从二道高考题解读二面角的求法

1、案例说法从二道高考题解读二面角的求法空间几何中的三种角-异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角， 在高考立体几何的计算中占据着主角地位。 而二面角的求解因为方法多样、灵活 多变，具有较高的区分度，较能考察学生的空间想象能力、逻辑思维能力及计算 能力，更受到命题者的青睐。由于学生的空间想象能力、逻辑思维能力较弱，力卩 之教师对教学的无赖，学生往往仅掌握用平面的法向量来求解二面角，此法虽然对学生的空间想象能力、逻辑思维能力要求不高，但对计算的要求较高，学生往 往建系不当、计算出错等原因导致失分， 解，也有“小题大作”之嫌，费时费事， 考中适当介绍一些二面角的常用求法， 牛刀”的尴尬局面。下面

2、通过2011年全国高考卷中的二道试题，介绍二面角的一些常用求法。并且如果不分试题背景都用法向量来求 出现“隐形”失分。因此，在教学、备 让学生多几样利器，能避免“杀鸡全部用例1 （2011年全国大纲卷理16）已知E、F分别在正方形ABCD_A1B1C1D1棱BB, CC上，且BiF=2EB CF=2FC则面 AEF与面ABC所成的二面角的正切值等、面积射影法一个平面多边形的面积为 S,它在另一个平面上的射影多边形的面积为 S1，若多边形所在平面与另一个平面构成的二面角为解：如图1,设AB 3，93J11可求得Sabc 2,s aef匸(AE EF J10, AF J22)且AEF在平面ABCD

3、t的射影为cosS AEFC1FCABCtan或解：如图把 AEF、ABC分别扩充图1成菱形AEFG正方形ABCD同样，菱形AEFG在底面上的射影为正方形ABCD同上也可求出正确答案。注：面积射影法对这种“无棱二面角”比较方便。二、三垂线定理法如图3,设锐二面角I ，过面PB内一点P作PA丄 于A,作AB丄I于B,连接PB,由三垂线定理得丄I,则/ PBA为二面角I的平面角，故称此法为三垂线法.解：如图4,延长CB FE交与G点,连接AG则平面AEF 平面ABC AG因为：EB 平面ABC所以：过B点作BM AG于M连接EM由三垂线定理可知:EM AG。故 EMB 为图4面AEF与面ABC所成

4、的二面角的平面角。1 设 AB 3, EB / FC,EB -FC ,BG 3，在直角等腰三角形ABG中，由B为CG中点BM AG 知tan EMB MB1里3/23三、垂面法如图5,作平面垂直于二面角I 的棱I，分别交二面角的两个面于射线PA、PBo根据平面角的定义可知,APB就是二面角I的平面角。这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法 解：如图6,延长CB FE交与G点，连接AG 则平面AEF 平面ABC AG易证AG 平面ACC1 A,且平面ACC1A1与面AEF与面ABC的交线分别为AE AC所以FAC就是面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。同样，在直角 FAC中，可求

5、得图6tan FAC 返3四、定义法此方法的关键是在二面角的棱上找到一点， 过这点分别在两个面内作棱的垂线得平面角。此法中，点的选取很关键，便于后续计算。 例2. (2011年全国新课标理18)如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为平行四边形，dab 60AB 2AD , PD底面ABCD(I)证明：PABD ；(II) 若 PD=AD, 的余弦值.求二面角A-PB-CC解:(I)因为dab 60, AB 2AD，由余弦定理得BD >/3ad从而 BD2 AD2 AB2,故 BD AD又PD 底面ABCD可得BD PD所以BD 平面PAD.故PA BD(n)如图，过 A作AE PB于

6、E,过E作EF / BC 交PC于F,连接AF由(I)知，CB 平面 P DB, CB P B, FE PB 故/AEF是二面角A-PB-C的平面角。作FG DC于G点，连接AG设PD = AD=1，通过计算可得:AE4，af7 丄 37所以 cos AEF 4162旦124即二面角A-PB-C的余弦值为27o7五、求部分法当一个二面角被过棱的一个半平面分 成两个二面角时，可分别求出两个二面 角，再求和。特别地，当其中一个二面 角的大小已知时，问题将更加简便。解：如图，二面角A PB C被平面PBD分成二面角A PB D和D PB C由(I)知：CB平面PBD所以，平面CPB 平面DPBC故二

7、面角D PB C是直二面角，其大小为-2下求二面角A PB D的大小因为AD 平面PBD，过A作AQ PB于Q点，连接DQ,由三垂线定理法可知,AQD为二面角A PB D的平面角。同上求得sin AQD2厅予，所以二面角A PB C的余弦值为:cos( AQD-)sin AQD 站2DA为X轴的正半轴建立六、平面法向量法(U)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线空间直角坐标系D-xyz，则P 0,0,1A 1,0,0 B 0,73,0C1,73,0uuvuuv ULVAB ( 1j3,0), PB (0/3, 1),BC设平面PAB的法向量为n= (X，4>/3y 0z 01,0,0)UUU