二元选择模型

1、二元选择摸型如果回归模型的解释变量中含有定性变量，则可以用虚拟变量处理之。在实际经济问题中，被解释变量 也可能是 定性变量。如通过一系列解释变量的观测值观察人们对某项动议的 态度，某件事情的成功和失败等。当被解释变量为定性变量时怎样建立模型呢？这就是要介 绍的二元选择模型或多元选择模型，统称离散选择模型。这里主要介绍Tobit （线性概率）模型，Probit （概率单位）模型和 Logit模型。1. Tobit （线性概率）模型Tobit模型的形式如下，yi = + Xi+Ui（1）其中ui为随机误差项，xi为定量解释变量。yi为二元选择变量。此模型由James Tobin 1958年提出，因

2、此得名。如利息税、机动车的费改税问题等。设f 1（若是第一种选择）yi =L。（若是第二种选择）1.21.00.80.60.40.20.0-0.2330340350360370380对yi取期望，E(yi) =+Xi(2)下面研究yi的分布。因为yi只能取两个值，0和1,所以yi服从两点分布。把yi的分布记为,P ( yi = 1) = PiP ( yi = 0) . = 1 - pi则E(yi) = 1 (pi) + 0 (1 - pi) = pi由(2)和(3)式有pi=+Xi (yi的样本值是0或1,而预测值是概率。)(4)以pi = - 0.2+ 0.05 xi为例，说明xi每增加一个

3、单位，则采用第一种选择的概率增加0.05。现在分析Tobit模型误差的分布。由 Tobit模型（1）有，1 Xi , yi 1Ui = yi- - Xi =E(Ui) = (1-由(4)式，有Xi , yi 0Xi) pi + (- - X) (1 - pi) = pi - - XiE(ui) = pi - - Xi = 0因为yi只能取0, 1两个值，所以，E(ui2) = (1- -Xi)2pi+ (- - Xi)2(1 - pi)=(1- -xi)2(+ xi) + (+ 刈2 (1- - xi),(依据(4)式)=(1- - Xi) ( + Xi) = pi (1 - pi),(依据(

4、4)式)=E(yi) 1- E(yi)上两式说明，误差项的期望为零，方差具有异方差。当pi接近0或1时，Ui具有较小的方差，当pi接近1/2时，Ui具有较大的方差。所以 Tobit模型(1)回归系数的 OLS估计量 具有无偏性和一致性，但不具有有效性。假设用卞型(4)进行预测，当预测值落在0, 1区间之内(即Xi取值在4, 24之内)时，则没有什么问题；但当预测值落在0, 1区间之外时，则会暴露出该模型的严重缺点。因为概率的取值范围是0,1,所以此时必须强令预测值(概率值)相应等于 0或1 (见图1)。线性概率模型常写成如下形式，1,+ Xi 10 <+ Xi < 1(5)0, +

5、 Xi 0然而这样做是有问题的。假设预测某个事件发生的概率等于1,但是实际中该事件可能根本不会发生。反之，预测某个事件发生的概率等于0,但是实际中该事件却可能发生了。虽然估计过程是无偏的，但是由估计过程得出的预测结果却是有偏的。由于线性概率模型的上述缺点， 希望能找到一种变换方法， (1)使解释变量Xi所对应的 所有预测值(概率值)都落在(0, 1)之间。(2)同时对于所有的 Xi,当Xi增加时，希望 yi也单调增加或单调减少。显然累积概率分布函数F(z)能满足这样的要求。采用 累积正态概率分布函数的模型称作Probit模型。用正态分布的累积概率作为 Probit模型的预测概率。 另外logi

6、stic函数也能满足这样的要求。采用 logistic函数的模型称作logit模型。-10.80.60.40.20logistic 曲线累积正态概率分布曲线2. Probit （概率单位）模型，仍假定yi =+ Xi ,而 Pi = F ( yi)=t2yi 不e 2dt(6)累积概率分布函数曲线在Pi =0.5附近的斜率最大。对应yi在实轴上的值，相应概率值永远大于0、小于1。显然Probit模型比Tobit模型更合理。Probit模型需要假定 yi服从正 态分布。3. logit 模型该模型是McFadden于1973年首次提出。其采用的是logistic概率分布函数。其形式是11Pi =

