微专题23运用设点与解点求解椭圆综合问题

1、微专题 23运用设点与解点求解椭圆综合问题解析几何中，点是最基本单位点在曲线上，点的坐标满足方程设点意味着建构方程，解点意味求解方程(组 )解决与方程有关的问题，是解析几何的基本问题，也是解析几何考查的基本点解决与方程有关问题的关键在于时刻聚焦目标，确定合理路径，善于运用设而不求、设而善求等数学方法.x2y2例题：如图所示，已知椭圆C： 1( a b 0) ，且点 T(2 ，1) 在椭圆上设与OT82平行的直线l 与椭圆 C 交于 P，Q 两点，直线 TP，TQ 分别与 x 轴正半轴交于M ，N 两点请判断 OM ON 的值是否为定值，并证明你的结论变式 1 如图，在平面直角坐标系x2y2xO

2、y 中，已知椭圆 1，过坐标原点的直线交椭42圆于 P，A 两点，其中点 P 在第一象限，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为C，连接 AC，并延长交椭圆于点 B.设直线 PA 的斜率为 k. 对任意的 k 0 ，求证： PA PB.变式 2 如图， 在平面直角坐标系x2y2xOy 中，椭圆 C： 1 的左顶点为 A ，过原点 O42且不与坐标轴重合的直线与椭圆C 交于 P，Q 两点，直线PA ，QA 分别与 y 轴交于 M ， N两点试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线 PQ 的斜率无关 )？请证明你的结论串讲 1椭圆 E：x2y2F，F ， P 在椭圆 E 上，且位于第一象 1 的左、右焦

3、点分别为4212限，过点 F 作直线 PF的垂线 l，过点 F作直线 PF的垂线 l，若 l，l的交点 Q 在椭圆11122212E 上，求点P 的坐标x2串讲 2 如图，已知椭圆O ： y2 1 的右焦点为 F，点 B，C 分别是椭圆 O 的上、下4顶点，点P 是直线l ： y 2 上的一个动点(与 y 轴交点除外 )，直线PC 交椭圆于另一点M.(1) 当直线 PM 过椭圆的右焦点 F 时，求FBM 的面积；(2) 记直线BM ， BP 的斜率分别为k1， k 1，求证： k1 ·k2 为定值；求 PB·PM 的取值范围x2y22(2018苏·锡常镇二模 )如

4、图， 椭圆 a2 b 2 1(a b 0) 的离心率为2，焦点到相应准线的距离为 1，点 A， B， C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线 l 交椭圆于点 D ，交 x 轴于点 M(x 1 ， 0) ，直线 AC 与直线 BD 交于点 N(x 2， y 2)(1) 求椭圆的标准方程； (2) 若CM 2MD ，求直线 l 的方程；(3) 求证： x1·x2 为定值x2 y2(2018南·京盐城二模 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 C： a2 b 2 1(a b 0) 经过点833.已知过点 M2P，离心率为， 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 A

5、 ， B 两点5525(1)求椭圆 C 的方程；(2)试问 x 轴上是否存在定点 N 的坐标；若不N ，使得 NA ·NB 为定值若存在，求出点存在，请说明理由答案： (1)x2 y2 1 ； (2) 存在定点 N(4 ， 0) 使得 NA ·NB 为定值4c331解析： (1) 离心率 e ，所以 ca，b a 2 c2 a ，所以椭圆 C 的方程为a222x2y24b 2b 2 1.2分83169x2，2因为椭圆 C 经过点 P5，所以25b 225b 21 ，所以 b1 ，所以椭圆 C 的方程45y 2 1.4 分22(2) 解法 12， y2524设 N(n ，0)

6、 ，当 l 斜率不存在时， A，B， y ，则 y 2 1，55425 22222444 n 2 n ， 6 分则 NA ·NB n y2 n552555 44 2 n)(2 n) n 2 4.令 n 2 n n2 4 ，得 n当 l 经过左、 右顶点时， NA ·NB (554.8 分下面证明当 N 为(4 ，0) 时，对斜率为 k 的直线 l：y k x2 1，恒有 NA ·NB 12. 设 A(x5y1)， B(x 2， y 2)，x216 y2 1 ，1616k245由2消去 y，得 (4k 2 1)x 2 k 2xk 2 4 0 ，所以 x1 x2，52

7、54k 2 1y k x ，516k2 425x1x2，10分4k 2 1 22 4) y 1y2 (x1 4)(x 2 4) k2 x1x2所以 NA ·NB (x 14)(x 25524 (k 2 1)x 1x2 4 k2(x1 x2 )16 k 212 分5251616k2 42k24 (k 2255 16k2 1)4 k24k 2 14k 2 1525161624（k 2 1）k 2 4 k 2 4 k2 k2（ 4k 2 1 ）255525 164k 2 1 16k 2 4 分 16 12. 所以在 x 轴上存在定点N(4 ， 0) 使得 NA·NB 为定值 .1

8、64k 2 12解法 2 设 N(n ，0) ，当直线 l 斜率存在时，设l ：y k x，设 A(x 1，y1)，B(x2 ，y2 )，5x2 y 21 ，4由2yk x，516161616k2k 2 4525消去 y ，得 (4k 2 1)x 2k 2xk 2 4 0 ，所以 x1 x2 2 1， x1 x2 2，5254k4k16 分 n) k 222 n) y1y2 (x1 n)(x 2x1 x28 分所以 NA ·NB (x 1 n)(x 255161624k 2 42k2 (k 2 1)x 1(x 1 x2) n 2255x2 n k2k2 (k 2 1)2 1 nk 25254k54k 2 11616244（ k2 1）k 2 4 k 2 n k2 k2 （ 4k 2 1）255525n 2 k 24k 2 1n 2 12 分2516 16 n 554k 2 1k2 41616 n k2 455为常数，设 n 2. 若 NA ·NB 为 常 数 ， 则4k2 11616n k2 4554k 2 1 ，1616为 常 数 ， 则 n k22恒成立，所以 4 4 k 对 任 意 的 实 数 k551616 n 4 ，55 4 ，所以 n 4 ， 4，此时 NA ·