高中不等式例题超全

1、一.不等式的性质：二.不等式大小比较的常用方法：1 .作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2 .作商（常用于分数指数幕的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6.利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。其中比较法（作差、作商）是最基 本的方法。三.重要不等式2.21. （1）若 a,b R,则 a2 b2 2ab （2）若 a,b R,则 ab -（当且仅当 a b 时取“二”）22. （1）若 a,bR*,则 a_bV'ab（2） 若 a,bR*,则 a b2v'ab （当且仅当 ab 时取“二”）22（3）若a,b

2、R*,则ab ab （当且仅当a b时取“=”） 2,-1.3.若x 0 ,则x - 2 （当且仅当x 1时取“=”）; x若x 0,则x 12 （当且仅当x 1时取“二”）x若ab 0,则a b 2 （当且仅当a b时取“=”） b a224.若a,b R,则（）2 a b （当且仅当a b时取“=”） 22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛 的应用.2aba+

3、b a2+b2a;b&a& 为 7丁应用一：求最值例1:求下列函数的值域（1） y=3x 2+ 712（2） y=x+，2xx解题技巧：技巧一：凑项 例1：已知x 求函数y 4x 2的最大值。44x 5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当口时，求y x（8 2x）的最大值。,x2 7x 101）的值域。令 t=x+1,化简原式在分离求最值t=2即x= 1时取“=”号）技巧三：分离 例3.求y x 7x 10（x x 1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元,（t 1）2 7（t 1）+10 t2 5t 4 , 4

4、广y = t - 5ttt当 X > T ,即 t=M+口时，y 2t ： 5 9 （当技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x) x a的单x调性。例：求函数yX2 5_的俏域。y厂4解：令 &_4 t(t 2),则 y x2 5 Jx2 4 F 1 t 1(t 2) x2 4, x2 4 t一 11 .一.、. 一. 因t 0,t - 1,但t -解得t1不在区间2,故等号不成立，考虑单调性。tt15因为y t 1在区间1,单调递增，所以在其子区间 2,为单调递增函数，故y 5。t2所以，所求函数的值域为5,。22.已知0 x 1,求函数y

5、 Jx(1 x)的最大值.；3. 0 x 2 ,求函数y ,x(2 3x)的最大值.3条件求最值1 .若实数满足a b 2 ,则3a 3b的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 3a 3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解：3a和3b都是正数，3a 3b>2V3a 3b 2d3ab 6当3a 3b时等号成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是6.、，、一，11 变式：右log4x log4 y 2,求一 的取小值.并求x,y的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性， 否则就会出错。一一

6、192:已知x 0, y 0,且 1,求x y的取小值。 x y应用二：利用基本不等式证明不等式2221 .已知a,b, c为两两不相等的实数，求证： a b c ab bc ca1)正数 a, b, c满足 a+b+c= 1,求证：(1 a)(1 b)(1 c)>8abc111例 6:已知 a、b、c R ,且 a b c 1。求证：一 1 一 1 一 18abc分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又1 1 La bc 2-bc ,可由此变形入手。 a a a a1 , 1a b c 2 bc1 . 2 . ac 1 > 2 ab解：

7、Qa、b、c R , a b c 1。- 1 。问理一 1 , 一 1 。a a a ab b c c上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得111111 辿cgH 8。当且仅当a b c 1时取等号。a b c a b c3应用三：基本不等式与包成立问题19例：已知x 0,y 0且19 x y1,求使不等式m包成立的实数m的取值范围。，一.19解：令 x y k, x 0, y 0, - - 1 , x yx y 9x 9ykx ky1.10 y 9xk kx ky101031-2-0 k 16 , m ,16 k k应用四：均值定理在比较大小中的应用：1 a b、例：右 a b 1,P 、：

8、lga lgb,Q (Iga 1g b), R lg()，则 P, Q,R 的大小关系是.2 21分析：a b 1 lg a 0,lg b 0 Q 一 (lga lg b) qlga lg b p2a b 1 ,R lg() lgab - lg ab Q . . R>Q22四.不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法3 .简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：(1)分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；(2)将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；(3)根据曲线显现f(x)的符号变化

9、规律，写出 不等式的解集。如(1)解不等式(x 1)(x 2)2 0。(答：xx 1或 x2)；(2)不等式(x 2)Jx2 2x 3 0的解集是(答：xx 3或 x1)；(3)设函数f(x)、g(x)的定义域都是R,且f(x) 0的解集为x|1 x 2, g(x) 0的解集 为，则不等式f (x)gg(x) 0的解集为(答：(，1)U2,)；(4)要使满足关于x的不等式2x2 9x a 0 (解集非空)的每一个x的值至少满足不等式 x2 4x 3 0和x2 6x 8 0中的一个，则实数a的取值范围是.4 .分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因

