分类加法计数原理与分步乘法计数原理理带答案

1、分类 加法计数原理与分步乘法计数原理 基础自测：1 . 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的 报名方法共有种.32解析 每位同学有两种不同的报名方法，而且只有这5位同学全部报名结束，才算事件完成.所以共有 2X2X2X2X2=32（种）.2 .有不同颜色的4件上衣与不同颜色的3件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一 套，则不同的配法种数是 .12解析 由分步乘法计数原理，一条长裤与一件上衣配成一套，分两步，第一步选 上衣有4种选法，第二步选长裤有 3种选法，所以有4X 3= 12（种）选法.3 .甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有 1门相

2、同的选 法有种.答案 24解析 分步完成.首先甲、乙两人从 4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲 从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的 2门课程中任选1 门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4X3X2=24（种）.4 .用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有 个.（用数字作答）答案14解析 数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C4=4（个）四位数.“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C2=6（个）四位数.“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C3=4（个）四位数.综上所

3、述，共可组成14个这样的四位数.题型一分类加法计数原理的应用【例1】一班有学生50人，男生30人，女生20人；二班有学生60人，男生30人， 女生30人；三班有学生 55人，男生35人，女生20人.（1）从一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？（2）从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少 种不同的选法？思维启迪用分类加法计数原理.解（1）完成这件事有三类方法第一类，从高三一班任选一名学生共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生共有55种选法，根据分类加法计数原理， 任选一名学生任校学生会主

4、席共有50 + 60 + 55 = 165（种）选法.（2）完成这件事有三类方法第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法.综上知，共有 30+30+ 20 = 80（种）选法.思维升华 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求，就是完成这件事情 的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方 法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.跟踪训炼1（1）在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位

5、数有多少个？22（2）方程宗十t=1表示焦点在y轴上的椭圆，其中mG1,2,3,4,5 ,nG1,2,3,4,5,6,7, 那么这样的椭圆有多少个？解（1）分析个位数字，可分以下几类：个位是9,则十位可以是1,2,3,，8中的一个，故有8个；个位是8,则十位可以是1,2,3,，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；个位是2的只有1个.由分类加法计数原理，满足条件的两位数有1 + 2+ 3 + 4 +5 +6+7+8= 36（个）.（2）以m的值为标准分类，分为五类.第一类：m= 1时，使n>m, n有6种选择；第二类：m= 2时，使n>m, n有5种选择；

6、第三类：m= 3时，使n>m, n有4种选择；第四类：m= 4时，使n>m, n有3种选择；第五类：m= 5时，使n>m, n有2种选择.共有 6+5 + 4+3+2 = 20（种）方法，即有20个符合题意的椭圆.题型二分步乘法计数原理的应用【例2】有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报 名方法？（不一定六名同学都能参加）（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；（3）每项限报一人，但每人参加的项目不限.思维启迪 可以根据报名过程，使用分步乘法计数原理.解（1）每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选

7、法，由分步乘法计数原理，知共有选法36= 729（种）.（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理， 得共有报名方法6X5X4= 120（种）.（3）由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛， 由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63= 216（种）.思维升华利用分步乘法计数原理解决问题： 要按事件发生的过程合理分步， 即分步是有先后顺序的； 各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都 完成了才算完成这件事.跟踪训练2已知集合M=3, 2, 1,0,1,2,若

8、a, b, cG M,则：（1）y= ax2 + bx+ c可以表示多少个不同的二次函数；（2）y = ax2+ bx+ c可以表示多少个图象开口向上的二次函数.解（1）a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此y =ax2 + bx+ c可以表示5 x 6x 6 = 180（个）不同的二次函数.（2）y = ax2+bx+c的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种2情况，因此y=ax+bx + c可以表示2X6X6=72（个）图象开口向上的二次函数. 题型三两个原理的综合应用【例3如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色

9、，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.思维启迪 染色问题是常见的计数应用问题，可从选颜色、选顶点进行分类、分步，从不同角度解决问题解 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法计数原理即可得出结论由题设，四棱锥S ABCD的顶点S A、B所染的颜色互不相同，它们共有5X4X3=60（种）染色方法当 S、 A、 B 染好时，不妨设其颜色分别为 1、 2 、 3 ，若 C 染 2 ，则 D 可染 3 或 4 或 5 ，有 3 种染法；若C 染 4 ，则 D 可染 3 或 5，有 2 种染法；若C 染 5，则 D可染 3 或 4，有

10、 2 种染法可见，当 S、 A 、 B 已染好时， C、 D 还有 7 种染法，故不同的染色方法有 60 X 7 = 420（种）.方法二 以 S、 A、 B、 C、 D 顺序分步染色第一步， S 点染色，有5 种方法；第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；第三步， B 点染色，与S、 A 分别在同一条棱上，有3 种方法；第四步， C 点染色，也有3 种方法，但考虑到 D 点与S、 A 、 C 相邻，需要针对 A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同 色时，因为 C 与 S、 B 也不同色，所以 C 点有 2 种染色方法， D 点也有 2 种染色 方法

