抛物线地性质归纳及证明x

1、A'、B、C' I BF I x2 -；21 cos2p+ xz + p=sin2 ；特别地，当2p； <§) AOB 的面积 S=aoab抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦性质及证明过抛物线y?=2px ( p> 0)焦点F的弦两端点为A(xi , yi ), B( X2 , y2 ),倾斜角为，中点为C(x ,y ),分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为0 01.求证：焦半径I AF I xi ；焦半径21 cos1 1 2 _I AFI + I BF I =

2、p；弦长 I AB 丨=xi x =x(=90 )时，弦长IABI最短，称为通径，长为2 sin证明：根据抛物线的定义,I = IIAFADBF1BCI =xz +P2,AF l+，BF1 二F1 COS1 + cos+pI ABI =1 AF I +l BF I =xi+ x? + p如图2,过A、B引x轴的垂线 AAh BBi,垂足为i、 i,那么I 丨=丨 丨一丨 il = lA BRF AD FA AFIcos 、丨.1pAF I =I1 COS1 cosI I. = p同理，I BFI 1+cos 1+ cosSaoab = Sa oaf+ Sa obf十1 OFIIyi 丨 + +

3、1 OFIIyi丨=丄p (1 yi 1 + 1 yi 1)2222 yiy2 = p2,则 yi> y?异号，因此，I yi I + I yi I = I yi y? I2sin_PAOAB s9Avyp1= / ( i+ 2)24* y y4L=P / 爲 42 2 +44mp2 -TV1 +P 22.求证：xx1 22P ； yiy24p2 + = I AF I I BFI p当AB丄x轴时，有AFBFp,成立;当AB与x轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为:代入抛物线方程:k2 x2p 2 px .化简得:2k2x2 p k 2 2pk24方程（1）Z二根为 Xl, X2,AFBBX

4、2XIX2xiX2xi X2PXI X2 P2-rX2r-pxi X2 pp42423.求证：AC'BA*FBRtZ .先证明：ZAMB= Rt Z【证法一】延长 AM交BC的延长线于E,如图3,则AADMA ECM,A I AMI = I EMI , I ECI = I AD IA I BEI = I BCI + I CE I = I BCI + I ADI=I BF I + I AF I = I ABIABE为等腰三角形，又M是AE的中点,A BM丄AE,即Z AMB= RtZ【证法二】取AB的屮点N,连结MN,则AB为斜边，故Z AMB= RtI MNI = 2(1 ADI +

5、I BCI) = 2(1 AFI + I BF I) = 21 ABI , A I MNI =丨 ANI =1 BNIAA ABM为直角三角形，Z .r【证法三】由已知得 C( 2,y】+ y2y _ AM2k =2y)P-P iP、D( 一2，y),由此得 M( 一2，p2 (一)卫y>_P(V-yr+p2yyr+ p2x】+ 2AMBMPy«2 2p+ Pyy -pA BM丄AE,即Z AMB= RtZ .【证法四】由已知得C（卫，y?）、D（2£ yi+ y?2， 2 ).-PI MA = ( xi + 2，2 厂MB=(xs+2，2 )f-i p 2 p (屮

6、一y?)( yjMA MB=(x + 2)(x+2)+4£2：(刃一yj=xiX2+ 2( x】+ x?) + 4 _42 2 2 2p- p yi_ 竺yi+ V22vm= 4 + 2(2p+2p) + 4 0：址疋丄二£?=十 =+= 02 2 2 2,故ZRt Z MA MBAMBy22)BN1_ 卫,同理k y2yi),由此得M(2故 Z DFC =y图5y*图7【证法五】由下面证得Z DFC=90 ,连结FM,则FM=DM.又AD=AF,故厶ADM竺AFM,如图4Z 1 = Z 2,同理Z 3 = Z41AZ 2+Z 3=2X 180= 90/. Z AMB= R

7、t Z.接着证明：Z DFC= Rt Z【证法一】如图 5,由于I 丨=丨 I ,/AD AF AD RF 故可设Z AFD=Z ADF=Z DFR= , 同理，设z =z =z =,BFC BCF CFR而/ AFD+Z DFR + Z BFC + Z CFR= 180 2( +) = 180 ，即 +=9090p 屮+刃 【证法二】取CD的中点M,即M(二2 2 )p _由前矢 口 kAM= ， kcF_ =号y>p p p y>+ 2+ 2kAM=kcF, AM/ CF,同理，BM DFA Z DFC = Z AMB= 90 .I2【证法三】.DF= (p, y ) , CF

8、 =( p, y ),ff2/. DFCF = p+ yiy2二 0DF丄CF ,故Z DFC= 90 .22I DRI【证法四】 由于丨RFI = p = yiy2 = l DRI I RCI，即I RF I I RFI=| RC I，且Z DRF = Z FRC= 90 ADRFA FRCZ DFR = Z RCF,而Z RCF+Z RFC= 90Z DFR + Z RFC= 90yi Aivi2y = 2px戦辽揃公謝p y2 yiy-y】 = (一一),整理得yi 2p 2p2图8Z DFC= 904. C ' A、C' B是抛物线的切线【证法一】am=R， 的直线方程

