（A （ B） 36124( ) 、 四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是2 各侧面三角形的顶角为45度 (A) 各侧面是正三角形 (C) 底面是正方形 (D)顶点到底面的射影在底面对角线的交点上 (B) ）2倍，则侧面与底面所成的角等于（ 3、如果正四棱锥的侧面积等于底面积的 75D° 45°C60° B30 A° BCPA与中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线、

6、4在正四棱锥PABCD ； 角的正切值为所成 5、若正四棱锥所有棱长与底面边长均相等，求斜高与棱锥高之比相邻两个侧面所成二面角的大小。 4、棱锥定义一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，：由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 概念：棱锥的底面、棱锥的侧面、棱锥的侧棱、棱锥的顶点、棱锥的高、棱锥（棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面）的对角面; 性质： 1棱锥截面性质定理及推论定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似， 截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则棱锥的侧棱和高被截面分推论1 成的线段

7、比相等。：如果棱锥被平行于底面的平面所截，则截得的小棱锥与原棱锥的推论2 侧面积之比也等于它们对应高的平方比，或它们的底面积之比。 2一些特殊棱锥的性质侧棱长都相等的棱锥，它的顶点在底面内的射影是底面多边形的外接圆的 ，同时侧棱与底面所成的角都相等。圆心（外心）侧面与底面的交角都相等的棱锥，它的二面角都是锐二面角，所以顶点在底面内的射影在底多边形的内部，并且它到各边的距离相等即为底多边形的内，则切圆的圆心（内心），且各侧面上的斜高相等。如果侧面与底面所成角为 。侧cos有S底=S 练习4?PAABC?ABCABC?P是直角三角形，则三棱锥的三个侧面中，1、三棱锥中，底面 ） （ 直角三角形有

8、(C)至多个 (D)个或个 (A)个 (B)个 n （ ） 2、正倍，则侧面与底面所成二面角的度数为棱锥的侧面积是底面积的2 ?n (D)与的取值有关(B) (C) (A) 623，1:8:27、如果一个棱锥被平行于底面的两个平面所截后得到的三部分体积（自上而下）为3 ）则这时棱锥的高被分成上、中、下三段之比为 （ 113323333)?2(2?1)(3: (D)1:1:1 : (B) 1: (C)1:）（A 1: 234、已知棱锥被平行于底面的截面分成上、下体积相等的两部分，则截面把棱锥的侧棱分成上、下两线段的比为 ( ) 3222-1) ( D.1-1) (C.1 1 B. 1 A.2 0

9、VN，M、NVM6305、三棱锥V-ABC的三条侧棱两两为上取两点角，在VA 环绕一周，线绳的最短距离是，用线绳由自8M向N . 6在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E为PC中点（1）求证：PA平面EDB（2）求EB和底面ABC成角正切值 C 7如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA底面ABCD，且PA=AD=2a，AB=a，ABC=60°（1）求证平面PDC平面PAC 与BD所成的角的余弦值（2）求异面直线PC B o8、AB为圆O的直径，圆O在平面内，SA，ABS=30,P在圆周上移动（异于A、B），M为A在SP

10、上的射影， ()求证：三棱锥SABP的各面均是直角三角形； （）求证：AM平面SPB； 9、三棱锥VABC的底面是腰长为5底边长为6的等腰三角形，各个侧面都和底面成450的二面角，求三棱锥的高 习题答案：131练习393 C5., 3.A 4. ：1.A 2. 4 、6 AB于点E ）过解：（1V点作V0面ABC于点0，VE V三棱锥ABC是正三棱锥 O为ABC的中心332331a?aa?a? OE= VEO=60° 则OA=又侧面与底面成，60°角 323623a3?3a?tan60°=V0=OE·则在RtVEO中； 2622221aa21aa722a

11、?AO?VO即侧棱长为VA=Rt在VAO中， 663124：2练习 1.C1：练习3?32 2）；-arccos ；（ 1.D 2.A 3.C 4. 2 （1、5 3 ：练习45arccos、10 63arctan）22）（ 2、A 3、D 4、D 57（、1D 8 、略 759、解：过点V作底面ABC的垂线，垂足为O V0 45的二面角 各个侧面和底面成 的内心O为三角形ABC 点x ，则有设OD1146?)x?65(?5? C 22AODB3x 23 VO为三棱锥的高 2 二、棱柱定义：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体

