常微分课程23恰当微分方程与积分因子

1、 2.3 恰当方程与积分因子/( , ),uu x y设是一个连续可微的函数 则它的全微分为dyyudxxudu如果我们恰好碰见了方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以马上写出它的隐式解.),(cyxu一一 、恰当方程的定义及条件恰当方程的定义及条件定义1( , ),u x y若有函数使得dyyxNdxyxMyxdu),(),(),(则称微分方程) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM是恰当方程.(1)( , ).u x yc此时的通解为如0 ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf是恰当方程.)(xyd)(23xyyxd)()(ydyg

2、xdxfd1 恰当方程的定义需考虑的问题(1) 方程(*)是否为恰当方程?(2) 若(*)是恰当方程,怎样求解?(3) 若(*)不是恰当方程,有无可能转化为恰当方程求解?2 方程为恰当方程的充要条件定理1( , )( , ),M x yN x yR设函数和在一个矩形区域 中连续且有连续的一阶偏导数 则方程) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM为恰当方程的充要条件是).2(,),(),(xyxNyyxM( , )( , )0,(*)M x y dxN x y dy证明“必要性”设(1)是恰当方程,( , ),u x y则有函数使得dyyudxxuyxdu),(dyyxNdxyxM),(

3、),(故有),(yxMxu),(yxNyu从而2,Muyy x 2.Nuxx y 22,uuy xx y 由于和都是连续的 从而有,22yxuxyu故.),(),(xyxNyyxM“充分性”，xyxNyyxM),(),(若(5),y从出发 把 看作参数 解这个方程得( , ),u x y则需构造函数满足)4(,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu即应满足)5(),(yxMxu)6(),(yxNyu).(),(),(ydxyxMyxu( ),yy这里是 的任意可微函数yu因此)7(),()(dxyxMyNdyyd(7),x下面证明的右端与 无关x即对 的偏导数常等于零事实上),(dxy

4、xMyNx),(dxyxMyxxN)6(),(yxNyu( ),(6),yu下面选择使 同时满足即dyyddxyxMy)(),(N).(),(),(ydxyxMyxu),(dxyxMxyxNyMxN. 0,(7), y于是右端的确只含有积分之得,),()(dydxyxMyNy故dxyxMyxu),(),(,),(dydxyxMyN(8)( , ),(1)u x y即存在 从而为恰当方程.)7(),()(dxyxMyNdyyd注:若(1)为恰当方程,则其通解为( , )( , ),M x y dxNM x y dx dyccy为任常数1 不定积分法.,0),(),(10若是进入下一步是否为恰当方

5、程判断dyyxNdxyxM，ydxyxMyxu)(),(),(20求).(),(30yyxNyu求由例1 验证方程0)sin2()(dyyxdxyex是恰当方程,并求它的通解.二、二、恰当方程的求解恰当方程的求解解:( , ),( , )2sin .xM x yey N x yxy这里( , )1M x yy所以故所给方程是恰当方程.( , )u x y由于所求函数满足, yexux,sin2yxyu,xyeyx由偏导数的定义 只要将 看作常数 将对 积分得)()(),(ydxyeyxux).(yyxex,),(xyxN).(),(yyxeyxux( , ),( )u x yyy对关于 求偏导

6、数 得应满足的方程为yxdyydxsin2)(即ydyydsin2)(积分后得:,cos2)(yy 故.cos2),(yyxeyxux从而方程的通解为.cos2cyyxex2 分组凑微法 采用“分项组合”的方法,把本身已构成全微分的项分出来,再把余的项凑成全微分.-应熟记一些简单二元函数的全微分.如 xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd例2 求方程0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.解:2223( , )36,

7、( , )64,M x yxxyN x yx yy这里( , )12M x yxyy所以故所给方程是恰当方程. 把方程重新“分项组合”得0)66(432232ydyxdxxydyydxx即0)33(222243dyxdxydydx或写成0)3(2243yxyxd故通解为:34223,xyx ycc为任常数.,),(xyxN例3 验证方程, 0)1 ()sin(cos22dyxydxxyxx是恰当方程,并求它满足初始条件y(0)=2的解.解:),1 (),(,sincos),(22xyyxNxyxxyxM这里yyxM),(故所给方程是恰当方程.把方程重新“分项组合”得, 0)(sincos22y

8、dyydyxdxxyxdxx即xd2sin212221yxd221yd, 0 xy2,),(xyxN, 0)(sin2222yyxxd或写成故通解为:,sin2222cyyxx(0)2,y由初始条件得, 4c故所求的初值问题的解为:. 4sin2222yyxx02121sin212222ydyxdxd3 线积分法定理1充分性的证明也可用如下方法:( , )( , ),M x yN x yyx由于由数学分析曲线积分与路径无关的定理知:( , )( , )( , )M x y dxN x y dyu x y为某函数的全微分,( , ),u x y即有函数使,),(),(),(dyyxNdxyxMy

9、xdu(1)从而为恰当方程.00,(,),xyR这时 取则),(),(00),(),(),(yxyxdyyxNdxyxMyxuxxdxyxM0),(0,),(0yydyyxN从而(1)的通解为000( ,)( , ),xyxyM x y dxN x y dycc为任常数.例4 求解方程. 0)2(sin)2cos(2dyexxdxxexyyy解:2( , )cos2,( , )sin2,yyM x yyxxeN x yxx e由于yyxM),(yxex2cos,),(xyxN故所给方程是恰当方程.( , ),( , ),M x y N x y由于在全平面上连续00(,)(0,0),xy故取则y

