初中数学九大几何模型(1)

1、初中数学九大几何模型：OAB和OCD均为等边三角形；：OAB和OCD均为等腰直角三角形；：OAC OBD；AEB=90°；OE平分AED3）顶角相等的两任意等腰三角形：OAB和OCD均为等腰三角形；且COD= AOB：OACOBD；AEB= AOB；A图 1B OE平分AED13 旋转型相似1）一般情况【条件】 ： CD AB，将OCD旋转至右图的位置OO：右图中OCDOABOACOBD；延长AC交 BD于点E，必有BEC= BOOA（ 2）特殊情况【条件】 ： CD AB， AOB=9°0将OCD旋转至右图的位置A：右图中OCDOABOACOBD；延长AC交 BD于点E，

2、必有BEC= BOA；ABCD OODC OOAB tan OCD；BD AC；（ 2）全等型-120 °【条件】 ：AOB=2 DCE=12°；0OC平分AOB3【结论】 ：CD=C；E OD+OE=O； C S DCES OCD S OCE 3 OC24证明提示：可参考“全等型-90 °”证法一；如右下图：在OB上取一点F，使OF=O，证明COCF为等边三角形。（ 3）全等型- 任意角【条件】 ：AOB=，2DCE=180-2；CD=C；E【结论】 ：OC平分AOB；OD+OE=2O· Ccos； S DCE S OCD S OCE OC2 sin

3、cos 当DCE的一边交AO的延长线于D时（如右下图）：原结论变成： 。可参考上述第种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。B对角互补模型总结：常见初始条件：四边形对角互补，注意两点：四点共圆有直角三角形斜边中线；初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；注意OC平分AOB时，CDE= CED= COA= COB如何引导？90°1）角含半角模型90° -1：正方形ABCD；EAF=45°；ABCD周长的一半；：EF=DF+B； ECEF的周长为正方形也可以这样：正方形ABCD；EF=DF+B； E：AFG BE2）角含半角模型90° -2：正方

4、形ABCD；EAF=45°；：EF=DF-BE；3）角含半角模型90° -3：Rt ABC；DAE=45°；： BD 2 CE2 DE 2（如图1）若DAE旋转到ABC外部时，结论BD 2 CE 2 DE 2仍然成立（如图2）（ 4）角含半角模型90°变形【条件】：正方形ABCD；EAF=45°；【结论】：AHE为等腰直角三角形；证明：连接AC（方法不唯一）DAC= EAF=45°，DAH= CAE，又ACB= ADB=45°；DA ACDAHCAE，DA ACAH AEAHEADC，AHE为等腰直角三角形模型五：倍长中线类

5、模型1）倍长中线类模型-1 DF=EF；A：矩形ABCD；BD=BE；C： AF CF模型提取：有平行线AD BE；平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等ADFHEF。（ 2）倍长中线类模型-2【条件】 ：平行四边形ABCD；BC=2AB；AM=D；M CE AB；【结论】 ：EMD= 3 MEA辅助线：有平行AB CD，有中点AM=D，延长MEM，构造AMEDMF，连接CM构造等腰EMC， 等腰MCF。 （通过构造8 字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）模型六：相似三角形360°旋转模型1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型- 倍长中线法辅助线：延长三

6、角形；突破点：2）相似三角形（等腰直角）：ADE、 ABC均为等腰直角三角形；DF=BF； DF BFDF到点G，使FG=DF，连接CG、 BG、EF=CF；BD，证明BDG为等腰直角ABD CBG；难点：证明BAO= BCG：ADE、ABC均为等腰直角三角形；EF=CF；：DF=BF；DF BF辅助线：构造等腰直角AEG、AHC；360°旋转模型- 补全法DAE辅助线思路：将DF与 BF转化到CG与 EF。3）任意相似直角三角形360°旋转模型- 补全法：OABODC；OAB= ODC=9°；0BE=CE；：AE=DE；AED=2 ABOBA到 G，使AG=A，

7、延长BCD到点H使 DH=C，补全DOGB、OCHH辅助线：延长（ 4）任意相似直角三角形360°旋转模型- 倍长法【条件】 ：OABODC；OAB= ODC=9°；0BE=CE；【结论】 ：AE=DE；AED=2 ABO辅助线：延长DE至 M，使ME=D，将结论的两个条件转化为证明 EAMDABO，此为难点，将AMDABC继续转化为证明ABMAOD，使用两边成比例且夹角相等，OM1）最短路程模型一（将军饮马类）总结：右四图为常见的轴对称类最短路程问题， 最后都转化到： “两点之间，线段最短：解决；Al1l2特点：动点在直线上；起点，终点固定B'2）最短路程模型二（

8、点到直线类1）：OC平分AOB；M为 OB上一定点；P为 OC上一动点；Q为 OB：求MP+PQ最小时，P、 Q的位置？： A(0,4),B(-2,0),P(0,n5： n 为何值时，PB PA 最小？5求解方法：x 轴上取 C(2,0), 使 sin OAC= 5 ；过B 作 BD AC，交y 轴于上一动点；4）最短路程模型三（旋转类最值模型）点 E，即为所求；：线段OA=4， OB=2；OB绕点O在平面内360°旋转；： AB的最大值，最小值分别为多少？：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图所示，将问题转化为B最大值：OA+O；最小值： BOA-OBO最大值位置A 最小值位置217

9、BOAPOA 3 1：Rt OBC，OBC=3°；0：线段OA=4， OB=2；以点O为圆心，OB， OC为半径作圆；点P 是两圆所组成圆环内部（含边界）一点；：若PA的最大值为10，则OC= 6 ；若PA的最小值为1，则OC= 3 ；若 PA的最小值为2，则PC的取值范围是0<PC<2 OC=2；OA=1；点P 为 BC上动点（可与端点重合）；OBC绕点O旋转【结论】 ： PA最大值为OA+OB1= 2 3 ； PA的最小值为1 OB如下图，圆的最小半径为O到 BC垂线段长。PCPBB（ 注意这个结论）则 BA=AAAAA'CCBBAAEDAEECBBCBA8AAEEDCCAAO辅助线： 以 BC的垂直平分线为对称轴，作点 A的对称点A ， 连接AAABC中，B=2 C；AO结论： ADABAEACB 斜交型CCB斜交型D：如右图，AED= ACB=90°；AE× AB=AC× AD21AE斜交型CBEABC= ACE= CDE=9°；01）图：AABC= ACE= CDE=6°；0ABC= ACE= CDE=4°；5CDBAEECDDCBBAD