高中数学课件_第二章_《_第3节函数的单调性》

1、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义意义增函数增函数减函数减函数定定义义一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.如果对于定义域如果对于定义域I内某个区间内某个区间D上的任意两个自变量上的任意两个自变量x1，x2，当当x1x2时，都时，都有有 ，那么就说函，那么就说函数数f(x)在区间在区间D上是增函数上是增函数当当x1x2时，都时，都有有 ，那么就，那么就说函数说函数f(x)在区间在区间D上上是减函数是减函数f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)1.单调函数的定义单调函数的定义增函数增函数减函数减函数图图象象描描述述自左向右

2、看图象是自左向右看图象是 自左向右看图象是自左向右看图象是上升的上升的逐渐逐渐逐渐下降的逐渐下降的思考探究思考探究如图所示函数如图所示函数f(x)的图象，则函数的图象，则函数f(x)的单调增区间是的单调增区间是(，0(0，)吗？吗？提示：提示：不是，其单调增区间为不是，其单调增区间为(，0和和(0，)2.单调区间的定义单调区间的定义 若函数若函数yf(x)在区间在区间D上是上是 或或 ，则称函数，则称函数 f(x)在这一区间上具有在这一区间上具有(严格的严格的)单调性，单调性， 叫做叫做yf(x) 的单调区间的单调区间.增函数增函数减函数减函数区间区间D3.最值的定义最值的定义1.下列函数中，

3、在区间下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是上为增函数的是 () A.yx1B.y C.yx24x5 D.y解析：解析：函数函数y 的单调增区间为的单调增区间为0，)，函数函数y 在在(0,2)上为增函数上为增函数.答案：答案：B2.函数函数y(2k1)xb在在(，)上是减函数，则上是减函数，则 () A.k B.k C.k D.k解析：解析：函数函数y(2k1)xb在在(，)上是减数，上是减数，2k10，k .答案：答案：D3.若函数若函数yax与与y (0，)上都是减函数，则上都是减函数，则yax2 bx在在(0，)上是上是 () A.增函数增函数 B.减函数减函数 C.先增后减先增后

4、减 D.先减后增先减后增解析：解析：函数函数yax与与y 在在(0，)上都是减函数，上都是减函数，a0，b0，函数函数yax2bx的图象的对称轴为的图象的对称轴为x 0，函数函数yax2bx在在(0，)是减函数是减函数.答案：答案：B4.如果函数如果函数f(x)在在a，b上是增函数，对于任意的上是增函数，对于任意的x1、x2a， b(x1x2)，下列结论中正确的有，下列结论中正确的有. 0； (x1x2)f(x1)f(x2)0； f(a)f(x1)f(x2)f(b)； 0.解析：解析：f(x)在在a，b上为增函数上为增函数.x1x2与与f(x1)f(x2)的符号相同的符号相同.均正确均正确.又

5、又不知道不知道x1，x2的大小，的大小，无法比较无法比较f(x1)与与f(x2)的大小，的大小，故错误故错误.答案：答案：5.已知函数已知函数f(x)2ax24(a3)x5在区间在区间(，3)上是减上是减 函数，则函数，则a的取值范围是的取值范围是.解析：解析：当当a0时，时，f(x)12x5，在，在(，3)上为减上为减函数；当函数；当a0时，要使时，要使f(x)2ax24(a3)x5在区间在区间(，3)上是减函数，则对称轴上是减函数，则对称轴x 必在必在x3的右的右边，即边，即 3，故，故0a ；当；当a0时，不可能在区时，不可能在区间间(，3)上恒为减函数上恒为减函数.综合知：综合知：a的

6、取值范围是的取值范围是0， .答案：答案：0， 1.用定义证明函数单调性的一般步骤用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且是该区间内的任意两个值，且x1x2.(2)作差：即作差：即f(x2)f(x1)(或或f(x1)f(x2)，并通过通分、配方、，并通过通分、配方、 因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.(3)定号：根据给定的区间和定号：根据给定的区间和x2x1的符号，确定差的符号，确定差f(x2) f(x1)(或或f(x1)f(x2)的符号的符号.当符号不确定时，可以进行分当符号不确定

7、时，可以进行分 类讨论类讨论.(4)判断：根据定义得出结论判断：根据定义得出结论.2.(1)若若f(x)与与g(x)在定义域内均是增函数在定义域内均是增函数(减函数减函数)，那么，那么f(x) g(x)在其公共定义域内是增函数在其公共定义域内是增函数(减函数减函数). (2)复合函数的单调性判断，要注意掌握复合函数的单调性判断，要注意掌握“同则增，异则减同则增，异则减”. 讨论函数讨论函数f(x) (a0)的单调性的单调性.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记f(x) ，函数的定义域为函数的定义域为x|xR且且x1.法一：法一：(定义法定义法)任取任取x1，x2R，且，且x1，x2均不为均不为1，

8、x1x2，则则f(x1)f(x2)(a )(a ) .设设x1x21，x110，x210，x2x10，a0，f(x1)f(x2)0，即，即f(x1)f(x2).设设1x1x2，x210，x110，x2x10，a0，f(x1)f(x2)0，即，即f(x1)f(x2).函数函数f(x)在在(，1)和和(1，)上均为减函数上均为减函数.法二：法二：(导数法导数法)f(x) ，又又a0，f(x)0在在(，1)(1，)上恒成立，即函数上恒成立，即函数f(x)在在(，1)和和(1，)上均为减函数上均为减函数.法三：法三：(图象法图象法)由由f(x)a 可可知其图象对称中心是知其图象对称中心是(1，a)，x

