中级数学选修2-1知识点汇总

1、中级数学选修2-1单选题(共5道)1、已知；=" T" r =(3, 4),则;在£方向上的投影是(A1B-1C2、D.11f函数f (x)的导函数f' (x)的图象如图所示，则f (x)的函数图象可能是(3、某汽车启动后的路程s与时间t的函数关系为s (t) =2t3-5t2+2其中的单位是米，t的单位是秒，那么汽车在2秒末的加速度是()A14m/s2B10m/s2C6m/s2D4m/s24、f (x)与g (x)是定义在R上的两个可导函数，若f (x), g (x)满足 f' (x) =g' ( x),贝U f (x)与 g (x)满足

2、()Af (x) =g (x)Bf (x) =g (x) =0Cf (x) -g (x)为常数函数Df (x) +g (x)为常数函数5、方程广+匚=1表示的图形是()I rl I clA 一条直线B两条平行线段C一个正方形D一个正方形(除去四个顶点)简答题(共5道)6、(本小题满分12分)已知函数,3- +曲铺lux (X>0 ,实数4，$为常数).(I)若口二1上二-1,求工)在九三1处的切线方程；(H)若口 = 一2 -5,讨论函数/(公的单调性.7、如图所示，四棱锥 P-ABCD, AB，AD CD!AD PZ底面 ABCDPA=AD=CD=2AB=2M为 PC的中点.(1)求证

3、：BM/平面PAD (2)在侧面PAD内找一点N,使MNL平面PBD(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦.8、设点P (x0, y0)在直线x=m (yw±nr| 0<mK 1)上，过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线PA PB,切点为A B,定点M(- , 0), 叫(1)求证：三点A、M B共线；(2)过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N,试求AAMN勺重心G所在曲线 方程。9、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC ,H必一时底面钻，且尸-=心as = 1 , AT是耳？的中点。(1)证明：面尸WD面户6 ；(2)求工。与PE所成的角;(3)求面ASfC

4、与面BHC所成二面角的余弦值.10、在如图所示的空间几何体中，平面ACD_¥面ABCAACD与4ACB是边长为2的等边三角形，BE=Z BE和平面ABCff成的角为60° ,且 点E在平面ABC上的射影落在/ ABC勺平分线上.(I)求证：DE/平面ABC(II)求二面角E-BC-A的余弦值.填空题(共5道)11、已知向量;二(1, 1,0),%=(-1, 0,2),且k7+"与互相垂直,12、若直线l与直线2x+5y-1=0垂直，则直线l的方向向量为13、已知正四棱锥P-ABCD勺高为4,侧棱与底面所成的角为60° ,则该正 四棱锥的侧面积是.14、如

5、图，在三棱柱瓯邛0 jc-5c-cc, ZJC9=90° ,l一平面4附7,则江：与平面.糖三斗所成角的大小为15、曲线y=2x-lnx在点(1 , 2)处的切线方程是()1-答案：tc» T解：由题意，=； = 1匚 4T7=3，川在/j1方向上的投影是:= =-1 I b 故选B2-答案：tc解：由图可得-1<f ' (x) <1,切线的斜率kC (-1, 1)且在R上切线的 斜率的变化先慢后快又变慢结合选项可知选项B符合故选B.3-答案：A4-答案：C5-答案：tc22>0，y<0，方程鹏=1 为 x-y=1x<0, y>0

6、,方程:土=1 为-x+y=1 ; x<0, y<0,方程言L=1 为-x+-y=1 ;解：x>0, y>0,方程二上=1 为 x+y=1; x lx I lyl方程若=1表示的图形是一个正方形（除去四个顶点）.故选：D1-答案：（I ） 2x-y = 0 ；（H）当石40时，函数/W的单调递减区间为（0：1）,单调递增区间为Q+工）； 当0<方<2时，函数/（X）的单调递增区间为（O.d-Kr），单调递减区间为4.1）; 当b = 2时，函数/（工）的单调递增区间为（Q+m）;当b>2时，函数了（幻的单调 递增区间为（°），单调递减区间为“