7、F（yi） = F（ + xi） = -= （一xy（7）1 e yi1 e （与）对于给定的为，pi表示相应个体做出某种选择的概率。Probit曲线和logit曲线很相似。两条曲线都是在 pi = 0.5处有拐点，但logit曲线在两个 尾部要比Probit曲线厚。利用（6）和（7）式得到的概率值见表1。表1Probit模型和logit模型概率值t21 yi 下pi = e 2 dt21 pi =1 e yi-3.00.00130.0474-2.00.02280.1192-1.50.06680.1824-1.00.15870.2689-0.50.30850.37750.00.50000.50

8、000.50.69150.62251.00.84130.73111.50.93320.81762.00.97720.88083.00.99870.9526logit曲线计算上也比较方便，所以 Logit模型比Probit模型更常用。 对上式作如下变换，(8)pi(1+ e y ) = 1对上式除以pi,并减1得会=1 1= 1 Pi e 1 PiPi取倒数后，再取对数，Piyi =iog （）1 Pi所以 log （ Bi ） = yi = + Xi（9）1 Pi由上式知回归方程的因变量是对数的某个具体选择的机会比。logit模型的一个重要优点是把在0, 1区间上预测概率的问题转化为在实数轴上

9、预测一个事件发生的机会比问题。logit累积概率分布函数的斜率在Pi = 0.5时最大，在累积分布两个尾端的斜率逐渐减小。说明相对于Pi = 0.5附近的解释变量Xi的变化对概率的变化影响较大，而相对于 Pi接近0和1 附近的Xi值的变化对概率的变化影响较小。对于Logit模型使用极大似然法估计参数是一个很好的选择。首先分析含有两个参数 （和）的随机试验。假设被估计的模型如下(10)1_( 为)yiV取值为0或1的信息。极大和 的估计值。从样本看，1 e1 e在样本中Pi是观测不到的。相对于Xi的值，只能得到因变量似然估计的出发点就是寻找样本观测值最有可能发生条件下的如果第一种选择发生了 n次

10、，第二种选择发生了 N-n次。设采取第一种选择的概率是 R。采 取第二种选择的概率是（1- Pi）。重新将样本数据排列，使前n个观测值为第一种选择，后N-n个观测值为第二种选择（观测值是0, 1的，但相应估计的概率却各不相同）。例1 ()1.21.00.80.60.40.20.0-0.2100200300400南开大学国际经济研究所 1999级研究生考试分数及录取情况见数据表（ N = 95）。定义 变量SCORE:考生考试分数；Y:考生录取为1,未录取为0;虚拟变量D1:应届生为1, 非应届生为0。1.2Y1.0 .0.8 .0.6 _0.4 ,0.2 .0.0 - FD 1-0.2 411

11、1111-0.20.00.20.40.60.81.01.2图1样本观测值（）得 Logit 模型估计结果如下(EViews 命令：Quick, estimate equation 分别选 Probit 或 Logit):Dependent Variable： ¥Method： ML - Binary LogitDate 09/1603 Time: 17:08Sample: 1 97Included! observations. 97Convergenice ckiieved after 12 itmation总Cova ri a nee matrix computed u£

12、ing second derivativesVariableCoeffici entStd, Error 至StatisticProb.c-242.4576124.51641947190.0516SCORE0.6770610.3480301 9454090.3517口 1-0.4766052 904542 -0 1596910,0731Mean dependent var0.144330S.D. dependent var口.353250S.E. of regression0.115377Akaike info1 criterion0.143907Sum squared re?id1,2513

13、16ScHiwarz criierion0.223537Log likelihood-3.979482Hannan-Quinn trrter.0.175105Restr. log likelihood-10.03E33Avg. I(jg likelihood-n.041Q2ELR statistic (2 由72.11382McFadden R-squared0.OT603ProbaLility(LR stat)2 22E-1BObs with Dep=O83Total obs97Obs with Dep=1U注： Akaike information criterion = -2 10g L

