中级数学选修2-2测试题Ⅰ

1、中级数学选修2-2测试题I单选题(共5道)1、用数学归纳法证明命题时，某命题左式为11 I I J-+-+-+ ，+2 3 4 7j'贝U n=k+1与n=k时相比，左边应添加的项为(2、若命题P (n)对n=k成立，则它对n=k+2也成立，又已知命题P (2)成立，则下列结论正确的是()AP (n)对所有自然数n都成立BP (n)对所有正偶数n成立CP (n)对所有正奇数n都成立DP (n)对所有大于1的自然数n成立3、函数 fl (x) =-, f2 (x)=:二,，fn+1 (x) =+：1* ,，则函数f2014 (x)是()A奇函数但不是偶函数B偶函数但不是奇函数C既是奇函数

2、又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数4、若 a1=12, a2=12+22+1Z ，an=12+22+ - +n2+22+12,在运用数学归纳法证明an=-n (2n2+1)时，第二步中从k到k+1应添加的项是()Ak2+1B (k2+1) 2C (k+1) 2+k2D (k+1) 2+2k25、函数y=x2cosx的导数为Ay' =2xcosx x2sinxBy' =2xcosx+x2sinxCy' =x2cosx 2xsinxDy' =xcosx x2sinx简答题(共5道)6、设函数/V卜3Vm'+O-加仃，a.bR , "Q , J工(

3、1)若曲线与*轴相切于异于原点的一点，且函数 f 的极小值 为,求明1ft的值；(2)若 且 11t ',n=1, 2, 3,。求证：口八皿；求证：/(*)在M1)上存在极值点. x(>7、数歹！J an满足 a1=1, a2=2, an+2= (1+cos2y) an+sin2 (1)求a3, a4并求数列an的通项公式；n6 时，|Sn2| 二。8、已知数列鼻，悬，,.S睥为其前n项和，求S、(2)设1=当，Sn=b1+b2+-+bn,证明：当 2 BiS二、S、S-推测S电公式，并用数学归纳法证明9、求定积分.(1)匚？-S dx.(2)Jdx;(3)Jq (、ITh-I)

4、J-x) dx -10、问是否存在实数 a, b, c,使等式12+22+-+n2+ ( n-1 ) 2+- +22+12=填空题(共5道)JM 1 m n11、按万有引力定律，两质点间的吸引力F=k尸，k为常数，ml, m2为两质点的质量，r为两点间距离，若两质点起始距离为a,质点m1沿直线移动至 离m2的距离为b处(b> a),则克服吸引力所作之功为 .12、已知 F (x) =Jxl(2-1)dt,仅>0)则5' (x) =:13、(2015秋?南安市校级月考)曲线y=x2和直线x=0, x=1, y=所围成的图形的面积为由曲线y=x2 (x>0)和直线x=0,

5、 x=2, y=1所围成的15、/：/x+2|dx=1-答案：tc解：由题意，n=k时，最后一项为.,.由n=k变至ij n=k+1时，左边增加了2-答案：tc解：由于若命题P (n)对n=k成立，则它对n=k+2也成立. 又已知命题P (2)成立，可推出P (4)、P (6)、P (8)、P (10)、P (12)均成立，故选B.3-答案：tc解：当x<0时，fl(x) =7<0, f2(x) =777<0,，fn+1(x) =-7<0,，同理，x>0时，函数值均大于0, ；fn(x)不可能是偶函数，: fl(x) 1是奇函数，假设fk X(x)是奇函数，则fk

6、+1(-x)-一二一二，E=-fk+1(x),fk+1(x)是奇函数，从而fn(x)是奇函数，故选：A.4-答案：tc解：= ak=12+22+ +k2+22+12, ak+1=12+22+ +k2+( k+1) 2+k2+22+12, .在运用数学归纳法证明an=-n (2n2+1)时，第二步中从k到k+1应添加的项 是(k+1) 2+k2,故选：C.5-答案：A1-答案：(1)YT.(2) /C)在陋1)上是存在极值点试题分析：分析题意，可得该三次函数过原点，根据函数F 与x轴相切，所以有个极值为 0且有一个重根，故可得函数有一个极大值0和一个极小值，有一个重根, 则对，区因式分解会得到完

7、全平方式，即提取x的公因式后，剩下二次式的判 别3 = 0,得到a,b之间的关系式，再根据极小值为 ，则求导求出极小值点，得 到关于a,b的另外一个等式，即可求出a,b的值.(2)对，(邛求导，带入，八言 与已知条件 六士联立化简即可得到需要的不等式.求出尸JW, 讨论a的取值范围，证明尸了，其中必有两者异号，则根据零点存在定11 A I理，即可证明，国有极值点.试题解析：(1)言*+”当，依据题意得：/沙，且瞿一-仙.2分浙吟2,得xS 或如图，得/.右S , #+犷-¥, b=4a ,代入累宁得,4j7X(2)“幻=s'-g+ QYn) . #八*-皿制口 MjJ-E &

8、quot;，T+Pn*当 *口 +1Xifl +1($+)/ 314一卜一:；口，九8分/f(0) = l 2a ,，。)=1 一口中办.若(“；,则/'(0) =1 -2。D ,由知""" )口 ,盆Jfj+1L所以人工)在%”有零点，从而 八处在(0J)上存在极值 4口 +JII'点.10分若由知 “广又工'2 + 1门1一乃辛。7叫+U.g-鹏：”二11所以在飞山有零点，*1+工场(j( +2)xj'上口+从而/在1)上存在极值点.12分若0。，由知小寻i-。，1)=-1=巴尹等也，所以,，在有零点，从而/在1)上存 I第.+