11、.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5X4X3X （1X3+2X 2） = 420（种）.方法三 按所用颜色种数分类第一类， 5 种颜色全用，共有A 55种不同的方法；第二类，只用4种颜色，则必有某两个顶点同色（A与C,或B与D）,共有2XA5 种不同的方法；第三类，只用 3 种颜色，则 A 与 C、 B 与 D 必定同色，共有A 53种不同的方法由分类加法计数原理，得不同的染色方法总数为A5+2XA5+A3=420（种）.思维升华 用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是分步（1）分类要做到“ 不重不漏” ，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，

12、得到总数（2）分步要做到“ 步骤完整” ，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数（3）对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、 画图的方法来帮助分析.跟踪训练3用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的 涂色方法？方格可解 如图所示，将4个小方格依次编号为1,2,3,4,第1个/1 以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有 5种不同的涂法.12（种）不同的当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有 A涂法，第4个小方格有3种不同的涂法.由分步乘法计数原理可

13、知，有 5X12X3 = 180（种）不同的涂法；当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有 4种涂法，由于相邻方格不同色， 因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知. 有5X4X4 = 80（种）不同的涂法.由分类加法计数原理可得，共有 180 + 80 = 260（种）不同的涂法.A组专项基础训练、选择题1 .从集合1,2,3,，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样 的等比数列的个数为（）A. 3 B. 4 C. 6 D. 8解析 按从小到大顺序有124,139,248,469共4个，同理按从大到小顺序也有 4个，故这样的等比数列的个数为 8个.?2 .现

14、有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求 卜二二|有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A. 24 种B. 30 种 C. 36 种D. 48 种解析 共有4X 3X2X2 = 48（种），故选D.3 .集合 P=x,1, Q = y,1,2,其中 x, yE 1,2,3,9,且 P?Q.把满足上述条 件的一对有序整数对（x, y）作为一个点的坐标，则这样的点的个数是（）A. 9 B. 14C. 15D. 21解析 当x= 2时，x乎y,点的个数为1X7= 7（个）；当x乎2时，x= y,点的个数为7X 1 = 7（个），则共有14个点，故选B.4 . （2013

15、山东）用0,1,，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A. 243B. 252 C. 261 D. 279解析 0,1,2,，9共能组成9X 10X 10 = 900（个）三位数，其中无重复数字的三位 数有 9X9X8=648（个）.有重复数字的三位数有 900-648 = 252（个）.5 . （2013四川）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a, b,共可得到lg alg b的不同值的个数是（）A. 9 B. 10C. 18D. 20aa.°解析 由于lg a-lg b = lgb（a>0,b>0）,从1,3,5,7,9中任取两

16、个作为b有A52 = 20种，1 33.9.又.与6相同，*与a相同，lg alg b的不同值的个数有 A52=202 = 18,选 3 9 I 3C.二、填空题6 . 一个乒乓球队里有男队员 5名，女队员4名，从中选取男、女队员各一名组成混合双打，共有 种不同的选法.答案 20解析 先选男队员，有5种选法，再选女队员有 4种选法，由分步乘法计数原理 知共有5X4 = 20（种）不同的选法.7 .某次活动中，有30人排成6行5歹现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这 3 人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为 （用数字作答）.答 案 7 200解析 其中最先选出的一个人有 30种方法，

17、此时不能再从这个人所在的行和列上 选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有 20种方法，此时不能再从该人 所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有 12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30X20X12 = 7 200.8 .已知集合 M = 1, 2,3, N = 4,5,6, 7,从M, N这两个集合中各选一个 元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、 第二象限内不同的点的个数是 .答案 6解析 分两类：第一类，第一象限内的点，有 2X2= 4（个）； 第二类，第二象限内的点，有 1X2=2（个）.共4 + 2 = 6（个）.

18、三、解答题9 .某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？解 由题意得有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语.第一类：从只会英语的6人中选1人说英语，共有6种方法，则说日语的有 2+1 =3（种），此时共有6X3= 18（种）；第二类：不从只会英语的 6人中选1人说英语，则只有1种方法，则选会日语的有2种，此时共有1X2= 2（种）；所以根据分类加法计数原理知共有18+2 = 20（种）选法.10 .在某种信息传输过程中，用 4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息， 不同排列表示不同信息. 若

19、所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应 位置上的数字相同的信息个数为多少？解 方法一 分0个相同、1个相同、2个相同讨论.（1）若0个相同,则信息为1001.共1个.（2）若1个相同,则信息为 0001,1101,1011,1000共4个.（3）若2个相同，又分为以下情况：若位置一与二相同，则信息为0101;若位置一与三相同，则信息为0011;若位置一与四相同，则信息为0000;若位置二与三相同，则信息为1111;若位置二与四相同，则信息为1100;若位置三与四相同，则信息为1010.共6个.故与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为1+4 + 6=11.方法二若0

