微专题51数列中的存在性问题

1、微专题 51数列中的存在性问题数列中的存在性问题一般转化为求不定方程正整数解的问题，往往涉及数论、函数、方程、不等式等知识，蕴含了丰富的数学思想本专题对数列中一些存在性问题进行探究，使学生学会通过研究方程两边范围的策略来解不定方程整数解的问题.例题：已知an 2n ，是否存在正整数p ，q ，r(p<q<r)，使得 a p ，a q ，ar 成等差数列？并说明理由变式 1 已知 an 2 n，是否存在三个互不相等正整数p ，q ，r ，且 p ，q ，r 成等差数列，使得 a p 1 ， a q 1 ，a r 1 成等比数列？并说明理由变式 2 已知 a n n 2 ，是否存在正整

2、数p ， q ， r(p<q<r)，使得 ap ， a q， ar 成等比数列？并说明理由串讲 1 已知数列是各项均不为0 的等差数列， Sn 为其前 n 项和，且满足a n 2 S2n 1 ，令 b1的前 n 项和 b为T.，数列 bnnnnnn 1a·a(1) 求数列 a n 的通项公式及数列 b n 的前 n 项和 Tn ；(2) 是否存在正整数 m ， n(1<m<n) ，使得 T1 ，Tm ，Tn 成等比数列？若存在，求出所有的 m ， n 的值，若不存在，请说明理由串讲 2 已知数列 a n 与 b n 的前 n 项和分别为An 和 Bn ，且对任

3、意n N *， an 1an2( b n 1 b n)恒成立(1) 若 An n 2， b 1 2，求 Bn ；(2) 若 a1 2， bn 2n ，是否存在两个互不相等的整数A1AsAts，t(1< s< t)，使，成等B1BsBt差数列？若存在，求出s， t 的值；若不存在，请说明理由1111(2018 ·无锡期末 )已知数列 an满足 1 a11 a21 an an ，n N *，Sn 是数列an的前 n 项和(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 若 ap ， 30 ， Sq 成等差数列， ap， 18 ，Sq 成等比数列，求正整数p ， q 的值；(3) 是否

4、存在 k N *，使得 akak 1 16 为数列 an中的项？若存在， 求出所有满足条件的 k 的值；若不存在，请说明理由(2018 ·扬州期末 )已知各项都是正数的数列an的前 n 项和为 Sn，且 2Sn an2 an ，1b n数列 b n满足 b 1 ， 2 b n 1 bn .2an(1) 求数列 an ， b n的通项公式；b n 2(2) 设数列 cn 满足 cn Sn ，求和 c1 c2 cn；(3) 是否存在正整数 p ， q ， r (p < q< r )，使得 b p， b q， br 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p ， q ， r ，若

5、不存在，请说明理由n11答案： (1) an n， bn 2 n； (2) 2 （ n 1 ） 2 n 1 ；(3) 存在， p 1 ，q 3 ，r 4.或 p 2 m 1 m 1 ， q 2 m 1 m ，r 2m 1.解析： (1)2 Sn an 2 an， 2 Sn 1 an 1 2 an 1 ，得 2 an1 an 12 an 2 an1 an，即 (an 1 an)(an 1 an 1) 0.1 分因为 an是正数数列，所以an1 an 1 0，即 an 1 an 1，所以 an是等差数列，其中公差为 1 ，2 分在 2 Sn an2 an 中，令 n 1 ，得 a1 1 ，所以 a

6、nn ，由 2 b n 1 b nb nb n 11b n得n 1· ，an2nbn所以数列n11b n1nbnn是等比数列，其中首项为，公比为，所以，即n.(注：也可累乘求 22n22 nb的通项 )3 分b n 2n 211(2) cn Sn （ n2 n ） 2 n1，裂项得 cn n·2n （ n 1 ） 2 n 1，所以 c1c2 11cn2 （n 1 ） 2 n1.3 分(3) 假设存在正整数p ，q ， r(p < q < r)，使得 b p ，b q，b r 成等差数列，则bp b r 2 b q，pr 2 q即 2 p 2r 2 q ，n 1n

7、1 n1因为 b n 1 b n2 n1 2 n2 n1 ，所以数列 bn 从第二项起单调递减，当p 1 时，2r2 q2 r2q ，r 1若 q 2 ，则 2 r 2 ，此时无解； 7 分r 1若 q 3 ，则 2 r 4 ，因为 b n 从第二项起递减，故r 4 ，所以 p1 ，q 3 ，r 4 符合要求，若 q 4 ，b1b 1则 2，即 b 12 b q，不符合要求，此时无解； 9分bqb 4b pb p4p4当 p 2 时，一定有 q p 1 ，否则若 q p 2 ，则2 ，即 b pb qb p 2p 221 p2 b q，矛盾， 11 分r 1所以 q p 1 ，此时 2 r2 p，令 rp m