人教版高数必修五第11讲：一元二次不等式及其解法(教师版)

1、，元二次不等式及其解法薨大脑体操作业完成情况蜒教学目标教学重点：正确理解一元二次不等式的解法；掌握一元二次不等式的不等式的解法；理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；教学难点：理解二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系。味引入0001. 一元二次不等式(1)知识梳理一元二次不等式的定义：一般地，含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次等式；一元二次不等式的解集：使某个一元二次不等式成立的未知数的取值集合叫做这个一兀 二次不等式的解集；同解不等式：如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式。2.一元二次不等式与相应的函数、方程之间的

2、关系0,0,0可分为2 2对于一元二次方程 ax bx c 0 a 0设 b 4ac它的解按三种情况，列表如下:二次函数y ax2 bx c（a 0）的图象元二次方程2ax bX c 0a 0的根2ax bX c 0(a 0)的解集2ax bX c 0(a 0)的解集3.4.5.y ax2 bx c有两相异实根Xl,X2(XiX2)XXX1或 Xx2XX.,X X2-元二次不等式的解法步骤（1）（2）y ax2 bx c有两相等实根b2aXlX2bX 2ay ax2 bx c无实根对不等式进行变形，使一端为 0，且二次项系数大于 0； 计算相应方程的根的判别式；当 0时，求出相应的一元二次方程

3、的两根；根据一元二次不等式解集的结构，写出其解集。元一次不等式组求解。（4）注：若不等式左侧可因式分解，则可转化为含参数的一元二次不等式的解法（1）（一看，二算，三写）二次项系数含参数时，根据一元二次不等式的标准形式需要化二次项系数为正，所以要 对参数讨论；解 得过程中，若 表达式含有参数且参数的取值影响定的需要，对参数进行讨论；方程的两根表达式中如果有参数，需要对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进 行讨论。的符号，这时根据 的符号确不等式的恒成立问题（1）结合二次函数的图像和性质用判别式法，当X的取值为全体实数时，一般用此法;从函数的最值入手考虑，如大于零恒成立可转化为最小值大于零；能

4、分离变量的尽量把参数和变量分离出来；数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形。（4）分式不等式的解法将分式不等式转化为整式不等式求解，若能直接判断出分子或分母的符号，则可求解，否则应 化为以下形式：6.(1)蜒典例讲练类型一： 一元二次不等式的解法；分式不等式的解法;例1.解下列不等式：2x23x 20解析:2Q 0,2x2 3x20的根是xi1,x22,所以不等式2x2 3x 20的解集为2x|x答案:2练习1.解下列不等式:2x 4x 40答案：x|x 2练习2.解下列不等式:x2 2x 30答案：RY 1例2.不等式乙丄3的解集是x13，移项得g 30通分得x 1 3xx解析：由x1

5、 2x0即0该不等式等价于1 2x x 0x 0即方程2 x11-x 0的两根为丄,0故原不等式的解集为22x |x 0 或 x答案：x|x4练习3.不等式上一x 1答案： 1,13,oo 练习4.使不等式xx2成立的x的取值范围是x1的解集是答案：(OOJ1)类型二含参数的一元二次不等式的解法例3.解关于x的不等式ax2a 1 x 1解析：若，a0，原不等式x 1若a0,原不等式x-或x 1 a若a0,原不等式x1-x 10a（1）当a1，原不等式x（2）当a1,原不等式丄x 1a（3）当01a 1,原不等式1 x a综上所述，当a 0,解集为x|x -或01a当a0，解集为x|x1xa 1

6、,解集为 x|11，解集为11,解集为x | a答案:当a 0,解集为x|x10，解集为x|1a 1,解集为 x|11，解集为1,解集为x|-a练习5.已知0 a，则不等式2a1-x 20的解集为（）aA. 2a,1aB. 1,2aaC.2a,aD. -,aa答案：A练习6.若不等式2x2 bx 10的解集为12,m，则b m答案：2类型三：有关不等式恒成立问题2例4.关于x不等式1 m x mxR恒成立,求实数m的取值范围解析:原不等式等价于 mx2 mxm 10对x R恒成立(1)当m 0时，不等式为10显然成立当m 0时，由不等式恒成立得m 0m24m m 10解得m综上,m的取值范围为