14、 + 2 T Tlog L Ln(T)Schwarz criterion = -2 + klog L Ln(LnT)Hannan-Quinn criterion = -2 + 2 ktlog LAverage Log likelihood function = T其中k为被估参数个数，T为样本容量。 log L() McFadden R-squared = 1-log L( ?)因为D1的系数没有显著性。说明“应届生”和“非应届生”不是决定是否录取的重要 因素。剔除D1。得Logit模型估计结果如下pi =F (yi)=1 e(243.7362 0.6794xj)拐点坐标(358.7, 0.5

15、)注意：表达式中指数的写法。Dependent Variable: YMethod: ML - Binary LogitDate: 09/16/03 Time: 17:09Sample: 1 97Included observations: 97Conrvergence achieved after 12 iterationsCovariance matrix computed using second de rivalVariableCoefficientStd. Error z-StatisticProb.C-2437352125.5485 -1.9413710.0522SCORE0.67

16、94410.3504701 9336580.0525Mean dependent var.144330S D dependent var0.353250S.E. ot regiression, 115440Akaike info criterion0123553Sum squared resid1 266017Schwar? criterion ,176640Log likDhhood-3,992330Hannan-Quinn criter.0.145D19Restr log likelihood-40 03639Avg. log likeliliood-0.041168LR statisli

17、c (1 df)72.03812McFadden R-squared0.900292Probability(LR stat0.000000Obs with D日p=033Total obs97Obe with Dep=1141.21.00.80.60.40.20.0-0.2YFLOGISC OR E100200300400Y FPR OB100200300400图2 Logit模型预测值，拐点坐标(358.7, 0.5)在估计Probit模型过程中，D1的系数也没有显著性。剔除 D1, Probit模型最终估计结 果是pi =F(yi) =F (-144.456 + 0.4029 Xi)拐点坐

18、标 (358.5, 0.5)1.21.00.80.60.40.20.0-0.2图3 Probit模型预测值，拐点坐标 (358.5, 0.5)Dependent Variable: YMethod: ML - Binary Probitate: 09/16/03 Time- 17:11Sample: 1 97Included observations: 97Convergence achieved after 12 iterationsCovanance nnatni computed using second derivativesVariableCoefficientStd Error z

19、-StatisticProb.C-U4.45G0加 19773-2.0579440.0396SCORE0.402868,1961852.0535140.0400Mean d&pendent var0.144330S.D. dependerit 画0 363250S. E. af regression0116277Akaike info crite non0.122406Sum squared resid1.284441Schwarz criiericn0.17G4S3Log likelihood-3.936702Hannan-Quinn crrter0.143B72Re&tr.

20、 log likelihood-J0.03639Avg. log likelihood-0.43566LR siaiistic (1 的72.19938McFadden R-squared0.901672Probabilrt/(LR stat)O.OOOOODObs with Dep=O83Total 加97Obs with D即=1U两种估计模型的若干预测结果如下表,scoreProbit模型Logit模型YpiYpi350-3.440.0003-5.950.0026355-1.430.0764-2.550.07383590.000.50000.000.50003600.590.72240.

21、850.70323652.600.99534.240.98583704.620.99997.640.9995表2数据表obsYSCORED1obsYSCORED1obsYSCORED11140113403321670275021401035033216802730313921360332169027314138703703311700272151384138033017102670613790390328172026617137804003281730263181378041032817402611913761420321175026001013710430321176025601113620

22、440318177025201213621450318078025211313611460316179024511403591470308080024311503581480308181024201613561490304082024101703561500303183023911803551510303184023501903541520299185023202003540530297186022812103531540294087021912203500550293188021912303490560293189021412403490570292090021012503481580291

23、191020412603471590291192019802703471600287193018912803441610286194018812903391620286095018213003380630282196016613103381640282197012303203361650282033033406602780例3:农户劳动力的非农业就业模型()。本例的主要任务之一是要考察影响农村居民家庭劳动力非农业就业的主要因素，尤其重点考察教育程度对非农业就业的影响。一般而言，在劳动力市场发育相对成熟的条件下，教育可以提高劳动力非农就业的可能性。劳动力教育程度越高，非农就业的机会越多，非农就业

