带关闭和启动期的休假可中止的M-M-1工作休假排队

1、带关闭和启动期休假可中止的M/M/1工作休假排队潘小春，朱翼隽（江苏大学 理学院,江苏 镇江 212013）摘要: 考虑带关闭和启动期的休假可中止的M/M/1单重工作休假排队.服务员在休假期间并未完全停止工作而是以较低的速率为顾客服务.同时,引入一种新的策略:如果在工作休假期间,顾客数达到一定的数量,服务员可中止工作休假而转入正规忙期.这种休假策略称为休假可中止.运用拟生灭过程和矩阵几何解方法给出了该模型的稳态队长的分布和逗留时间的LST,并证明了队长和逗留时间的随机分解结构.关键词: 工作休假;休假可中止;关闭和启动期;拟生灭过程;矩阵几何解中图分类号:O226 文献标识码: AThe M/

2、M/1 Queue with Close-down and Set-up period and Single-working Vacation and Vacation interruptionLIU Hai-yan, ZHU Yi-jun,WANG Feng-jia(Faculty of science ,Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China)Abstract: Considering an M/M/1 queue with close-down and set-up period and single-working vacation an

3、d vacation interruption. The server works at a lower rate during the working vacation rather than stops working. Meanwhile, a new policy is introduced: the server can come back from the vacation to the normal working level once some indices of the system, such as the number of customers , add to a c

4、ertain value in the vacation period. The server may come back from the vacation without completing the vacation. Using quasi-birth-death process and matrix-geometric solution method, the steady-state distributions for queue size and the LST of sojourn time are obtained. Additionally, the structure o

5、f stochastic decomposition of the queue size and the sojourn time are proved.Key words: working vacation; vacation interruption; close-down and set-up period; quasi birth and death process; matrix-geometric solution. 1 引言工作休假是一种半休假策略，它是由Servi和Finn（2002）引进的：在休假期间内服务员不是完全停止为顾客服务而是以低速服务，称这样的休假策略称为工作休假。

6、Servi和Finn1研究了多重工作休假的M/M/1排队，得到了系统中顾客数分布的PGF和逗留时间的LST，并且把结果用于光纤通信网络的网关路由器的性能分析中。在工作休假之后的一个新热点是休假可中止的工作休假。文献2-5分别研究了M/M/1、M/G/1、GI/M/1、GI/Geom/1休假可中止的多重工作休假排队。2009年汪文飞6利用分块矩阵表示出嵌入马尔可夫链的转移矩阵，运用矩阵几何解的方法求得到达时刻队长的稳态分布，而且证明了其可以分解为三个独立随机变量的分布的和。_收稿日期:2011-基金项目: 国家自然科学基金资助项目(70571030,10571076）作者简介:潘小春（1984-

7、),男,硕士研究生.研究方向:排队论. Email:379089774朱翼隽(1945-),男,安徽歙县人,教授,博士生导师.研究方向:排队论和随机网络. Email:yjzhu文献7通过应用矩阵几何解的方法得到了稳态队长和逗留时间的分布，而且给出的特例验证了推导的正确性。本文在文献7基础上把工作休假扩展为休假可中止的工作休假，如果休假期间的服务速率退化为零,就得到经典的带关闭和启动期的M/M/1的单重休假排队例如在火车站的售票过程中，即使在节假日也要留有一定的售票员待岗。如果是重要节日如春节、国庆节，那么购票的人就相当多，这时为了保证乘客的需求，就有必要引入自动售票服务系统来提高工作效率，这

8、就是说售票员是以（人工）休假服务速率服务完一个乘客后，他发现排队等待的人太多，他就会启动自动售票系统以更高的服务速率售票。可见休假可中止考虑了这一客观事实因此所讨论的模型具有很强的实际意义2 模型描述带关闭和启动期的休假可中止的M/M/1工作休假排队描述如下：顾客到达间隔、正规忙期服务时间、工作休假服务时间、工作休假时间和启动时间分别服从参数为的指数分布，系统中只有一个服务台。有两种可能的方式从工作休假转入正规忙期:（1）工作休假期内以速率完成一个服务,并且系统中有顾客等待,则中止正在进行的工作休假转入正规忙期,若服务完成时系统中无顾客,则关闭系统.新到达的顾客不能立即接受服务,而是需经历一个