7、m 0答案:练习7.对任意的实数X，不等式mx2mx0恒成立,则实数m的取值范围是（）A. 4,0B.( 4,0C. 4,0D. 4,0)答案：B练习8.不等式x22x 53a对任意实数X恒成立,则实数a的取值范围为（）A. 1,4B.(-,25,) C.(,14,)D. 2,5答案：A练习9.已知关于X的不等式x2 ax 2a 0在R上恒成立，则实数a的取值范围是答案：0,8练习10.函数fx Jx2 2a X 1 3的定义域为 R，试求a的取值范围答案： 3,1宙VXVL 丄X) Q宀 9 WXWL 丄X) Q宀 Lwxwu Q广 vxu Q L寸Ara帑寸vra - Q宀 Lvxvo_x

8、) 0ESB宙 vx>o_x) m宀LVXVL 丄X) <)灭«碍琴8 ovxe 、OVL、宀 Lwxwu 0宀LVXV2 丄X) -80应迩 宀L代X帑z wx_x) <( )IXA.X l¥t宀gvxvL丄X 0宀Lvx帑gAX_x) 8 宀LWX帑gx_x) <( )02xf .0宀L代X帑ewx_x)0 宙 WXWL 丄X) -8 宙代X 帑 Lwx_x) <( -0 AIX+OAX 存 vx_x)0ovx 帑Tcxlx) 8ovxvrx) <L( )+ Lyvo 枫寸L寸vro V寸-8(8+ (L 8 )Q(QL)0(8+ =

9、) n(e 8)8(L7) <( )OA(x+e)(x L) n宙vxv 二X) .0宙 vxvo_x) m宀Lvxvo_x) <( m c< 亘 石vxvo_xh8 宀ovx土XTW 血帐枫 L当a = 0 时，a2= a, xm 0 ；A. (1,3) B . ( s, 3)C.(汽 1) u (2 ,+s )D. ( s ,+s )答案：A13.下列选项中，使不等式x<1 <x2成立的x的取值范围是（A . ( s, 1)答案： AB. (- 1,0)C. (0,1)(1 ,+s )4.若f（x）= X2+ mx 1的函数值有正值，则m的取值范围是A . m

10、< 2 或 m> 2 B . 2< m< 21 < mv 3答案：A5.对于任意实数X,不等式(a 2)x2 2(a 2)x 4< 0 恒成立,则实数 a的取值范围（）A . ( s, 2)B.( s, 2C. (-2,2)D . ( 2,2答案：D6.不等式铝<1的解集是答案：x< 4 或 x>3 7.若关于x的不等式一护+ 2x>mx的解集是x|0<x<2，则实数m的值是 答案：1 8.不等式X2+ x 2<0的解集为答案：x| 2<x<19. 不等式0W x2 2x 3< 5的解集为 答案：x

11、| 2<XW 1 或 3< x< 510. 若不等式ax2 + bx+ c>0的解集为x| 3<x<4，求不等式 bx2 + 2ax c 3b<0的解集.答案：ax2 + bx+ c>0 的解集为x| 3<x<4, a<0且3和4是方程ax2 + bx+ c= 0的两根,b= a，解得 c= 12a不等式 bx2 + 2ax c 3b<0可化为ax2 + 2ax + 15a<0, 即 x2 2x 15<0，- 3<x<5, 所求不等式的解集为x| 3<x<5.11. 解关于 x 的不等式

12、 x2 (a + a2)x + a3>0(a R). 答案：原不等式可化为(x a)(x a2)>0.当 a<0 时，a<a2, x<a 或 x>a2;0<a<1 时，a2<a, x<a2或 x>a;a = 1 时，a2= a, xm 1 ； a>1 时，a<a2, x<a 或 x>a2.综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为x|x<a或x>a2；0<a<1时，原不等式的解集为x|x<a2或 x>a;a=0时，原不等式的解集为x|xM 0;a=1时，