10、式，并使每一个因式中最高次项的系数为正 ，最后用标根法求解。解分式不等式时，一 般不能去分母，但分母包为正或恒为负时可去分母。如(1)解不等式25 x 1x2 2x 3(答:(1,1)U(2,3)；(2)关于x的不等式ax b 0的解集为(1,),则关于x的不等式 目q 0的解集为(答：(，1) (2,)5 .指数和对数不等式。6 .绝对值不等式的解法：(1)含绝对值的不等式|x| <a与|x| >a的解集(2) |ax+b| 0c(c >0)和 |ax+b>c(c >0)型不等式的解法|ax+b| <c-c <ax+b<c;| ax+b| &g

11、t;c ax+b1c或 ax+b<-c.(3) |x-a|+|x-b|>c(c >0)和|x-a|+|x-b| Wc(c >0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。方法四：两边平方。一 C1例1:解下列不等式：.x 2x x(2). -3< - <2x【解析】：(1)解法一(公式法)原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x解彳# x>3或x<0或0Vx<1原不等式的

12、解集为 x | x<0或0Vx<1或x>3 解法2 (数形结合法)第(1)题图作出示意图，易观察原不等式的解集为 x | x<0或0Vx<1或x>3 第(2)题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数一入 一)，、,11 一一 一 一图象，则解集为x|x 1或x<-1，结果一目了然。23例2:解不等式：|x| 1 x【解析】作出函数f(x)=|x|和函数g(x)= x的易知解集为(一，0) 1, + )解不等式.|x 1| |x 1|例3:g(x)|x 1|x1|2(x2x( 12(x 1)1)x 1)h(x

13、)令分别作出函数g(x)和h(x)34,【解法2】原不等式等价于3 g(x) |x 1|,h(x) |x 1| -2的图象,3知原不等式的解集为|x31| - |x 1|2【解法11令|x 1|所以不等式分别作出函数g(x)和h(x)的图象，易求出g (x)和h (x)的图象的交点坐标为33、|x 1| - ,)2的解集为43| x 1| | x 1|【解法3】 由2的几何意义可设F 1(-1, 0) , F 2 ( 1 , 0) , M (x, y),3MF1 MF2 一二若2 ,可知M的轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为(4，0),由双曲线的图象和| x+1 I I

14、x-1 I >2知x>4 .7.含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键.注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别 说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如,2(2)解不等式2 axax 1x(a R)若*3 1，则a的取值范围是1 'i 1'（答：a 0时，x|x 0； a 0时，x|x 或x 0; a 0 时，x| x 0或 x 0） aa提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点

15、值。如关于x的不等式ax b 0的解集为（，1）,则不等式 12 0的解集为（答：（1,2） ax b例2.（1）求函数y x 3 x 1的最大和最小值；（2）设 a R,函数 f x ax2 x a（ 1 x 1）.若a 1,求f x的最大值例3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？七.证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法（比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、

16、通分等手段变形判断符号或与 1的大小，然后作出结论。常用的放缩技巧有:,k 1、k1n(n 1)112 nn(n 1) n 1).1nk" /k 2 < k . k如(1)已知a b c,求证：a2b b2c (2)已知 a,b,c R,求证：a2b2 b2c2一， 11(3)已知 a,b,x,y R ,且，x y ,a b1. k2c a2 2c a求证:（4）若a、b、c是不全相等的正数，求证:(5)已知 a,b,c R,求证：a2b2,2 2 b c(6)若 n N,求证：(n 1)2 1(n 1),a lg22 2c an222ab bcabc(axx ab . blg

17、-2ca ;c) ；匕blg Jalga lg b lgc;2abc(a b c);1 n;(7)已知|a|b | ,求证:（8）求证:11112232|a| |b|a b|L工n|a| |b| .?|a b|八.不等式的包成立，能成立，恰成立等问题：不等式包成立问题的常规处理方式？（常应用函数 方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1）.包成立问题若不等式f x A在区间D上包成立，则等价于在区间D上f若不等式f x B在区间D上包成立，则等价于在区间D上fxminxmax如（1）设实数x,y满足x2 （y 1）2 1,当x y c 0时，c的

18、取值范围是（答：Q 1,）；（2）不等式x 4a对一切实数x包成立，求实数a的取值范围(3)(4)(5)（答：a 1）；若不等式2x 1 m（x2 1）对满足|m 2的所有m都成立，则x的取值范围（答：（&J,亘J（1）na 2 U）对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 n)；（答：吟）;x2 2mx 2m 1 0对0 x 1的所有实数x都成立，求m的取值范围.2 x 若不等式. 一 一 1lOgaX 对x （0,）2恒成立，则实数a的取值范围是此题直接求解无从着手，结合函数2 一1.,一x及y=logax在（0,一）上的图象2易知，a只需满足条件：loga1/2: 1/41/J11 -一log a 即可0V a<1,且 2 4从而解得1,1)162） .能成立问题若在区间D上存在实数x