空间向量与立体几何之夹角的计算课件

1、空间向量与立体几何之夹角的计算空间向量与立体几何之夹角的计算1. 直线间的夹角直线间的夹角 1210,2ll当两条直线 与 共面时，我们把两条直线交角中， 范围在内的角叫作两直线的夹角.1l2lABC空间向量与立体几何之夹角的计算 12121122AAB/ABlllllll当直线 与 是异面直线时，在直线 上任取一点 作，我们把直线 和直线的夹角叫作异面 直线 与 的夹角.1lABC2l空间向量与立体几何之夹角的计算lamlamb coscos,=此时：a ba ba b 空间直线由一点和一个方向确定，所以空间直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定.lmab ，设直线的方向向量分别为，若两直线的

2、夹角为 0,=,2a ba b 1 当时， ,=,2a ba b 2 当时，b coscos-,=cos,=此时：a ba ba ba b cos=a ba b 空间向量与立体几何之夹角的计算空间向量与立体几何之夹角的计算练习一：练习一：P45 1112lsls 2已知直线 的方向向量为 =(1,-1,1)，直线 的方向向量为 =(-1,2,0)，求两条直线夹角的余弦值空间向量与立体几何之夹角的计算2. 平面间的夹角平面间的夹角OEFAB从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角定义：作二面角。以二面角棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成二面角的的角叫作

3、平面角.0二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的度数就是我们规定二面角大小的范围二面角的度为数，。空间向量与立体几何之夹角的计算0,0,2在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在内的角为这两个平面的夹角。 平面间夹角的范围：平面间夹角的范围：0,2空间向量与立体几何之夹角的计算uv和和设平面的法向量分别为，若两个平面的夹角为 ，则 0,2u v 1 当时， u v coscos,=此时：u vu vu v 注意法向量的方向：一进一出，两平面的夹角等于法向量夹角注意法向量的方向：一进一出，两平面的夹角等于法向量夹角=, u v ，空间向量与立体几何之夹角的计算 ,2u v 2 当时， cos

4、cos-,=cos,=此时：u vu vu vu v u v 注意法向量的方向：同进同出，两平面的夹角等于注意法向量的方向：同进同出，两平面的夹角等于法向量夹角的补角法向量夹角的补角=,u v 空间向量与立体几何之夹角的计算uv和和设平面的法向量分别为，若两夹角平面的为个，则 0,=,2u vu v 1 当时，coscos,=此时：u vu vu v ,=,2u vu v 2 当时， coscos-,=cos,=此时：u vu vu vu v |cos|u vuv 综上：小结：小结：空间向量与立体几何之夹角的计算空间向量与立体几何之夹角的计算空间向量与立体几何之夹角的计算练习二：练习二：P45

5、 2112nn 2已知平面 的法向量为 =(1,2,3)，平面的法向量为=(-1,0,2)，求两个平面夹角的余弦值空间向量与立体几何之夹角的计算3. 直线与平面的夹角直线与平面的夹角平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角. 01 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们 规定这条直线与此平面的夹角为 . 22如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直 线与此平面的夹角为.ABC02，空间向量与立体几何之夹角的计算 ula 02ulal 设平面 的法向量分别为 ，直线 的方向向量为若直线 与平面 的夹,夹角，角为为，则 0,2u a 1 当时，sinsin,2此时：u

6、 a =cos,u au au a =,2u a ，空间向量与立体几何之夹角的计算 ula ,2u a 2 当时，sinsin,2此时：u a =cos,u au au a =,2u a ，空间向量与立体几何之夹角的计算 0,=,22u au a 1 当时，sinsin,2此时：u a =cos,u au au a ,=,22u au a 2 当时，sinsin,2此时：u a =cos,u au au a sin综上：u au a 小结：小结：02ulal 设平面 的法向量分别为 ，直线 的方向向量为若直线 与平面 的夹,夹角，角为为，则空间向量与立体几何之夹角的计算空间向量与立体几何之夹角

7、的计算空间向量与立体几何之夹角的计算空间向量与立体几何之夹角的计算练习三：练习三：P461-3lsn已知直线 的方向向量为 =(-1,1,1)，平面 的法向量为 =( ,2, )，求直线与平面夹角的余弦值空间向量与立体几何之夹角的计算总总 结结空间向量与立体几何之夹角的计算空间向量与立体几何之夹角的计算作业：作业：P47 1，2，3，4，5 空间向量与立体几何之夹角的计算空间向量与立体几何之夹角的计算复复 习习空间向量与立体几何之夹角的计算空间向量与立体几何之夹角的计算作业讲解作业讲解空间向量与立体几何之夹角的计算空间向量与立体几何之夹角的计算正弦值正弦值正正 弦弦 值值空间向量与立体几何之夹

8、角的计算空间向量与立体几何之夹角的计算习题习题1090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111ABCA B C平面的法向量平移到位置，已知1111111BCCACCABACDF，取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F巩固习题巩固习题空间向量与立体几何之夹角的计算xyz解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则： Cxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD

9、 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F11304.105342所以 与 所成角的余弦值为1BD1AF3010空间向量与立体几何之夹角的计算习题习题2 正三棱柱正三棱柱 中，中，D是是AC的中的中点，当点，当 时，求时，求的余弦值。的余弦值。111CBAABC 11BCAB11DBCCBC平面与平面夹角CADBC1B1A1空间向量与立体几何之夹角的计算)0,21,23(aaA)0 ,0(aB)0 ,41,43(aaD), 0 , 0(1bC),0(1baB 解：如图，以解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面。设

10、底面三角形的边长为三角形的边长为a，侧棱长为，侧棱长为b,则则 C(0,0,0)故),21,23(1baaAB), 0(1baBC11,ABBC2211102AB BCab 22ba则可设 =1， ，则B(0,1,0) a22byxzCADBC1B1A1)0 ,41,43(D)22, 0 , 0(1C) 0 ,43,43(DB)22,41,43(1DC空间向量与立体几何之夹角的计算可取可取 (1,0,0)为面为面 的法向量的法向量 BCC1n) 0 ,43,43(DB)22,41,43(1DC 在坐标平面在坐标平面yoz中中 1CC ByxzCADBC1B1A1设面设面 的一个法向量为的一个法向量为 BDC1),(zyxm 由由 得得mDBmDC,113120,442CD mxyz 04343yxmDB解得解得 zyx263 所以，可取所以，可取 )6, 3, 3(m co