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1、目录 上页 下页 返回 结束 第五节-函数 第五章 -函数的定义及性质目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 函数的定义与性质函数的定义与性质1. 定义定义:函数.0s)0(de)(01sxxsxs)(的广义积分含参变量s注意此函数的定义域是01dxexxs101dxexxs11dxexxs第二个是无穷限广义积分。第一个是无界函数广义积分， 时，当1s.0为瑕点x时，可以验证0s原积分收敛； 时，当0s原积分发散. .0s函数的定义域为所以目录 上页 下页 返回 结束 2. 性质性质(1) 递推公式)0()() 1(ssss证证: 0de) 1(xxsxs(分部积分)0dexsx01dee0

2、xxsxxsxs)(ss)0(de)(01sxxsxs注意到:0de) 1 (xx1有,Nn) 1( n) 1() 1(nnn) 1 (!n)(nn! n0ex目录 上页 下页 返回 结束 (2) 余元公式: ) 10()sin()1 ()(ssss有时当,21s,)(21dxex02由此又可得 )(21则令,xt )(21,021dxexxdtet022)(2121dxex02于是.2tdtett2012)0(de)(01sxxsxs.2目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 1. .函数计算积分利用02d) 1 (21xxex解解:,2xt 令那么xenxd)2(0(1)02d21xxex

3、 02d2121tett0d4221tett2342218282,nxt 令那么(2)01d11tetntnxenxd0nn11)0(de)(01sxxsxs)() 1(sss,)(21目录 上页 下页 返回 结束 )21()3(n解解: 原式) 1(21121nn)() 1(sss) 1(21212nn)2(21221212nnn212123232212nnnn2!)!12()2(21232212nnn121232212nn23目录 上页 下页 返回 结束 补充补充1. 讨论广义积分讨论广义积分定理4 01dxexxs解解:的敛散性 . 01dxexxs101dxexxs11dxexxs第二个是无穷限广义积分。, 1lim110sxsxxex因为第一个是无界函数广义积分， 时，当1s.0为瑕点x1011011dxxdxxss故只需考虑，当11s时，即0s的敛散性 . 积分收敛. 时，当0s积分发散. 211limxexxsx因为xsxex1lim, 0所以第二个积分收敛.时，总之0s原积分收敛； 时，当0s原积分发散. 目录 上页 下页 返回 结束 (2)得令,2ux 的其他形式)(s)0(de)(01sxxsxs)0(de2)(0122suussu,12ts再令,21 ts即得应用中常见的积分0de2uuut这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,0d

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