2019-2020年人教B版数学必修二讲义：第2章+2.4+2.4.1空间直角坐标系+2.4.2

1、2019-2020年人教B版数学必修二讲义：第2章+2.4+241空间直角坐标系+242空间两点的距离公式及答案-1 - / 82.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式学习目标核心素养1了解空间直角坐标系的建系方式.（重点）2. 能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标 作出点.（重点）3. 理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.（重 点）4. 掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间 距离公式解决简单的冋题.（难点）1. 通过学习空间直角 坐标系的知识，培养直 观想象的数学核心素 养.2. 借助空间距离公式 的学习，提升数学运算 的数学核心素养自主预习探

2、新MlL|新知初携匸|1.空间直角坐标系（1）空间直角坐标系定义以空间中两两垂直且相交于一点 0 的二条直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴， 这时就说建立了空间直角坐标系 Oxyz，其中点 0 叫做坐标原点,x 轴、 y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称 为 xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面画法在平面上画空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使/ xOy- 135 / yOz- 90图示1X说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右 手拇指指向&轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，中指指向 z 轴的正 方向，则称这个坐标系

3、为右手直角坐标系（2）空间中一点的坐标2019-2020年人教B版数学必修二讲义：第2章+2.4+241空间直角坐标系+242空间两点的距离公式及答案-2 - / 8空间一点M的坐标可用有序实数组(x, y, z)来表示，有序实数组(x, y, z)叫 做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作 M(x，y，z)，其中 x 叫做点 M 的 x 坐 标，y 叫做点 M 的 y 坐标,z 叫做点 M 的 z坐标.2.空间两点间的距离公式(1)点 P(x, y, z)到坐标原点 0(0,0,0)的距离 |OP|= .x2+ y2+ z2.任意两点Pl(xi, yi, zi), P2(x2, y2,

4、Z2)间的距离|PlP2I =7(x电$+(yj_ y2+(勺召 f.j 初试1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的()A . y 轴上B. xOy 平面上C. xOz 平面上D .第一象限内C 点(2,0,3)的纵坐标为 0,所以该点在 xOz 平面上.2 点 A(- 1,2,1)在 x 轴上的投影点和在 xOy 平面上的投影点的坐标分别为()A . (- 1,0,1),(- 1,2,0)B . (- 1,0,0), (- 1,2,0)C.(- 1,0,0),(- 1,0,0)D . (- 1,2,0), (- 1,2,0)B 点 A( 1,2,1)在 x 轴上的投影点的横坐标是1,纵坐标

5、、竖坐标都为 0,故为(一 1,0,0),点 A(- 1,2,1)在 xOy 平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0,故为(一 1,2,0).3._ 在空间直角坐标系中，A(- 1,2,3), B(2,1, m),若|AB|= ,110,贝Um 的值 为.-7 或 13 |AB|- 1-22+ 2- 12+ 3-m2110,2 (3 m)2= 100,3- m= 0.二 m=- 7 或 13.4 .在空间直角坐标系中，点P(5,7,9)与 Q(5,- 7，- 9)两点的位置关系是答案关于 X 轴对称合作探究对是素荐- - - - aM- - -2019-2020年人教B版数学必修二讲义：第2章+2.

6、4+241空间直角坐标系+242空间两点的距离公式及答案-3 - / 8空间直角坐标系的建立及坐标表 类熨 1-示【例 1】建立适当的坐标系，写出底边长为2,高为 3 的正三棱柱的各顶点 的坐标.解以 BC 的中点为原点，BC 所在的直线为 y 轴，以射线 OA 所在的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系，如图.%/3由题意知，AO=N% 2 二 3,从而可知各顶点的坐标分别为A( .3，0,0)，B(0,1,0), C(0, 1,0)，Ai( .3, 0,3)，Bi(0,1,3), Ci(0， 1,3).we ft nJA空间中点P坐标的确定方法1.由 P 点分别作垂直于 x 轴、y 轴、z

7、轴的平面，依次交 x 轴，y 轴、z 轴于点 Px、Py、Pz,这三个点在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为 x、y、z,那么点 P 的坐标就是(x, y, z).2 .若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面， 或点 P 在坐标轴或坐标平面上, 则要充分利用这一性质解题.越跟踪训练1.如图所示，V-ABCD 是正棱锥，O 为底面中心，E, F 分别为 BC, CD 的中 点已知|AB|= 2, |VO|= 3,建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点 的坐标.解底面是边长为 2 的正方形，2019-2020年人教B版数学必修二讲义：第2章+2.4+241空间直角坐标系+242空间两点的

8、距离公式及答案-4 - / 8 |CE|= |CF|= 1.IO 点是坐标原点， C(1,1,0),同样的方法可以确定 B(1, 1,0), A( 1, 1,0), D( 1,1,0). V 在 z 轴上，-V(0,0,3).，类型2丿求空间对称点的坐标1 - 【例 2】在空间直角坐标系中，已知点 P( 2,1,4).(1) 求点 P 关于 x 轴对称的点的坐标；(2) 求点 P 关于 xOy 平面对称的点的坐标；求点 P 关于点 M(2, 1, 4)对称的点的坐标.思路探究对照空间点的对称规律直接写出各点的坐标.解(1)由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y 轴、z

9、轴的分 量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1( 2, 1, 4).(2)由于点 P 关于 xOy 平面对称后，它在 x 轴、y 轴的分量不变，在 z 轴的分量 变为原来的相反数，所以对称点坐标为 P2( 2,1, 4).设对称点为 P3(x, y, z),则点 M 为线段 PP3的中点，由中点坐标公式，可得 x= 2X2 ( 2)= 6,y= 2X( 1) 1 = 一 3, z= 2X( 4) 4=一 12,所以 P3的坐标为(6, 3, 12).规枠衣梏规枠衣梏任意一点 P(x, y, z)，关于原点对称的点是 Pl(X, y, z);关于 x 轴(横 轴)对称的点是 P2(x,y, z