13、原不等式的解集为X|XM 1.能力提升12. 如果ax2 + bx+ c>0的解集为x|x< - 2或x>4，那么对于函数f（x）= ax2 + bx+ c有（）A . f(5)<f(2)<f(- 1) B . f(2)<f(5)<f( - 1) C . f(2)<f(- 1)<f(5) D . f( - 1)<f(2)<f(5) 答案：C13. 不等式2x2 + mx+ n>0的解集是x|x>3或x< - 2，贝U m、n的值分别是（）A. 2,12C. 2,- 12D.- 2,- 12函数y=1异一1的定义

14、域是（）答案：D 14.-血-1)U (1,迈 -72,-1) u(1，迈)-2,- 1)U (1,2(-2,- 1) U (1,2) 答案：A15.已知关于x的不等式x2+ bx+ c>0的解集为x|x<- 1或x>2，贝U b2 + c2=（）C. 1答案：A16.不等式x2- ax- 6a2<0（a<0）的解集为（）A . (-s,- 2 a) U (3a ,+s ) B . (-2a,3a) 答案： DC. ( 8,3a) U (2 a ,+s ) d . (3a,- 2 a)117. a> 0, b> 0.不等式-bv xv a的解集为(1十

15、11A . x|xv- b或 x>?B. x|-avXV1 1 1 1 1 p C . x|xv- a或 x>PD . x|-bv xv 0 或 0V xv；答案：A18.已知函数x+ 2,f(x)= x + 2,xw 0，则不等式f（x） > x2的解集为（）x>0A . 1,1B . 2,2C. 2,1D . 1,2答案：A19.已知函数y= (m2 + 4m 5)x2 + 4(1 m)x + 3 对任意实数X，函数值恒大于零，则实数 m的取值范围是答案：1 w m<1920.已知集合A = x|3x 2 x2< 0, B = x|x av0且 BA,则

16、a的取值范围是（）A. aw 1B. 1 < aw 2 C. a>2D. aw 2答案：A21.对于实数X,当且仅当nw x<n+ 1(n N +)时，规定x = n,则不等式4x2 36x + 45<0的解集答案：x|2w x<822. 解下列关于x的不等式:(1)(5 x)(x + 1) > 0;81一4/+ 18x > 0;一討+ 3x 5>0 ;(4) 2/+ 3x 2<0.答案：(1)原不等式化为(x 5)(x + 1) w 0,-1 w xw 5.故所求不等式的解集为x| 1 w xw 5.2 81原不等式化为4/ 18x+&q

17、uot;4 w 0,即(2x |)2w 0,9故所求不等式的解集为x|x = -.(3)原不等式化为 X2 6x+ 10<0,即(x 3)2 + 1<0 , x ?.故所求不等式的解集为?.原不等式化为2/ 3x + 2>0,3 7即 2(x+ 8>0故所求不等式的解集为R.23. 已知不等式x2 2x 3<0的解集为A,不等式X2+ X 6<0的解集为B.（1）求 An B；（2）若不等式 z+ax*b<0的解集为An B,求不等式答案： （1）由 X2 2x 3<0,得1<x<3,二 A= ( 1,3).由 X2 + X 6<

18、;0，得3<x<2, B= ( 3,2) , A n B = ( 1,2).1 a+ b= 0由题意，得4 + 2a + b= 0a= 1 解得b = 2 X2 + X 2<0,.X2 x+ 2>0,不等式X2X+ 2>0的解集为R.24. 已知不等式 ax2 + bx+ c>0的解集为x|a<x< p，其中ax2 + X+ b<0 的解集.3> a>0 ,求不等式cx2+ bx+ a<0的解集.答案：/ ax2 + bx+ c>0 的解集为x|a<x<p, a、p是方程ax2 + bx+ c= 0的两根

19、，且 a<0.cba 伊，a+ P= C= a aP b= a( a+ p).aacx2 + bx+ a<0,. a ap2 a( a+ p)x+ a<0.整理，得 ap2x (a+ 9x+ 1>0. p> a>0 , a >0, X2 丄x+>0.方程X21 1 1X += 0的两根为-、； apa p1 1 1 1 1x2(；+Dx+>0 的解集为x|x>；，或 x<?，1 1即不等式cx2+bx+ a<0的解集为x|x>a，或x<p .25. 解关于X的不等式：56X2 ax a2>0.答案：56x2 ax a2> 0可化为(7X a)(8x + a) > 0.当当a>0 时，8< 7，二 x&g