7、号.（1）把口 = 1石=-1 ,代入TXU J+cu+bM ,可求出门号一NTJ ,当工=由点斜式方程写出曲线的切线方程，再化为一般式；（2）把门=-2-占代入得二+班. + bhi# ,，-上）小+白卜巴J=* >*） 注意定义 XX域，令/3 = 0,得，V，% j 需讨论g与0和1的大小得“力出或”。蓟的工 的范围，就是原函数的增区间或减区间（I）因为二L”-l,所以函数/一“上-|# ,，=2又F-AM -,2 分所以-2 = 28-1)即/(幻在x = l处的切线方程为2x-y = 05分（R ）因为a = 2 b ,所以/LG -A*-（2+加十占In i ,贝U*h）=主

8、为（x>0） 令f© =。，得XX-均=1. 7分（1）当白。，即BEO时，函数/"）的单调递减区间为（口）,单调递增区问为（L+h）; 8分即0< b <2时，/，/W的变化情况如下表:X呜 上I*八力十一J(x)二S(2)当 Qv%,所以，函数力的单调递增区间为川勺，（L+h）,单调递减区间为&1）；9分（3）当g-i,即=2时，函数FS）的单调递增区间为（Q+其）；10分（4）当即>2时，/,的变化情况如下表:X<0,1>谑）,+一*,8二-所以函数，W的单调递增区间为（QD,（*,单调递减区间为 。$；11分综上，当占三。

9、时，函数，编的单调递减区间为（。），单调递增区间为。，+均；当。<B<2时，函数/（X）的单调递增区间为*）, （L+x）,单调递减区间为用；当5 = 2时，函数的单调递增 金2-区间为(0；+m)；当时，函数/GO的单调递增区间为,单调递12分减区间为。,多.2-答案：(1)证明：取PD的中点E,连接EM EA 则EM AB,且EM=ABf 以四边形ABM时平行四边形，所以 BMI AE又AE?平面PAD BM不在平面PAD 内，. BM/平面PAD(2)以A为原点，AB, AD AP分别为x, y, z轴，建立空间直角坐标系X7则 B (1, 0, 0), C (2, 2, 0

10、), D (0, 2, 0), P (0, 0, 2),M (1, 1, 1), E (0, 1, 1)假设存在满足题意的点，则在平面 PAD内，设N (0,y, Z)3=(-1 , y-1 , Z-1) , |ru=(1 , 0, -2) , m；=(1 , -2 , 0)由,.!H?rH=0, Liti ?Ji =0,S=1可得;二.，( ，N (0,-)，；N 是 AE 的中点，此时 MNL 平面 PBD(3)设直线PC与平面PBD所成的角为9 ,则；=(2, 2, -2),)=(-1，金,），设屋 而 为 a ,贝U cos正，6 =y=L=xiE =-? ；sin 8 =-COS a

11、 =故直线PC与平面PB所成角的正弦值为 W I3-答案：解：(1)设招无收(卷为)，由已知得到丽hU，且和* = -M = 1设切线PA的方程为：撤-箝j,由，?得n-钓甯Sf-帆户，£ 一尸=L (*从而八面5-卬屋4。-户心31斗弧"门，0,解得上=：，因此PA的方程为：同理PB的方程为：尸居)，又岂也谕在PA PB上，所以.w研1，丫仍晒均T,即 点蜃办北I，凯勺心:都在直线为N皿-：上,又10)也在直线 w 源】上，所以三点 A、 M B共线。|.11(2)垂线AN的方程为： /一期三一彳+所，由f一二:"得垂足田也产三马，-(Jl +A+/1)设重心G

