正弦函数、余弦函数的性质

1、2021/8/612021/8/62x6yo-12345-2-3-41正弦曲正弦曲线线x6yo-12345-2-3-41余弦曲余弦曲线线复习：正弦函数、余弦函数的图象复习：正弦函数、余弦函数的图象请观察正弦曲线、余弦曲线的形状和位置请观察正弦曲线、余弦曲线的形状和位置,说出它们的性质。说出它们的性质。想一想2021/8/63问题：今天是星期二，则过了七天是星期几？问题：今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？过了十四天呢？ 正弦函数、余弦函数的性质（一）周期性正弦函数、余弦函数的性质（一）周期性:周期函数都有时取定义域内的每一个值得当使若存在一个非零常数对于函数,),(xTxf)()(

2、xfTxf.,叫做这个函数的周期非零常数称之T条件:(1)T 0且为常数(2)x取定义域内的每一个值。2021/8/64试一试试一试1、已知函数、已知函数 的周期是的周期是4，且当，且当 时，时， ，求，求( )yf x 2( )1f xx(1),(5),(16).fff思考思考： 吗？吗？2(5)5126f 2 , 2x正弦函数、余弦函数的性质（一）周期性正弦函数、余弦函数的性质（一）周期性2021/8/652 sin 30120_sin30（ ）= 120sin ,f xx xR能否说是函数的周期？2021/8/66正弦函数 性质如下：( )sinf xx(1)正弦函数的图象是有规律不断重

3、复出现的；(2)规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）(3)这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明结论： 也是周期函数。x6yo-12345-2-3-41y=sinx x R正弦曲正弦曲线线（观察图象）（观察图象）正弦函数、余弦函数的性质（一）周期性正弦函数、余弦函数的性质（一）周期性y=sinx x R2021/8/67思考：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？周期函数的周期不止一个周期函数的周期不止一个. 2，4，6，都是正弦函数的周期，事实上，任何一个都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数常数2k(kz且且k0)都是它的周期都是

4、它的周期.若周期函数若周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做那么这个最小正数叫做f(x)的的最小正周期最小正周期。注意：注意： 今后所涉及到的周期，不加特别说明今后所涉及到的周期，不加特别说明，一般指最小正周期。，一般指最小正周期。正弦函数、余弦函数的性质（一）周期性正弦函数、余弦函数的性质（一）周期性2021/8/68正弦函数的周期是正弦函数的周期是 ，最小正周期是，最小正周期是 。余弦函数的周期是余弦函数的周期是 ，最小正周期是，最小正周期是 。正弦函数、余弦函数的性质（一）周期性正弦函数、余弦函数的性质（一）周期性2(kkz且

5、k0)22(kkz且k0)22021/8/69教学P35例22021/8/610一般地，函数一般地，函数y=Asin(x+)y=Asin(x+) (A(A0 0， 0 0) )的最小正周期是多少的最小正周期是多少? ? |2T 由上例知函数由上例知函数y=3cosxy=3cosx的周期的周期 T= 2T= 2； 函数函数y=sin2xy=sin2x的周期的周期 T=T=； 函数函数y=2sin( - )y=2sin( - )的周期的周期 T=4T=4想一想：以上这些函数的周期与解析式想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？中哪些量有关吗？ 2x6自变量的系数的绝对值T22021/8/

6、611小结：小结：y=Asin(x+)和和y=Acos(x+)的最小正周期是的最小正周期是|2T 2021/8/612课堂练习一：求下列函数的周期。课堂练习一：求下列函数的周期。 33sin,4yx xR 2cos4 ,yx xR 11cos ,2yx xR 14sin,34yxxRsin()32xy(5)2021/8/613已知三角函数值求角例1：已知 求3sin2 x22322523yO232253113sin602 3sin1202 )(36012036060zkkk或2021/8/614已知三角函数值求角变式：已知 求 的范围。3sin2 3sin602 3sin1202 x22322

7、523yO23225311120,60 360k 360kZk 2021/8/615课堂练习二：课堂练习二：已知三角函数值求角 已知 求 的范围3cos2 2021/8/616小小 结结已知三角函数值，求角已知三角函数值，求角（1）在一个周期区间里找两个代表）在一个周期区间里找两个代表（2）分别加上）分别加上2k2021/8/617正弦函数的图象正弦函数的图象探究探究余弦函数的图象余弦函数的图象问题：它们的图象有何问题：它们的图象有何对称性对称性？x22322523yO23225311x22322523yO23225311正弦函数、余弦函数的性质（二）奇偶性正弦函数、余弦函数的性质（二）奇偶性

8、2021/8/618 它们的形状相同，且都夹在两条平行直线y=1与y=-1之间。正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数)sin( xxsin)cos( xxcos由诱导公式 正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称 它们的位置不同，正弦曲线交y轴于原点，余弦曲线交y轴于点（0，1）.正弦函数、余弦函数的性质（二）奇偶性正弦函数、余弦函数的性质（二）奇偶性2021/8/619判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性课堂练习二：课堂练习二：正弦函数、余弦函数的性质（二）奇偶性正弦函数、余弦函数的性质（二）奇偶性)sin()2(xyxy2sin) 1 ()22sin()3(xy)25cos(3)4(x