9、启动期,启动期结束后进入一个正规忙期以速率接受服务,正规忙期结束后进入工作休假.（2）若某次工作休假结束时系统内有顾客在场,正在进行的服务速率由转换到,开始一个正规忙期;一次工作休假结束时系统内无顾客,也关闭系统,新到达的顾客也必须经历一个启动期,启动期结束后进入正规忙期接受服务,一个正规忙期结束后进入工作休假.称这样的休假机制为休假可中止的工作休假策略。假定到达间隔、正规忙期的服务时间、工作休假期的服务时间、工作休假时间和启动时间是相互独立的,服务规则是FIFO设表示时刻t系统中的顾客数, 表示系统在时刻t所处的状态定义则是具有状态空间的马尔可夫过程。其中状态表示系统处于工作休假期且系统中有

10、个顾客;状态表示系统处于启动期且系统中有个顾客; 状态表示系统处于关闭期;表示系统处于正规忙期且系统中有个顾客将状态按字典序排列, 过程的生成元矩阵可写成其中由的形式知, 为拟生灭过程,在此模型中,矩阵方程 （1）的最小非负解起着重要作用,称为率阵。定理 1 当矩阵方程（1）有最小非负解 （2）其中证明 由于均为上三角阵,那么也是上三角的,即将代入（1）式,得到下述方程组 （3）为了得到（1）式的最小非负解，在（3）式的第6个方程中，我们取（另一根为1），在第1个方程中，得到，由第2个方程，将它们代入第3个方程，得到，由第4个方程得到，将、代入第5个方程，得到。定理 2 QBD过程正常返当且仅

11、当.证明 根据Neuts8中的定理3.1.1. QBD过程正常返当且仅当的谱半径且方程组有正解这里 （4）显然是不可约，非周期，有限状态的生成元。因此有正解，所以正常返当且仅当。注意到且,上述关系意味着3 稳态队长分布当时,设为拟生灭过程的稳态极限,平稳分布记为定理3 当时, 的联合概率分布为 （5）这里证明 用矩阵几何解方法8， （6）且 把（4）式中的代入上述方程中,得到方程组取,且把和代入（6）,得到（5）。最后,常数因子由正规化条件确定。同时，由（5）式可知,稳态下系统处于四种状态的概率分别为服务员处于关闭期服务员处于启动期4 队长和逗留时间的随机分解结构定理 4 当,系统中的顾客数可

12、分解成两个独立的随机变量之和,其中是经典无休假的M/M/1排队中稳态下的稳态队长且服从参数为的几何分布,由单重休假可中止的工作休假引起的附加队长服从修正的几何分布 (7)其中证明 由（5）式知, 的概率母函数可写成可以证明。因此，确是一个PGF.把展成的幂级数，我们得到附加顾客数的分布，最后我们给出（7）式。注1 定理4的结果表明附加队长可写成四个随机变量的混合：，其中在集合上分别服从参数为和的几何分布。由定理4中的分解结构,我们有下列均值公式定理 5 当,逗留时间可分解成两个独立随机变量之和: ,是对应无休假M/M/1排队系统中的稳态逗留时间,服从参数的指数分布；附加延迟有修正的指数分布，其

13、LST为其中证明 系统中的顾客数的PGF与逗留时间的LST之间的经典关系9由定理4，系统中的顾客数的PGF如下所示： （8）在（8）中取，记，注意到把上述结果代入（8）式，我们有容易验证，因此，是一个LST，定理5得证。由容易得到注2 从上面的等式知，我们发现Little公式在带关闭和启动期的休假可中止的M/M/1工作休假排队仍然成立。5 数值例子在上面的分析中，我们得到了稳态下平均队长与逗留时间的表达式下面我们将通过四个图来考察平均队长与平均逗留时间随工作休假服务率和启动率的变化趋势参考文献:1 Servi L D,Finn S GM/M/1 queue ith working vacati

14、ons(M/M/1/WV)J.Perform.Evaluation.2002,50: 41-52. 2 Jihong LI.Naishuo TIAN. THE M/M/1 QUEUE WITH WORKING VACATIONS AND VACATION INTERRUPTIONSJ. Syst Sci Syst Eng,2007.16(1):121-1273 朱翼隽.石秀闯.ZHU Yi-jun.SHI Xiu-chuang.M/G/1 工作休假和休假中止排队J.运筹与管理,2008,17(4):67-71.4 Ji-Hong Li,Nai-Shuo Tian,Zhan-You Ma.Per

15、fomance analysis of GI/M/1 queue with working vacations and vacation interruptionJ.Applied Mathematical Modeling 32(2008):2715-27305 Li J, Tian N. The discrete-time GI/Geom/1 queue with working vacations and vacation interruption. Applied Mathematic and Computer,2007,185(1):1-106 汪文飞,李俊平.带单重指数工作休假和休假中断的GI/M/1的排队系统.2009,29（3）：94-97.7 徐秀丽,高红,田乃硕.带启动时间和可变服务率的M/M/1休假排队的分析J.应用数学学报,2