9、为 一1 = 2（7 ）y y 刃 x 2py 2yiy+ yi= 0可见= （2 y ） 4y】=0, 故直线AM与抛物 线y2= px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图8.左边=yi 2=2=2 =pxi 2、pp5右边=（-毕1）=- + H左边二右边，可见，过点A的切线经过点M,X图9【证法二】由抛物线方程y2= 2 px,两边对 x求导，（y2）x =(2 px) x ,得 2y y x=2,X，故抛物线2=2在点（1,J处的切线的斜率为，切p y yy pxA xykKy x 1y =yl y又yk切=k,M,即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.y>1

10、1 11p y】+ y2【证法三】过点A( x , y )的切线方程为 y y= p( x+ x ),把M( 2，2 )代入12 yr4- yiyzi i2y + y 2px pF/. Z DAM=Z AEB = Z BAM,即AM平分Z DAB,同理BM平分Z CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线 AB的倾斜角 是直线 AM的倾斜角 的2倍即可,p w+ y2即=2 .且 M( 2：2 )y? yi yi yi2pVtan = 1ob=x2 xiy?2 yi2yi+ 屮.2p 2ptanyAM -1 1y 2yy«+ P 22p卩(1 2) p(y - yi=yy>+ p

11、*卡)二2 =屮 + pyi2 tantan 21 tan2py = 2,即AM平分Z DAB,同理BM平分Z CBA.y图106.AC'、A'F、y轴三线共点，BC B'F、y轴三线共点【证法一】如图10,设AM与DF相交于点G,由以上证明知I ADI = 1 AFI , AM平分Z DAF,故AG也是DF边上的屮线,I 1是 的中点G DF设AD与y轴交于点D, DF与y轴相交于点G,1 2易知，丨 DDi 1 = 1 OF I , DDi OF,故厶 DD.GzA FOG2I DG2丨=丨FG21 ,则G2也是DF的中点.G与G2重合（设为点G）,则AM、DF、y

12、轴三线共同理、轴也三线共点.BMCF y2 【证法二】AM的直线方程为y yQx - 乂），y* 2p/y«令x=0 得AM与y轴交于点Gi（0 ,尸2y*22 p又DF的直线方程为y= p ( x 2)，令x= 0得DF与y轴交于点G2(0 , 2 )AM、DF与y轴的相交同一点G(0 , 2"),则AM、DF、y轴三线共点,同理BM、CF、y轴也三线共点H由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.【证法一】如图OA対Xi牛y*2y?2py22p2py2 _2p=厂-rkoA= koc,则A、O、C三点共线,同理D、0、B三点也共线.【证法二】设 AC与x轴交于点O ,AD

13、RFBCI BFI I O Fl I CB II RO I I CO II ADI = I CAI = I AB II AF I =丨 AB II RO I I O又丨 ADI = 1 AF I , I BCI = A I RO I = I O F I ，则 OI BF I , | AF I = I AF I与O重合，即C、O、A三点共线，同理D、0、B三【证法三】设AC与X轴交于点OI CBI I AF I/' O F I = 1RF BC I CB II BFI I AFI丨O FABAFI AB I1 P11= 2【见证】+I AFI I BFIO与0重合，则即C、0、A三点共线

14、，同 理D、O、B三点也共线.7. A、O、B'三点共线，B、O、A'三点共线.2i1OA= (x , y ),211 2呼y2=2p22pI 21呼+十=02 2pfp【证法四】oc=( 2, y)，PP yi xi y 2= yi 22OC OA,且都以O为端点A、O、C三点共线，同 B、0、D三点共 理线【推广】过定点 P( m, 0)的直线与抛物线y2= 2px ( p> 0)相交于点A、B,过A、B两点分别作直线1： x=m的垂线，垂足分别为M、N,则A、O、N三点共线，B、O、M三点也共线，如下图:m n8.若IBF在第一家限,为宜线a/倾斜角则边m+ n【证

15、明】如图14,过、分别作准线B1的垂线，垂足分別为，过作 丄 于，D C B BE AD E设 I AFI = mt, I AF Iy1图14I I = I 丨，1 I = I I, I I = I I - I IAD AF BC BFAE AD BC=(mn) tI I ( -)-n在 RtA ABE 中，cos Z BAE =I AB I(m+ n) t m+ n/ cos= cos Z BAE= m+ Il【例6设经过抛物线 y2= 2px的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B,且丨AF I ： I BFI =3：1,则直线AB的倾斜角的大小为【答案】60 或120 .9.以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相 切；A' B'为直径的圆与焦点弦AB相切.【说明】如图15,设书是AF的中点,4方I则E的坐标为(2，2)，_p十2 Xi 1则点E到y轴的距离为d= 2= 2| AF丨故以AF为直径的圆与y轴相切，同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15,设M是AB的中点，作MN丄准线1于N,则1 1 1I MNI = 20 ADI + I BCI) =2(1 AF I + I BF I) =2| ABI1则圆心M到1的距离丨MNI = 21 AB