9、1，ya是它的两条渐近线，故其图象如是它的两条渐近线，故其图象如图所示，图所示，f(x)在在(，1)和和(1，)上均为上均为减函数减函数.讨论函数讨论函数f(x) (a0，1x1)的单调性的单调性.解：解：设设1x1x21，则则f(x1)f(x2) .1x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10， 10， 10，|x1x2|1，即即1x1x21，x1x210. 0.因此，当因此，当a0时，时，f(x1)f(x2)0.即即f(x1)f(x2)，此时函数，此时函数f(x)在在(1,1)上为减函数；上为减函数；当当a0时，时，f(x1)f(x2)0，即即f(x1)f(x2)，此时函数，此时函数f

10、(x)在在(1,1)上为增函数上为增函数.1.求函数的单调区间求函数的单调区间(1)利用已知函数的单调性利用已知函数的单调性.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：如果图象法：如果f(x)是以图象给出的，或者是以图象给出的，或者f(x)的图象易作出的图象易作出 可直接由图象的直观性写出它的单调区间可直接由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间.2.求复合函数求复合函数yfg(x)的单调区间的步骤的单调区间的步骤(1)确定定义域确定定义域.(2)将

11、复合函数分解成基本初等函数：将复合函数分解成基本初等函数：yf(u)，ug(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增或同减，则若这两个函数同增或同减，则yfg(x)为增函数；为增函数； 若一增一减，则若一增一减，则yfg(x)为减函数，即为减函数，即“同增异减同增异减”. 求下列函数的单调区间求下列函数的单调区间(1)f(x)x24|x|3；(2)f(x) .思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)f(x)x24|x|3 于是可得函数于是可得函数f(x)x24|x|3的图象，如图所示的图象，如图所示.由图可知，函数的增区间为由图可知，函数的增区

12、间为2,0)，(2，)，减区间为减区间为(，2)，0,2).(2)y ，该函数的定义域为该函数的定义域为(，11，).又又y 可看作是由可看作是由y 与与ux21两个函数复合而成的，两个函数复合而成的，且且y 在在u0，)上为增函数，上为增函数，而而ux21在在(，1上为减函数且上为减函数且u0，在在1，)上为增函数且上为增函数且u0.当当x(，1时，时，y 为减函数，为减函数，当当x1，)时，时，y 为增函数为增函数. 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任

13、意x1，x2在所在所给区间内比较给区间内比较f(x1)f(x2)与与0的大小，或的大小，或 与与1的大小的大小.有时根据需要，需作适当的变形：如有时根据需要，需作适当的变形：如x1x2 或或x1x2x1x2等等. 已知函数已知函数f(x)对于任意对于任意x，yR，总有，总有f(x)f(y)f(xy)，且当，且当x0时，时，f(x)0，f(1) . (1)求证：求证：f(x)在在R 上是减函数；上是减函数；(2)求求f(x)在在3,3上的最大值和最小值上的最大值和最小值.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)法一：法一：函数函数f(x)对于任意对于任意x，yR总有总有f(x)f(y)f(xy)，

14、令令xy0，得，得f(0)0.再令再令yx，得，得f(x)f(x).在在R上任取上任取x1x2，则，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2).又又x0时，时，f(x)0，而，而x1x20，f(x1x2)0，即即f(x1)f(x2).因此因此f(x)在在R上是减函数上是减函数.法二：法二：设设x1x2，则则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2).又又x0时，时，f(x)0.而而x1x20，f(x1x2)0，即即f(x1)f(x2)，f(x)在在R上为减函数上为减函数.(2)f(x)在在R上是减函数，上是减函数，

15、f(x)在在3,3上也是减函数，上也是减函数，f(x)在在3,3上的最大值和最小值分别为上的最大值和最小值分别为f(3)与与f(3).而而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在在3,3上的最大值为上的最大值为2，最小值为，最小值为2. 高考对函数单调性的考查方式灵活，既有函数高考对函数单调性的考查方式灵活，既有函数单调性的判定、单调区间的求法，又有利用函数单单调性的判定、单调区间的求法，又有利用函数单调性解不等式、比较大小、求最值等调性解不等式、比较大小、求最值等.而抽象函数的而抽象函数的单调性问题脱离了特殊的函数模型的实际背景，单调性问题脱离了特殊的函数模型的实际背景，由一个抽

16、象的代数公式诠释一个具有深远意义由一个抽象的代数公式诠释一个具有深远意义的函数性质，从近几年高考看，抽象函数与函的函数性质，从近几年高考看，抽象函数与函数的单调性相结合求参数的取值范围或求自变数的单调性相结合求参数的取值范围或求自变量量x的取值范围成为高考命题的一个新考向的取值范围成为高考命题的一个新考向.考题印证考题印证 (2009辽宁高考辽宁高考)已知偶函数已知偶函数f(x)在区间在区间0，)单调增加，单调增加，则满足则满足f(2x1)f( )的的x取值范围是取值范围是 () A.( ， ) B. ， ) C.( ， ) D. ， )【解析解析】f(x)是偶函数，其图象关于是偶函数，其图象关于y轴对称，轴对称，又又f(x)在在0，)上递增，上递增，f(2x1)f( )|2x1| x .【答案答案】A 自主体验自主体验 函数函数f(x)在在R上是增函数，且对任意上是增函数，且对任意a，bR，都有，都有f(ab)f(a)f(b)1，若，若f(4)5，则不等式，则不等式f(3m2m2)3的解的解集为集为.答案：答案：(1， )解析：解析：f(4)f(22)f(2)f(2)15，f(2)3，原不等式可化为原不等式可化为f(3m