char2-2函数的极限ppt课件

1、第二章 极限2 函数极限函数极限 2.1自变量趋向有限值时函数的极限;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程程度度接接近近体体现现xx 定定义义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有时时使使当当1、定义：、定义：2.几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo例例2).( ,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 例例3.lim00 xxxx 证证明明例例3.lim00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 任给任给,min00 xx取取,00时时当当 xx00

2、xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx .00且不取负值且不取负值只要只要 xxx.lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明3.单侧极限单侧极限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近; 00 xx记记作作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近; 00 xx记记作作yox1xy 112 xyv单侧极限e 0 d 0 当x0dxx0 有|f(x)A|0 d 0 当 0|x-x0|d 有|f(x)-A|e0limxxf(x)A 或 f(x)A(xx0)。 若当xx0-时 f(x)无限接

3、近于某常数A 则常数A叫做函数f(x)当xx0时的左极限 记为 Axfxx)(lim0或f(x0)=A . Axfxx)(lim0Axfxx)(lim0Axfxx)(lim0且Axfxx)(lim0 .)0()0()(lim000AxfxfAxfxx 或或.lim0不不存存在在验验证证xxx例例7yx11 o.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx播放播放2.2 自变量趋向无穷大时函数的极限定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在着正数总存在着正数X, ,使得对于适合不等式使得对于适合不等式Xx 的一切的一

4、切x, ,所对应的函数值所对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 Axf)(, ,那末常数那末常数A就叫函数就叫函数)(xf当当 x时的极限时的极限, ,记作记作)()()(lim xAxfAxfx当当或或定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim1、定义：、定义：:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当:.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当Axfx )(lim2、另两种情形、另两种情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且x

5、xysin 3、几何解释、几何解释: X XA2.3 函数极限的性质1.有界性有界性定定理理 若若在在某某个个过过程程下下, ,)(xf有有极极限限, ,则则存存在在过过程程的的一一个个时时刻刻, ,在在此此时时刻刻以以后后)(xf有有界界. .2.唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf存存在在,则则极极限限唯唯一一.).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若定理定理1(1(保号性保号性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若定理定理23.

6、不等式性质不等式性质推论推论).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有则则且且设设推论推论.),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 则则有有若若设设 4.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系) .)(),(,),(),(,)(.),(),(21000时时的的子子列列当当为为函函数数即即则则称称数数列列时时使使得得有有数数列列中中或或可可以以是是设设在在过过程程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定义定义.)(lim,)()(,)(

7、limAxfaxxfxfAxfnnnax 则则有有时时的的一一个个子子列列当当是是数数列列若若定理定理例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .xy1sin 例例7.1sinlim0不不存存在在证证明明xx(1) 定义定义:定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数

8、总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 )(xf, ,那末那末 称函数称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, ,记作记作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或极限为零的变量称为无穷小极限为零的变量称为无穷小.2.4 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量1. 无穷小无穷小例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx, 01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当

9、当函函数数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意（1无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（2零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.(2) 无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx )(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 定定理理 1 1 ),

10、()()(lim0 xAxfAxfxx 其其中中)(x 是是当当0 xx 时时的的无无穷穷小小.(3) 无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也

11、是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.(4) 无穷小的比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢程度不快慢程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在观察各极限观察各极限型）型）（00；记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果)(,0lim)1( o定义定义: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程

12、中的两个无设设;, 0lim)3(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 C;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地，低低阶阶的的无无穷穷小小是是比比，就就说说如如果果 lim)(两个重要极限式两个重要极限式., 0, 0lim)4(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCk ，1sinlim0 xxx).0(sinxxx即即例例1 1.sintan,0:的三阶无穷小的三阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的三阶无穷小

13、的三阶无穷小为为xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 例例解解)1ln(lim1lim00uuxeuxx .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有时时则则当当uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 . 1),1ln(0 xexxxx时时，即即，当当(5) 等价无穷小代换定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ).limlim,lim, 则则存存在在且且设设例例.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当2202

14、1)2(limxxx 原式原式. 8 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换. .注意注意例例.arcsinsin)1(lim0 xxxx 求求例例.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0

15、 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 2. 无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.tanlim02 xx 例例.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 3. 无穷小与无穷大的关系 11lim21xx定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为

16、零的无穷小的倒数为无穷大. .2.5 极限运算法则定理定理. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 2求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求Ex:Ex:.147532lim2323 xxxxx

17、求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小因子分出法无穷小因子分出法)一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则准准则则 如如果果数数列列nnyx ,及及nz满满足足下下列列条条件件: :,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那那末末数数列列nx的的极极限限存存在在, , 且且axnn lim. .2.6 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限准则

18、准则 如果当如果当)(00 xUx ( (或或Mx ) )时时, ,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末那末)(lim)(0 xfxxx 存在存在, , 且等于且等于A. .原则原则 和准则和准则 称为夹逼准则称为夹逼准则.x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准则单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(lim定义定义ennn )11(lim等价无穷小等价无穷小.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时时的的变变化