10、);关于 y 轴(纵轴)对称的点是 P3( x, y, z);关 于 z 轴(竖轴)对称的点是 P4( x, y, z);关于 xOy 平面对称的点是 P5(x, y, z);关于 yOz 平面对称的点是 P6( x, y, z)；关于 xOz 平面对称的点是 P7(x, y, z).求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀 来记忆.2019-2020年人教B版数学必修二讲义：第2章+2.4+241空间直角坐标系+242空间两点的距离公式及答案-5 - / 8跟蹿训练2. 已知 M(2,1,3),求 M 关于原点对称的点 Mi,M 关于 xOy 平面对称的点 M?,

11、M 关于 x 轴、y 轴对称的点 M3, M4.解由于点 M 与 Mi关于原点对称，所以 Mi( 2, 1, 3);点 M 与 M2关于 xOy 平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以 M2(2,1,3); M 与 M3关于 x 轴对称，则 M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即 M3(2, 1, 3),同理 M4( 2,1,3).1- -_空间两点间的距离探究问题1.已知两点 P(1,0,1)与 Q(4,3, 1),请求出 P、Q 之间的距离.提示|PQ|=J1 42+ 0 32+ 1 + 12= . 22.2.上述问题中，若在 z 轴上存在点 M,使得|M

12、P 匸|MQ|,请求出点 M 的坐标.提示设 M(0,0, z), 由 |MP|=|MQ|,2小2 “八2,2小2 ,、2得(1) + 0 + (z 1) = 4 + 3 + ( 1 z),-z= 6. M (0,0, 6).【例 3】在空间直角坐标系中，已知 A(2,0,3)和 B( 3,0, 2),试问在 y 轴上是否存在点 M，满足|MA|=|MB|.思路探究设点的坐标，代入距离公式，求得.解假设在 y 轴上存在点 M，满足|MA|=|MB|.因为 M 在 y 轴上，可设 M(0, y0).由 |MA|= |MB|，可得-,.；22+ y2+ 32=弩；32+ y2+ 22，显然，此式对

13、任意 y R 恒成立，即 y 轴上所有点都满足关系|MA|=|MB|.母题探究母题探究2019-2020年人教B版数学必修二讲义：第2章+2.4+241空间直角坐标系+242空间两点的距离公式及答案-6 - / 81 本例中将点 A 的坐标改成“ A(3,1,1)”，其余条件不变，请再探讨结论.解假设在 y 轴上存在点 M，满足|MA|= |MB|.因为 M 在 y 轴上，可设 M(0, y0).由 |MA|= |MB|，可得- 3?+y1?+12= “3?+y?+22，解得 y= 1,所以 y 轴上存在点 M(0， 1,0)满足关系|MA| = |MB|.2将本例改为“在空间直角坐标系中，已

14、知 A(2,0,3),B( 3,0, 2),C(1,2.2, 1)”，试判断三角形 ABC 的形状？解由空间两点间的距离公式知：|AB|=2+ 32+ 0 02+ 3+ 22=5 2,|AC|= 2 12+ 0 2 22+ 3+ 12= 5,|BC|= 3 12+ 0 2 ;22+ 2+ 12= 5,所以 |AC|= |BC|, AC|2+ |BC|2= ABI2,2019-2020年人教B版数学必修二讲义：第2章+2.4+241空间直角坐标系+242空间两点的距离公式及答案-7 - / 8所以三角形 ABC 为等腰直角三角形.规枠衣梏规枠衣梏解决空间两点间的距离的方法1 若两点坐标已知，直接

15、代入空间两点间的距离公式求解.2 .若两点坐标未知，则需建立适当的空间直角坐标系(有些题目已给出坐标系)，禾 I用平面图形及空间图形的性质，结合坐标系表示出相关的坐标，最后代入空间两点间的距离公式求解.了课堂曲结1本节课的重点是了解右手直角坐标系及有关概念，掌握空间直角坐标系中 任意一点的坐标的含义，会建立空间直角坐标系，并能求出点的坐标，理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式及其简单应用. 难 点是空间直角坐标系的建立及求相关点的坐标、空间两点间距离公式及其简单运 用.2 本节课要重点掌握的规律方法(1) 空间直角坐标系中点的坐标的确定方法，(2) 求空间中对称点坐

16、标的规律，(3) 空间两点间距离公式的应用.3. 本节课的易错点是空间中点的坐标的确定.当堂达标Oz轴上的点的坐标可记作(0,0， c). xOz平面上的点的坐标是(a,0，c).1.判断(正确的打“V”(1)在空间直角坐标系中，在在空间直角坐标系中，在，错误的打“x”)Ox 轴上的点的坐标一定是(0，b，c).(yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0，b，(c).)在空间直角坐标系中，在(4)在空间直角坐标系中，在2019-2020年人教B版数学必修二讲义：第2章+2.4+241空间直角坐标系+242空间两点的距离公式及答案-8 - / 8答案x V(3)V V提示(1)错误.x 轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0.(2)、正确.2.在空间直角坐标系中，点 P(3,4,5)与 Q(3, -4, 5)两点的位置关系是()A 关于 x 轴对称B 关于 xOy 平面对称C.关于坐标原点对称D 以上都不对A 点 P(3,4,5)与 Q(3, 4, 5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反 数，所以两点关于 x 轴对称.3._ 设 A(4, 7,1),B(6,2, z), |AB