20、个相同，共有1个；若1个相同，共有C1 = 4（个）;若2个相同，共有C2 = 6（个）.故共有1 + 4+6=11（个）.复习与回顾立体几何:1.（2013广东）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是A.414B.7D.6 ，11解析 由三视图知四棱台的直观图为由棱台的体积公式得：V = 13W3(2X2+；/Z1X1 + 42X2X1 X 1)X 2= 14.232.(2013课标全国II)已知m, n为异面直线，m,平面& n,平面0直线l满足 Um, Un, l?& l?& 则()A. all B且 l / aB. a, B且 l, BC.a与B相交，且交

21、线垂直于lD.a与B相交，且交线平行于l解析 假设all &由m,平面& n,平面B,则mil n,这与已知m, n为异面直线矛盾，那么a与B相交，设交线为 ' 则l1±m, l1±n,在直线m上任取一点作n1平行于n,那么l1和l都垂直于直线 m与m所确定的平面，所以l"/l.3、如图，四棱锥 P ABCD中，底面ABCD为菱形，PA，底面 ABCD, AC=242, PA=2, E 是 PC 上的一点，PE = 2EC.(1)证明：PC，平面BED;(2)设二面角APBC为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.思维启迪 利用

22、FA，平面ABCD建立空间直角坐标系，利用向量求解方法一 (1)证明 因为底面ABCD为菱形,所以BD1AC.又FA，底面ABCD,所以PC1BD.如图，设ACABD = F,连接EF.因为 AC=2, FA=2, PE=2EC,故 PC = 23, EC =乎，FC=V2,从而PC=&, AC= 6. FC EC一 PC AC因为左=五，/FCE = /PCA, FC EC所以FCEsPCA, / FEC= / FAC=90°.由此知PC1EF.因为PC与平面BED内两条相交直线 BD, EF都垂直,所以PC,平面BED.(2)解 在平面FAB内过点A作AG, PB, G为

23、垂足.因为二面角A- PB C为90所以平面 PABL平面PBC.又平面PABA平面PBC=PB,故 AG，平面 PBC, AG1BC.因为BC与平面PAB内两条相交直线 PA, AG都垂直,故BCL平面PAB,于是BC1AB,所以底面ABCD为正方形，AD = 2,PD = #A2 + AD2 = 2 亚.设D到平面PBC的距离为d.因为AD / BC,且 AD?平面PBC, BC?平面PBC,故AD/平面PBC, A、D两点到平面PBC的距离相等，即 d = AG = 2.d 1设PD与平面PBC所成的角为的则sin a=丽=2.所以PD与平面PBC所成的角为30°./小方法二(

24、1)证明 以A为坐标原点，射线AC为x轴的日商港氐 正半轴, 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则 CQa/2, 0,0), P(0,0,2), E竽,0, |j,设 D(m, b,0),其中 b>0,则 B(也-b,0).于是 PC = (2 /，0, 2),系 b，|J,从而 PCBE = 0, PC DE = 0,故 pcbe, PCX de.又BEADE = E,所以PS平面BED.(2)解 AP= (0,0,2), AB =(V2, b,0).设m=(x, y, z)为平面PAB的法向量，则 mAP=0, mAB=0,即 2z=0 且V2xby= 0, x = b,则 m=

25、(b, V2, 0).设n = (p, q, r)为平面PBC的法向量，则n PC = 0, n BE = 0,即 2V2p 2r = 0 且2p + bq + |r = 0,令 p=1,则 r=啦,q = *, n=, 一g,四因为二面角 A- PB C为90°,所以面PAB1W PBC,2故 m n = 0,即 b b=。，故 b=山，于是 n=(1, 1,g)，DP = (一也，贬,2),所以 cos n, DP>n DP _1 nl|DP| 2所以n, DP= 60°.因为PD与平面PBC所成角和n, DP互余,故PD与平面PBC所成的角为30°.二

26、、圆锥曲线:1 .双曲线的焦点在 x轴上，实轴长为 4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为,渐近线方程为 .答案 x2卷=1 y=2/2x 432解析由题意设双曲线的标准方程为 a2 y2= 1(a>0, b>0),则2a = 4,即a = 2, e2 2= a=3,则c=6, b=442,所以双曲线的标准方程为X432=1,渐近线方程为y=.x=立也x.y1 y22p 小2.x1 x2 y1 + y22、若点(3,1)是抛物线y2 = 2px 一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2,则p=()A.y= ±sJ3xB.y= 33xC.y= ±72xD.y= &

27、#177;2x解析 设点P(x°, yo).依题意得，焦点F(2,0),_%)+ 2 = 522 2于是有 xo = 3, yo = 24；yo= 8x0,fa2 + b2=4,9 9 24由此解得 a2 = 1, b2 = 3,因此该双曲线的渐近线方程是y=3=蝮3x.5、.已知抛物线x2 = 4y的焦点为F,经过F的直线与抛物线相交于 A, B两点，则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是 .答案2 3解析由抛物线定义得以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，利用直角三角形中勾股定理得到弦长的解析式，再求弦长的最小值.设以AB为直径的圆的半径为r,则AB|=2r>4, r)2,且圆心到x轴的距离是r-1,所以在x轴上所截得的弦长为2、/r2才一1?2 =2721 >23,即弦长的最小值是 243.6、在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(一43, 0),电,0)的距离之和等于4,