12、 (x, y),所以'哨,*，=t.巧十十一)I n2声-划-一入弦+到2 2即W为重心G所在曲线方程。4-答案：证明：以上为坐标原点,山长为单位长度，如图建立空间直角坐标 系，则各点坐标为(1)证明：因运三囚力山.灰 乂算皿也近取“Q斯比止仁 由题设知 aD _DC ,且 与期 是平面巴运内的两条相交直线，由此得DC1面R曲.又DC在面 FCD上，故面 2山LPCD.演正丽_/:工.踵_工所以(2)因工 二。，6.诙二10:-0，小 c咫 回|HC|.| 巴 f1 4- Vj = 0(3)平面dUC的一个法向量设为,"-。.*八-电1=，1-kJ - 0三。72)平面gUC

13、的一个法向量设为 储(64)，凯?“.四我，.1. 一 ，-y： +-*；-n =UL2)?-3 <m n a1-1-4当而=>-所求二面角的余弦值为?(1)利用面面垂直的性质，证明 CDL平面PAD（2）建立空间直角坐标系，写出向量.4C与FS的坐标，然后由向量的夹角 公式求得余弦值，从而得所成角的大小.（3）分别求出平面的法向量和面BMC的一个法向量，然后求出两法 向量的夹角即可.5-答案：（本小题满分12分）解：（I）由题意知， ABC ACDtB是边长 为2的等边三角形，取AC中点O,连接BO DO则BOL AC DOL AC（2分）又平面ACDLT面 ABC ；DOL平面

14、ABC彳EF，平面ABC那么EF/ DO根据题意，点F落在BO上，: BE和平面ABCff成的角为60° , ./EBF=60 , .BE=2 . FF=n0 = 口,（4 分）.四边形 DEFO1平行四边 形，a DE/ OF;DE不包含于平面 ABC OF?平面ABC DE/平面ABC（6 分）（H）解法一：作 FGL BC 垂足为 G,连接 EG VEFX面 ABC - EF± BC 又 EFA FG=F.BCL平面 EFG. EG! BC. / EGF就是二面角 E-BC-A的平面角.（9 分）RtzEFG,FG=FH”in30"g,EF=UO =./8&

15、#163;£5=糅=米 即二面角E-BC-A的余弦值为谆.（12分）解法二： 建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz, B（0,0，0）,C（-1,0,0）,E（0,R-l, B）, .就=（-1，-回，0）, BE= （0,-1 ,回），平面 ABC的一个法向量，口设平面BCE的一个法向量为n二又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E-BC-A的余弦值为皆.（12分）（本小题满分12分）解：（I）由题意知， ABC ACDB是边长为2的等边三角形，取AC中点。，连接BQ DQ则BOX AC DOL AC（2分）又平面 ACDL平面 ABC ；DOL平面ABC彳EF，平面ABC那

16、么EF/ DQ 根 据题意，点F落在BO上，: BE和平面ABO成的角为60° ,. / EBF=60 : BE=2 .#F=GO=B，（4分）四边形 DEFCg平行四边形，. DE/ OF ; DE包 含于平面 ABC OF?平面ABC ；DE/平面 ABC（6分）（H）解法一：作 FGL BC 垂足为 G,连接 EG VEFX面 ABC - EF± BC 又 EFA FG=F.BCL平面 EFG. EG! BC. / EGF就是二面角 E-BC-A的平面角.（9 分）RtzEFG,FG=FE”in30"（,b=B，EG=.eg上EGF =怎二程 即二面角E-B

17、C-A的余弦值为* .（12分）解法二：建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz, B （0,版，0）, C （-1 ,0, 0）, E （0,R-i, F）, .就=（-1 , -F，0）,近二（0, -1,口），平面 ABC的一个法向量一_02"匚=。为。，I）设平面BCE的一个法向量为於二1 ”二）则卜力花二。一“国=。一"辰二0，九 回 ”.（9分）所以«=r匚 Q § fj 9 J； -J，-电 I=叵又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E-BC-A的余弦值为后.（12分）1-答案：I解：V 向量二二(1, 1, 0),康(-1 , 0, 2), .