131函数的单调性与导数

1、函数的单调性与导数函数的单调性与导数函数函数 y = f (x) 在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在( a , b )上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x) 在在( a , b )上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。( a , b )称为称为单调区间单调区间复习引入复

2、习引入: 从函数从函数y=x2-4x+3的图像可以看到的图像可以看到: yxo111 在区间在区间(2,+)内内,切线的斜率为正切线的斜率为正,函函数数y=f(x)的值随着的值随着x的增大而增大的增大而增大,即即 0 时时,函数函数y=f(x) 在区间在区间(2, +)内为增函数内为增函数. y 在区间在区间(-,2)内内,切线的斜率为负切线的斜率为负,函函数数y=f(x)的值随着的值随着x的增大而减小的增大而减小,即即 0f (x)0,那么函数那么函数 在为在为这个区间内的这个区间内的增函数增函数;如果在这个区间如果在这个区间内内 0单调递_f(x)0单调递_f(x)0常函数增减例例1:讨论

3、讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性的单调性.10331yx故故f(x)在在(-,1)和和(3,+)内是增函数内是增函数,在在(1,3)内是减函数内是减函数.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.当堂练习：做练习册当堂练习：做练习册13页例页例23xy 032xy函数在函数在R上递增上递增(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：函数的单调性导数单调递增f(x)_0单调递减f(x) _0常函数f(x)

4、0例例4 4 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体积相同即单位时间内注入水的体积相同) )注注入下面四种底面积相同的容器中入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别找出与各容器对应请分别找出与各容器对应的水的高度的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系图象的函数关系图象. .(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)h ht tOh ht tOh ht tOh ht tO 一般地一般地, , 如果一个函数在某一范围内导数如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大的绝对值较大, , 那么函数在这个范围内变化得那么函数在这个范围内变化得快快, , 这时这时, , 函数的图象就比较函数的图象就比较“陡峭陡峭”( (向上向上或向下或向下) ); ; 反之反之, , 函数的图象就函数的图象就“平缓平缓”一些一些. . 如图如图, ,函数函数 在在 或或 内的图内的图象象“陡峭陡峭”, ,在在 或或 内的图象内的图象“平平缓缓”. .)(xfy), 0(b)0 ,(a),(