12、叫做棱柱。 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面。 两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。 棱柱中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱柱的对角面。 分类： 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，画斜棱柱时，一般将侧棱画成不与底面垂直。 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。画直棱柱时，应将侧棱画成与底面垂直。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 平行六面体:底面是平行四边形的棱柱。 直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。 长方体：底面是矩形的直

13、棱柱叫做长方体。 对角线的求法：由棱柱的三条棱长的平方的和的开方。 性质： 1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 2）棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。 3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。 4）直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 练习题：ABC?ABCE?BBAEC?侧面AC.，截面中，1如图：在正三棱柱111111BE?EBAA?ABAECABC所成锐二面角的，求平面求证：若； 与平面 11111111 度数. CB?AABC 的正

14、三角形，的底面是边长为12已知三棱柱111 ?ACABCB45?AAC?AAB?的距离和侧面 到底面，顶点11111111 相等，求此三棱柱的侧棱长及侧面积 F的中点，AA=AB=a，D是CC3、在正三棱柱ABCABC中，11111 AFBD；平面的中点.()求证：DFABC；（）求证：B是A1 E于为BC中点，CEC'D的各棱长都相等，已知：如图，直棱柱4 ABCA'B'C'D C的平面角的大小DADC' 1（）求证：CE平面 (2)求二面角AC' C'A' B' E AC DB ?ACB90?点5CAC=1，ABC、如

15、图，直三棱柱ABC-ABC的底面为等腰直角三角形，1113 到AB的距离为；平面CED. 的中点（，1D）求证：为ABABCE=112 .ACB的平面角2）求异面直线AB与CD之间的距离；（3）求二面角B（11 BA1 1 CE AD 6、在直三棱柱ABCABC中，BC=AC，ACAB，M，N分别是AB，AB的中点。 111111111（1）求证：面ABBA面ACM；（2）求证：ABAM；（3）求证：面AMC面NBC 111111 C 11B1 CNB 答案：CAEGAEC? 是垂足，作内，过EG解：1 在截面11AEC?侧面ACAC 取AC的中点F，连结EG侧面BF，面FG，由AB=BC，得

16、，111面ABC?侧面ACAC，得BF侧面EG ， BFAC BF11ACBE/侧面AC，于FG 、BFEG确定一个平面，交侧面11BE/AAFG/AA，BE = FG ，四BEGF，BEFG四边形是平行边形11111AA?BBBEFG?BBFCAF?BE?BBFGCC?AA? 故，即 ，；，11111222DABC 交于点D，连结 分别延长CE、 111111C?DBBBBEB?CC?DC?CCC/BEB?BA ，又， 1111111111111222?DAC?90DA?AC ，即11111CC?面ACBACACDCA上的射影，根据三垂线定理，得是，即在平面111111111DA?AC?CA

17、C是二面角的平面角 1111CC?AA?AB?AC?ACC?90?CAC?45? ， 即所求二面角为 1111111111 °452解：作AO平面ABC，O为垂足 1110 =45AACAAB=（12）1111O在CAB的平分线上 111连结AO并延长交BC于D点 1111AC=AB ADBC 11111111AABC 111 BBBC 111四边形BBCC为矩形 11取BC中点D，连结AD DD 1DD/BB 11BCDD又BCAD 1111111BC平面ADDA 1111平面AADD平面BCCB 1111过A作ANDD，则AN平面BBCC 111AN=AO D为四边形AAD113

18、?DD AD=DD111123?AA? 1232363?1?S?2?1? 侧222221102arcsin； ）arctan2）3 ；（；（4、(2) 5、1）略 （526、证明：（1）三棱柱ABCABC是直三棱柱 AA面ABCAACM 11 1 111111CA B MABCC，M是AB的中点 CA111111111MBB面,AA?AAB?A?A AA 又B1111111M，ABB?面ABBA?AC面?面ABA 1111111AM?AB?，C?AB?AC，M?面AABB ）（2111111CAN是平行四边形，BAB的中点，?四边形ANBMM(3)?、N分别是AB111同理可证ABB?平面AC