9、y2 , 02sin)5(x，y2021/8/620探究：正弦函数的单调性探究：正弦函数的单调性25232223,25，、，、 当当 在区间在区间上时，上时，x曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，sin的值由的值由 增大到增大到 。11753357,22222 222、，、 ， 、当当 在区间在区间x上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。11x22322523yO23225311正弦函数、余弦函数的性质（三）单调性正弦函数、余弦函数的性质（三）单调性2021/8/621探究：正弦函数的单调性探究：正弦函数的单调性x22322523yO23225311正弦函数的增

10、区间为：正弦函数的增区间为：)(22,22Zkkk其值从其值从1增大到增大到1；正弦函数的减区间为：正弦函数的减区间为：32,2()22kkkZ其值从其值从1减小到减小到1。正弦函数、余弦函数的性质（三）单调性正弦函数、余弦函数的性质（三）单调性2021/8/622探究：余弦函数的单调性探究：余弦函数的单调性 3 , 2 0 2 3 ,4 、，、 ，当当 在区间在区间x上时，上时，曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。11曲线逐渐下降，曲线逐渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。11 2 , 0 23 、，、 ，当当 在区间在区间x上时，上时，x2232252

11、3yO232253112021/8/623探究：余弦函数的单调性探究：余弦函数的单调性x22322523yO23225311由余弦函数的周期性知：由余弦函数的周期性知：其值从其值从1减小到减小到1。减区间为：减区间为：2,2kk 其值从其值从1增大到增大到1 ；增区间为：增区间为：2,2kk2021/8/624教学P39例42021/8/625例2：求下列函数的单调递减区间。)32cos(31)2(xy)4sin() 1 (xy2021/8/626课堂练习三：课堂练习三：求下列函数的单调递增区间。)321sin(2)2(xyxy2cos) 1 (2021/8/627 求函数求函数 ，x22，2

12、2的单调递增区间的单调递增区间. .sin()32xy1sin()23yx想一想：你能解决这个问题吗？2021/8/628小小 结结求单调区间求单调区间sin()sinyAxyAz （1 1）化未知为已知）化未知为已知（2 2）负号：）负号：sinsin提出来；提出来；coscos消去消去2021/8/629探究：正弦函数的最大值和最小值探究：正弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：2x当当 时，时， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：2x当当 时，时，有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311正弦函数、余弦函数的性质（四）最值正弦函数、余弦函数的性质（四）最值202

13、1/8/630探究：余弦函数的最大值和最小值探究：余弦函数的最大值和最小值最大值：最大值：0 x当当 时，时， 有最大值有最大值1yk2最小值：最小值：x当当 时，时，有最小值有最小值1yk2x22322523yO23225311正弦函数、余弦函数的性质（四）最值正弦函数、余弦函数的性质（四）最值2021/8/631教学P38例32021/8/632课堂练习四：课堂练习四：求使函数求使函数 取得最大值、最小值的取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值。自变量的集合，并写出最大值、最小值。)42cos(3xy2021/8/633 正弦函数的对称性正弦函数的对称性 xyo-1234-

14、2-312 23 25 27 2 23 25 )0 ,k对称中心（2 kx对称轴： 余弦函数的对称性余弦函数的对称性yxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 )0 ,2k对称中心（kx 对称轴：正弦函数、余弦函数的性质（四）对称性正弦函数、余弦函数的性质（四）对称性2021/8/634 例例3： 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心sin(2)3yx 23zx 解解（1）令）令则则sin(2)sin3yxz sinyz 的对称轴为的对称轴为,2zkkZ 232xk 解得：对称轴为解得：对称轴为,122xkkZ(2)sinyz 的对称中心为的对称中心为(,0)

15、 ,kkZ 23xk 对称中心为对称中心为62xk zk (,0) ,Z62kk 2021/8/6351、为函数、为函数 的一条对称轴的是的一条对称轴的是（ ）sin(2)3yx 4.3A x .2B x .0D x .12C x C课堂练习五：课堂练习五：2、求、求 函数的对称轴和对称中心。函数的对称轴和对称中心。)32cos(xy2021/8/636 函函 数数 性性 质质y= sinx (kz)y= cosx (kz)定义域定义域值域值域最值及相应的最值及相应的 x的集合的集合周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性对称中心对称中心对称轴对称轴 R R-1,1-1,1x= 2k时时y ymaxmax=1=1x= 2k+ 时时 ymin=-1周期为T=2周期为周期为T=2奇函数奇函数偶函数偶函数在在x2k-， 2k 上都是增函数上都是增函数 , 在在x2k ， 2k+ 上都是减函数上都是减函数 。(k,0)x = kx= 2k+时时y yma