24、的倾向也就越高。此外，还有其 他许多因素影响农村劳动力的非农就业。如(1)农村居民家庭所在地区的区位条件。在其他条件保持不变的条件下，离中心城市 越近，非农产业越发达，提供的非农就业机会就越多。同时农户进入非农产业就业的成本越低。这种家庭中的劳动力进入非农业就业的可能性也越大。(2)被调查对象所在村镇的乡镇企业的发达程度直接影响农村居民的非农就业。乡镇企业越发达，农村居民非农业就业的概率越高；反之，乡镇企业越不发达，非农就业的概率越小。(3)农户拥有生产资料情况也是影响其劳动力非农就业的重要因素。其中，如果其他条件相同，则非农业生产性固定资产越多，则农户中劳动力的非农业就业倾向越大。而农业生产

25、性固定资产对劳动力非农就业倾向影响比较复杂，如果农户所拥有农业生产性固定资产属于有劳动力替代型的，则它与劳动力非农就业倾向之间的关系是正相关的，反之如果属于劳动力互补型的，则它与非农就业倾向之间存在着负相关关系。(4)农户所拥有的耕地的数量影响其非农就业的倾向，在我国现有的农业现代化程度比较低的条件下，耕地越多意味着农户必须将更多的劳动力分配到农业生产中，因此农户劳动力的非农就业倾向越小，反之，耕地越少则非农就业的倾向越高。(5)家庭结构也是影响农户劳动力非农就业的重要因素，家庭负担越轻，劳动力从事 非农就业的倾向越大。(6)劳动力受教育程度。根据上述分析，我们构建了如下的计量模型：Y=C+

26、iX+ 2NYGDZC+ 3FNYGDZC+ 4XZQY+ 5RJGD+ 6FDXS+ iSchooll+ 2School2+ 3School3+ 4School4+ 5School5+ 6School6+ut其中：Y为农户中是否有非农业就业的劳动力，如果有取1,没有则取0;X为地区代码。如果被调查对象属于滨海三区和四郊取1,否则取0;NYGDZC为农户所拥有的人均农业生产性固定资产的价值；FNYGDZC为农户拥有的人均非农业生产性固定资产的价值；XZQY为农户所在村镇乡镇企业的个数；RJGD为农户家庭人均拥有的耕地的数量；FDINDEX为家庭结构的劳动力负担系数；school1表示家庭中文盲

27、或识字很少的劳动力的人数；school2表示农户家庭内中小学文化程度的劳动力人数；school3表示农户家庭中具有初中文化程度的劳动力的人数；school4表示高中文化程度的劳动力的人数；school5表示中专文化程度的劳动力的人数；school6表示大专以上文化程度的劳动力的人数。将被调查的样本将数据带入上述计量模型，具体结果见表3.1中的模型Io农村居民家庭非农业就业的Logit估计结果Dependent Variable: YMethod: ML - Binary LogitDate: 05Z26/04 Time: 13:32Sample: 1 750Included obseivati

28、ons: 750Convergence achieved after 9 rteratiansCcvriance matrix tornputed using second denvativesVariableCosficiertStd. ErrorZ'St all sticProb.C-1.0416230.299302-3.476922O.OOC5X0.6129320.2385272.5565610.01C2NYGDZC2 89E-051.41E-052.046248,04C7FMYGDZC4 43E-051 75E-052 532024 0113XZQY0.1640950 0363

29、154 646G76o.oomRJGD-0.1398780.027584-5,D7D9530.0000SCHOOL10.751010,37710&1 9915D70.0464SCHOOLS0.5329910.1301474 094536O.OOCOSCHOOLSO.G6990301199635 550E33o.oomSCHOOL-40.9474430.2132644442412O.OOCOSCHOOLS2.12163B0.51SQ34.1194990.0000SCHOOU62 7084871.0641402 5452360,O1C9Mean dependent var0.513333S

30、.D. dep日ndeM 仲0.437311S,E of regression0423573Akaike info crite ri on1.0795C9Sum squared resid132.407&Schiwarz criterion1 153430Log likelihood-392.8159Hannan-Quinn criter.1 107992Restr. log likelihood-500 4253Ag. log likelihood-0 523764LR statistic 01 df)215.2188McFaddenR-squared0,215036ProbabilrtyfLR stt)O.OOODOOObs with Dep=029DTotal obs750Obs with Dep=146D资料来源：天津市农村社会经济调查队。注：（1） *表示10