19、?AMBN，AM平面NBC，由M11111 C，CN?平面AABB?CMCNCM平面NB11111CAMCNBMM，?平面C又AM?111 三、正方体、长方体 练习题： )( 之间的距离为DDD棱长为1.a的正方体ABCD-ABC中，异面直线与BC111111a3a22 c Aa BD a2PPAOOABCDDDDD与平面2正方体的棱长为，为为底面的中点，的中心，则11 所成角的正切值为2222 (C)(D)以上皆非(A) (B) 2a,b,c，3设长方体的三条棱长分别为若其所有棱长之和为，一条对角线的长度为，111?为体积为，则 abc114112 (B) (A) (C) (D) 41121

20、1222cm24cm,则长方体的对角线的长度是 ( ,所有棱的总长度为 )4.长方体的表面积为 13cmcm11cmcm1214D. C. A. B. 5如图在正方形ABCDABCD中，M是棱DD的中点，O为底面ABCD11111的中点，P为棱AB上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角的大小为11（ ） ?C 点位置有关P与D A B 234 DBCABCD?A 中，6如图，在长方体FD1111C111EBD?3A6AB?,AD?4,AA1 、，分别过BC1A1111F 的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积CDVV?VV?E 。，分别记为ACAEA?DFD?3CFBE1BB111111

21、1V:V:V:4?1EFDA ) 若，则截面( 的面积为321111310443816 (D) (C) (A)(B) ACFE、DCABCD?ABDA的和中，7如右图，正方体是异面线段11111EFBD的关系是和 中点，则1A相交不垂直 B相交垂直C平行直线 D异面直线 BCD中，M是棱DD的中点，O为底面ABCDAABCD8如图在正方形11111B上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角的大小为（ ） A为棱的中点，P11 ? B C D与PA点位置有关 3242，各棱长总和为24cm，则其对角线长为 cm9长方体全面积为24cm. 10正方体的表面积为m，则正方体的对角线长为 AB?AD?

22、1E2BBCABCD?ABD?BB的中点，11长方体， 为中，111111AE?ADEE?AD?A的正切值；(1)求二面角平面 ；求证：(2)1111 A?CDE的体积 (3)求三棱椎11 A?ACCBD?ABCDAABCD 平面1）求证：平面；中，12. 在正方体（1111111ABACCA 与平面2）求直线所成的角。（111 D1C 1BA11 DC BA BBDABCD?ABCCDE、F）证明：中，的中点.（13. 如图，在正方体分别是、111111?AEDF?DADAEFDAFD. 证明：平面平面（3；（2）求直线与） 所成的角；1111 1?CGGDC?ABCDABCCAA?ADAB

23、上的点，且14. 如图，在长方体中，为，点11111121DCADG?AG?CDCC。（平面 ；（21）求证：）求二面角的大小（结果用反余弦114 。表示）DC11 BA11 DC BA =BDB已知在正方体ABCD ACD中，E、F分别是DD、的中点，G在棱CD上，且CG15.111111 与CG所成角的余弦值；BC；（21）求）求证：EFEFCD114 （3）求二面角FEGC的大小（用反三角函数表示） 1 BBDBCABCD?ACD、FE、分别是在正方体中，16如图，11111AD?DFAEDF所成的角；求直线与 的中点.（1）证明：(2)11AED?AFD. 平面（3）证明：平面11 2

24、m 10、 32C 6.C 4.A 5 3A C 87.D 、答案：1A 2B 9.2AE?2AE?2（12）AA=2 A）11解（1：EAE 111又AEADAE平面ADE 11 11 （2）取AA中点F，过F作FPADEF平面AADD FPADEPAD 11 1 1 11FPE即为E-AD-A的平面角 115EF?PF?tan?FPE?5 中，可求AARt在D115FP （3）EF/CDEF/平面ACD 1 1 1 1V =-AFDDVA-CDE =V-AC=V-ACD1F11 E111 1 C111111?2)C?SAFD?D?(?1? = 111?6433511000?3013?arctan 12. 15. 14. arccos 13. 90 1710?ADDC?DDCABCD?ABCDF 面又面，是正方体，16解： 1111111FDAD? 1FG/DAAGGFDA ，连结是平行四边形、FG易证 取AB中点G11111F?AHADAG 所成的角（或其补角）是AE与与AE交于点H设，111GAH?AAG?GAABB Rt E是ABE的中点， Rt