9、*1工0 +1在极值点.综上知/(刈在也1)上是存在极值点.14分2-答案：解：(1)因为的L町工,所以叼=口十加支十/£=叼十二=2 £iuq一。+必力用附+如1%-四"一般地当a- - lcbf.)时,*i= 口十财$'吟声出t十与中= %zT即|*皿/1所以数列出_J是首项为1、公差为1的等差数列，因此如H=用当” W 此时，明-口+c。写跖十记尊所以数列是首项为2、公比为2的 U!百等比数列，因此叼儿二2工故数列&的通项公式为(2)由(1)知瓦=0&=57=十刍十福十十三，1*£：iM£»所以区=

10、87;白-之-2-学要证明当总之6时，氏/成立，只需证明当用36时， :成立当n=6时，上炉二署二六成立假设当卜=用“)时不等式成立， 即则当n=k+1时，一声L一二L"氐而'后五工交由所述，当n>6 时,同刃$F雪汉=吟乂业3也殴13M当n>6时丁2 挑上+打 解14就3-答案：S = q, &=g，S=奈，S二=。证明见解析根据已知条件先求解前几项，然后归纳猜想得到结论，并运用数学归纳法分为两步骤来进行， 注意要用到假设以及n=k,n=k+1之间的变化的综合运用。解：S = S ，S =49，S-M猜测S尸爸'(nCN)当n=1时，等式显然成立

11、；假设当n = k时等式成立，即：S.=二：当 n=k41 时 S =S 心7二火 + 口-1*n k+1 叮，SiS£ +：2<+l)= + GMT3卧小即n = k+1时等式也成立.二-Ul“一，7=G- -"7；T二日-"二:(ZJt + l - (2;t4 3r(2Jt+l)- - (2t4 3/铲综上，等式对任何nCN.都成立.4-答案：解：(1) ."=14-表示的曲线为以原点为圆心，半径为 2的上半 圆，根据定积分的几何意义可得f：=2dx=2 ; 2 1(2) ." = -表示的曲线为以原点为圆心,半径为 a的上半圆，根据

12、定 积分的几何意义可得/ JJ-dx=aTt ；(3) fi(JlHi-1 r-x) dx=J；JlT“l；'d-J；"j Jl-Li-l 1表示的曲线为以(1,0)为圆心，半径为1的上半圆，根据定积分的几何意义可得/JJi-tx-i rn r I,_】力 t Idx=一 , J xdx -L| , Jdx，j 0202(Jj.n-l A) dx4T.解：(1) .)= 口二表示的曲线为以原点为圆心，半径为 2的上半圆，根据 定积分的几何意义可得jJ7Zmdx=2几；(2)表示的曲线为以原点为圆心,半径为 a的上半圆，根据定积分的几何意义可得 H/2-fdx=a ;(3&qu

13、ot;(|l"l)?-x) dx=J：Jti声T 卜人.一 =八一.|心表示的曲线为 以(1,0)为圆心，半径为1的上半圆，根据定积分的几何意义可得Mui dx= , J 主 Jk 二-a'11 = -.J J(Ju ：-x) dx=-j.5-答案：解：假设存在 a、b、c 使 12+22+32+ -n2+ ( n-1 ) 2+- 22+12= 铲山川空门+f)对于一切nCN*都成立.当n=1时，a+b+c=3;当n=2时，8a+4b+2c=18; 当n=3时，9a+3b+c=19.解得a=2, b=0, c=1.证明如下：当n=1时，由以上 知存在常数a、b、c使等式成立.

14、假设n=k (kCN*)时等式成立，即 12+22+32+ k2+ (k-1 ) 2+22+12= k(2k2+1);当 n=k+1 时，12+22+32+ (k+1) 2+k2+ -22+12=ak (bk2+c) 4k (2k2+1) + (k+1) 2+k2=(k+1) 2 (k+1) 2+1.即 n=k+1 时，等式成立.因此存在 a=2, b=0, c=1, 使等式对一切nCN*都成立.解：假设存在a、b、c使12+22+32+ n2+ (n-1) 2+22+12=("3十"十门 对于一切 nCN*都成立.当 n=1 时，a+b+c=3;当 n=2 时，8a+4b

15、+2c=18;当 n=3 时，9a+3b+c=19.解得a=2, b=0, c=1.证明如下：当n=1时，由以上知存在 常数a、b、c使等式成立.假设n=k (kCN*)时等式成立，即12+22+32+-k2+ (k-1 )2+-22+124k(2k2+1);当 n=k+1 时，12+22+32+ (k+1)2+k2+ -22+12=ak(bk2+c) =-k (2k2+1) + (k+1) 2+k2=(k+1) 2 (k+1) 2+1.即 n=k+1 时，等式成立.因此存在 a=2, b=0, c=1, 使等式对一切nCN*都成立.1-答案： a b卜 ift tn yI j.| j解：克服吸引力所作之功为 W= *d门-上川I冉/TI '=用口切嗔-7）故答案为: a 二r u hr I】：A itt w j -> （）2-答案:F (x) =31(2-力)dt=(2t-2 广)1x】=2x-2 "GF' (x) =2-针故答案为：2-十3-答案：J4解：:曲线y=x2和直线：x=1的交点为（1, 1）,和直线y；的一个交点为IT j u，i、 十 一，、11-（5，） .,.曲线y=x2和直线x=0, x=1, y=r 所围成的图形的面积为S=2 o（卜'）dx+!”dx= （Jx-