以圆为背景的相似三角形的计算与证明

1、百度文库 - 让每个人平等地提升自我以圆为背景的相似三角形的计算与证明经典母题】如图 Z131，DB为半圆的直径， A为BD 延长线上的一点， AC切半圆于点 E，BCAC 于点 C，交半圆于点 F.已知 AC12，BC9，求 AO 的长经典母题答图 解：如答图，连结 OE，设O的半径是 R，则 OEOBR. 在 RtACB 中，由勾股定理，得 AB AC2 BC215.AC切半圆 O 于点 E，OEAC， OEA90°C，OEBC， AEOACB，OE AO R 15 R45BC AB，9 15 ，解得 R 8 ，75 AOABOB15 R 8 .【思想方法】 利用圆的切线垂直于过

2、切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求 AO 的长中考变形】图 Z13 21如图 Z132，在 RtACB 中， ACB90°， O 是 AC边上的一点，以 O 为圆心， OC 为半径的圆与 AB 相切于点 D，连结 OD.(1) 求证： ADO ACB；(2) 若O的半径为 1，求证： ACAD·BC.证明： (1)AB是O 的切线，ODAB，CADO90°，A A，ADOACB；(2)由(1)知，ADOACB.AACDOBCD， AD·BCAC·OD，OD1，ACAD·BC.22017·德州如图 Z

3、133，已知 Rt ABC， C90°， D 为 BC 的中点，以 AC为直径的 O交AB于点 E.(1)求证： DE 是O的切线；(2)若 AEEB12，BC6，求 AE 的长图 Z13 3中考变形 2 答图12解： (1)证明：如答图，连结 OE，EC，AC 是O的直径，AECBEC90°，D 为 BC 的中点， EDDCBD，12，OEOC，34， 1324，即OEDACB，ACB 90°，OED 90°，DE 是O 的切线；(2)由(1)知BEC90°，BEBC在RtBEC与 RtBCA中，BB，BECBCA，BECBCA，BC BA，

4、BC2BE·BA，AEEB12，设 AE x，则 BE2x， BA3x，BC6，62 2x·3x，解得 x 6，即 AE 6.BC AB，连结 OC，弦 ADOC，直中考变形 3 答图3如图 Z134，已知 AB是O 的直径， 线 CD 交 BA 的延长线于点 E. (1)求证：直线 CD 是O 的切线； (2)若 DE2BC，求 ADOC 的值图 Z13 4解： (1)证明：如答图，连结 DO. ADOC， DAOCOB，ADOCOD. OAOD，DAOADO， CODCOB.又COCO，ODOB，CODCOB(SAS)， CDOCBO90°，即ODCD.又点

5、D 在O上，直线 CD是O的切线； (2)由(1)知，CODCOB，CDCB. DE2BC，DE2CD.ADOC，AD DE DE 2EDAECO，OC CE 3.OC CE DECD 342016 ·广东如图 Z135，O 是 ABC的外接圆， BC是 O 的直径，ABC30°.过点B作O的切线BD，与CA的延长线交于点 D，与半径 AO的延长线交于点 E.过点A作O的切线AF，与直径 BC的延长线交于点 F.(1) 求证： ACF DAE；(2) 若 SAOC 43，求 DE 的长；(3) 连结 EF，求证： EF 是O 的切线图 Z13 5中考变形 4 答图解： (1

6、)证明： BC 为O的直径，BAC90°， 又ABC30°，ACB60°，又OAOC，OAC 为等边三角形，即 OACAOC60°，AF 为O 的切线，OAF 90°，CAFAFC30°，DE 为O 的切线，DBCOBE90°，DDEA30°，DCAF，DEAAFC， ACFDAE；33(2) AOC 为等边三角形， SAOC 4 OA2 4 ，OA1，BC2，OB1，又DBEO30°，BD2 3， BE 3，DE3 3； (3)证明：如答图，过点 O作 OMEF于点 M， OAOB，OAFOBE90&#