10、xdyyxNdxxM00),()0 ,(xxdx022xyydyexx02)2(sin.2) 1(sin2yexxyy2sin2,.yyxx eycc为任常数故通解为:.2sin2yexxyy),()0 , 0(),(),(),(yxdyyxNdxyxMyxu, 2sin),(2cos),(2yyexxyxNxexyyxM三、积分因子三、积分因子非恰当方程如何求解?对变量分离方程:, 0)()(dxyxfdy不是恰当方程.1,( )y方程两边同乘以得, 0)()(1dxxfdyy是恰当方程.xyyxf)(10)(对一阶线性方程:, 0)()(dxxQyxPdy不是恰当方程.( ),P x dx

11、e方程两边同乘以得, 0)()()()(dxxQyxPedyedxxPdxxP则或左边( )( )( )P x dxP x dxd eyQ x edx, 0是恰当方程.可见,对一些非恰当方程,乘上一个因子后,可变为恰当方程.( )( )( )P x dxP x dxep x ex ( )( ( )( )P x dxep x yQ xy1 定义( , )0,x y如果存在连续可微函数使得0),(),(),(),(dyyxNyxdxyxMyx,( , )(1).x y为恰当方程 则是方程的一个积分因子例5222( , )(34)(23)0,.x yx yyxydxxx y dy验证是方程的一个积分

12、因子 并求其通解解: 对方程有),(),(yxMyx),(),(yxNyx332243yxyx24332yxyx) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM由于yyxMyx),(),(xyxNyx),(),(222126yxyx( , ),x y故所给方程乘于后为恰当方程( , ).x y所以是其积分因子2( , )x yx y对方程两边同乘以后得0)32()43(2433322dyyxyxdxyxyx把以上方程重新“分项组合”得0)34()23(2433322dyyxdxyxydyxdxyx即03423ydxydx也即0)(3423yxyxd故所给方程的通解为:3243,x yx yc

13、c为任常数2 积分因子的确定( , )( , )( , )0:x yM x y dxN x y是方程的积分因子的充要条件是xyxNyxyyxMyx),(),(),(),(即)(xNyMyMxN)(xNyMyMxN( , ),( , ),( , )( , )0.x yx yM x y dxN x y dy上面方程是以为未知函数的偏微分方程要想从以上方程求出一般来说比直接解微分方程更困难尽管如此,方程)(xNyMyMxN还是提供了寻找特殊形式积分因子的途径.( , )( , )0( , )( ),M x y dxN x yxx yx如果方程存在仅与 有关的积分因子则0,y这时方程)(xNyMyMx

14、N变成dxNxNyMd)()(xNyMdxdN即,x由于上式左侧仅与 有关,x所以上式右侧只能是 的函数的微分( , )( , )0M x y dxN x yx从而微分方程有一个仅依赖于 的积分因子的必要条件是)10(,)(NxNyM(10)( ),.xxy若只是 的函数而与 无关( )( ),x dxxe则( , )( , )0M x y dxN x y dy是方程一个积分因子()( )MNyxxN这里dxxd)( )( , )x N x yx( )( , )( , )( )dxN x yN x yxdxx( )( , )( )x dxN x y ex( , )( )N x yxx( , )

15、( , )() ( )M x yN x yxyx( , )( )N x yxx( , )( )M x yxy( )( , )x M x yy)( , )( , )0 xM x y dxN x y dy故 ( 是方程一个积分因子.3 定理微分方程) 1 (, 0),(),(yxNdxyxMx有一个仅依赖于 的积分因子的充要条件是,)(NxNyM,(1)x仅与 有关 这时的积分因子为,)()(dxxex()( )MNyxxN这里,(1)y同理 微分方程有一个仅依赖于 的积分因子的充要条件是,)(MxNyM,(1)y仅与 有关 这时的积分因子为,)()(dyyey()( ).MNyxyM这里例6 求

16、微分方程0)()22(2dyeydxyeyxx的通解.解:2( , )2,( , ),2xxyM x yyeN x yye这里由于yyxM),(xyxN),(xey2,xe故它不是恰当方程,又由于NxNyM)(xxeyey1,yx它与 无关 故方程有一个仅与 有关的积分因子)(xdxxex)()(dxe1xe( )xxe对方程两边同乘以后得0)()22(222dyeyedxyeeyxxxx利用恰当方程求解法得通解为22,.2xxyeyecc为任意常数 积分因子是求解积分方程的一个极为重要的方法,绝大多数方程求解都可以通过寻找到一个合适的积分因子来解决,但求微分方程的积分因子十分困难,需要灵活运

17、用各种微分法的技巧和经验.下面通过例子说明一些简单积分因子的求法.1)()(NxNyMx例7 求解方程).0(,)(12yyxyxdxdy解:方程改写为:,22dxyxydyxdx或:,)(212222dxyxyxd易看出,此方程有积分因子,1),(22yxyx( , ):x y以乘改写后的方程两边得,2)(2222dxyxyxd即,22dxyxd故方程的通解为:22,.xyxcc为任常数例8 求解方程. 0)(dyxyydx解:( , ),( , ),M x yy N x yyx这里1),(yyxM, 1),(xyxN故方程不是恰当方程,方法1:()MNyxM因为y2,y仅与 有关y故方程有一个仅依赖于 的积分因子dyyey)()(dyye2,12y21:y以乘方程两边得. 02ydyyxdyydx即. 0112dyyxdyydxy故方程的通解为:.lncyyx)(y方法2: 方程改写为:,ydyxdyydx容易看出方程左侧有积分因子:21y21x或1xy或221xy或,y但方程右侧仅与 有关21,y故取为方程的积分因子由此得.2