7、176;，BOEAOF， OAFOBE(SAS)，OEOF，EOF120°，OEMOFM30°， OEBOEM30°，即OE 平分 BEF， 又OBEOME90°，OMOB，EF 为O 的切线52017·株洲如图 Z136，AB 为O 的一条弦，点 C 为劣弧 AB 的中点，E 为优弧 AB 上一点，点 F 在 AE的延长线上，且 BEEF，线段 CE 交弦 AB 于点 D.(1) 求证：CEBF；1 5， 求BCD 的面积中考变形 5 答图，作直线 OC，(2) 若 BD2，且 EA EB EC3解： (1)证明：如答图，连结 AC， BEE

8、F， FEBF， AEBEBFF，1F 2AEB，C 是AB的中点，ACBC，AECBEC，AEBAECBEC， 1AEC2AEB，AECF，CEBF； (2)DAEDCB，AEDCEB， ADECBE，ACDBCAEE，即 ACDB 35，CBDCEB，BCDECB，CBECDB，BD BE，即 2 1 ，CBCE，即 CB 5，CB2 5，AD6，AB 8，点C为劣弧 AB的中点，1OCAB，设垂足为 G，则 AGBG 2AB4，CG CB2BG22，11SBCD 2BD·CG2×2×22.6如图 Z137，AB是 O的直径， C为 O上一点， AE和过点 C

9、的切线互相 垂直，垂足为 E，AE交O 于点 D，直线 EC交 AB的延长线于点 P，连结 AC，BC，PBPC12.(1)求证： AC 平分 BAD；中考变形 6 答图(2)探究线段 PB，AB 之间的数量关系，并说明理由图 Z13 7解： (1)证明：如答图，连结 OC. PE是O 的切线，OCPE， AEPE，OCAE， DACOCA， OAOC，OCAOAC，DACOAC，AC 平分BAD；(2)线段 PB，AB 之间的数量关系为 AB3PB.理由：AB是O 的直径，ACB90°，BACABC90°，OBOC，OCBABC，PCBOCB90°，PCBPAC

10、，P 是公共角，PCBPAC，PCPB，PAPC，PC2PB·PA，PBPC12，PC2PB，PA4PB，AB3PB.72016 ·枣庄如图 Z138，AC 是 O的直径， BC 是 O的弦， 点，连结 PA，PB，AB，已知 PBAC.(1)求证： PB是 O 的切线；(2)连结 OP，若 OPBC，且 OP8，O 的半径为 2 2，求P是O 外一BC 的长图 Z13 8中考变形 7 答图解： (1)证明：如答图，连结 OB， AC是O 的直径， ABC90°，CBAC90°. OAOB，BAC OBA， PBAC，PBAOBA90°，即PB

11、OB.PB是O 的切线；(2)O 的半径为 2 2，OB2 2，AC4 2，OPBC，BOPOBCC，又ABCPBO90°，ABCPBO，BC2.BCAC，即 BC 4 2，BOPO，即 2 2 8 ，82017·聊城如图 Z139，O 是ABC的外接圆， O点在 BC边上， BAC 的平分线交 O于点 D，连结 BD，CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的 延长线相交于点 P.(1)求证： PD 是O的切线；(2)求证： PBD DCA；(3) 当 AB6，AC8 时，求线段 PB的长图 Z139中考变形 8 答图解： (1)证明： 圆心 O在 BC上， BC是

12、O 的直径， BAC90°，如答图，连结 OD， AD 平分 BAC， BAC2DAC，DOC2DAC，DOCBAC90°，即ODBC，PDBC，ODPD，OD 为O 的半径，PD 是O 的切线；(2)证明：PDBC，PABC，ABCADC，PADC，PBDABD180°，ACDABD180PBDACD，PBDDCA；(3) ABC 为直角三角形，BC2AB2AC26282100，BC10，OD 垂直平分 BC，DB DC，BC为O 的直径，BDC90在 RtDBC 中，DB2 DC2BC2，即 2DC2BC2100，DCDB 5 2，PBDDCA，PBBD，即 PBDC·BD5 2×5 225 DC AC，即 PB AC 中考预测】2017 ·黄冈模拟如图 Z1310，AB为 O的直径， CD 与O 相切于点 C，且 ODBC，垂足为 F，OD 交O 于点 E.证明：(1)DA