吉林大学2015离散2习题解答

1、离散数学 II习题习题判断题 对于对于有理数集合有理数集合Q以及有理数以及有理数乘法乘法 ，（，（Q,）可）可以做成一个群。（以做成一个群。（ ） 置换的乘积满足交换律。（置换的乘积满足交换律。（ ） 3次交代群是次交代群是3次对称群的一个真子群。（次对称群的一个真子群。（ ） 循环群的生成元未必唯一。（循环群的生成元未必唯一。（ ） 若若N是群是群G的正规子群，则的正规子群，则N在在G中的所有陪集关中的所有陪集关于陪集乘法做成一个群。（于陪集乘法做成一个群。（ ） 设设是群是群G1到群到群G2的同态，的同态，H是是G1的子群，则的子群，则(H)是是G2的子群。（的子群。（ ） 含壹环中至少有

2、两个元素。（含壹环中至少有两个元素。（ ） 格格中的两种运算都满足吸收律和等幂律。（中的两种运算都满足吸收律和等幂律。（ ）判断题 一个环至少包括一个环至少包括2个元素个元素。（ ） 元数元数5的群一定是交换群的群一定是交换群。（ ） 循环群的子群仍然是循环群循环群的子群仍然是循环群。（ ） 若同构的群看成是一个，只有若同构的群看成是一个，只有1个个4元群元群。（ ） 设集合设集合G=1,2,3,13, 在数的模在数的模14乘法下为群乘法下为群。（ ） S12=1,2,3,4,6,12，D是整除关系，部分序集（是整除关系，部分序集（S12, D）是格是格。（ ） 有限群有限群G的一个非空子集的

3、一个非空子集H,如果如果H对对G的运算是封闭的运算是封闭的的，则则H是是G的一个子群的一个子群。（ ） 域的子域的子体一定体一定满足满足交换律交换律。（。（ ） 在整区中在整区中,所有非所有非0元的加法元的加法周期周期都都相同相同。（。（ ） 模模6整数环是一种整区。（整数环是一种整区。（ ）简答题 请写出二元代数运算分配律和吸收律的定义请写出二元代数运算分配律和吸收律的定义。答：答：设设*和和 + 是集合是集合S上的两个二元代数运算上的两个二元代数运算：（1）如果如果对于对于S中任意三个元素中任意三个元素a、b、c，等式，等式a*(b+c)=(a*b)+(a*c)、(b+c)*a=(b*a)

4、+(c*a)都成立，都成立，则称运算则称运算 * 对对 + 满足分配律；满足分配律；（2）如果如果对于对于S中任意两个元素中任意两个元素a、b，等式，等式a*(a+b)=a、a+(a*b)=a都成立，则称运算都成立，则称运算 * 和和 + 满足满足吸收律吸收律。简答题 将将(1 2 3 4 5)(2 3 4 5 6)写成不相杂轮换乘积的形式。写成不相杂轮换乘积的形式。答：答： (1 2 4)(3 5 6)简答题 写出三次对称群中周期为写出三次对称群中周期为2的所有的所有元素。元素。答：答： (1 2)，(1 3) ，(2 3)。简答题 设设M=1,2,3,4,5,6，是是M的一个置换，的一个置

5、换， 求求由由生成的循环群生成的循环群()，并写出，并写出()的所有子群及生的所有子群及生成元素成元素。答：答： （1） () =0, 1, 2, 3, 4, 5，其中其中0=(1)，1=(1 4)(2 6 3)，2=(2 3 6)，3=(1 4)，4=(2 6 3) ，5=(1 4)(2 3 6)。351264654321简答题 设设M=1,2,3,4,5,6，是是M的一个置换，的一个置换， 求求由由生成的循环群生成的循环群()，并写出，并写出()的所有子群及生的所有子群及生成元素成元素。答：答： （2） ()共有共有4个子群：个子群：0，0, 3，0, 2, 4，0, 1, 2, 3, 4

6、, 5351264654321简答题 设设M=1,2,3,4,5,6，是是M的一个置换，的一个置换， 求求由由生成的循环群生成的循环群()，并写出，并写出()的所有子群及生的所有子群及生成元素成元素。答：答： （3） ()的生成元有两个，分别为的生成元有两个，分别为 1=(1 4)(2 6 3)和和5=(1 4)(2 3 6) 。351264654321简答题 设设a、b是群是群G的元素，的元素，a的周期为的周期为2，b的周期为的周期为3，且且ab=ba，问，问ab的周期是的周期是多少多少？答：答：6。简答题 整数整数加法群是否为加法群是否为循环群循环群？若是循环群若是循环群，请请给出给出一个

7、生成元。有理数加法群呢一个生成元。有理数加法群呢?答：是；答：是；1；不是。不是。简答题 循环群循环群G中共有中共有289个元素，那么个元素，那么G有多少个生成元有多少个生成元？答：答：共共 (269)=272个个生成元生成元。简答题 群群G中共有中共有9个元素，个元素，G的一个子群的一个子群H有有3个元素，个元素，那么那么H在在G中有多少个右陪集？有多少个中有多少个右陪集？有多少个左陪集？左陪集？答：答：3个个右陪集右陪集；3个个左陪集左陪集。简答题 元数最少的元数最少的非交换群非交换群中中有有多少多少个个元素？元素？答：答：6个个。简答题 设设 H1和和H2 都是有限群都是有限群G的正规子

8、群。的正规子群。若若 ，则，则答：答：不一定不一定。21HH 12HGHG是否必定成立？是否必定成立？简答题 G1=（Z，+），），G2=（R*，），其中，），其中R*为非零实数为非零实数集合，集合，+和分别表示数的加法和乘法。和分别表示数的加法和乘法。f为为G1到到G2内的映射，内的映射，（1）试说明）试说明f为为G1到到G2内的同态映射；内的同态映射； （2）求此同态映射的同态像）求此同态映射的同态像f(G1)以及同态核以及同态核N；（3）试写出）试写出N的所有的所有陪集陪集。f(x)=1, 当当x为偶数时为偶数时-1, 当当x为奇数时为奇数时简答题答：（答：（1）因为因为对对 a、bZ，

9、 若若a、b均为偶数，则均为偶数，则a+b为偶数为偶数， f(a+b)=1=11=f(a)f(b)； 若若a、b均为奇数，则均为奇数，则a+b为偶数为偶数， f(a+b)=1=(-1)(-1)=f(a)f(b)； 若若a、b一奇一偶，不妨设一奇一偶，不妨设a为奇数、为奇数、b为偶数，为偶数，则则a+b为奇数为奇数， f(a+b)=-1=(-1)1=f(a)f(b)。可见，可见，f为为G1到到G2内的同态内的同态映射映射。简答题 G1=（Z，+），），G2=（R*，），其中，），其中R*为非零实数为非零实数集合，集合，+和分别表示数的加法和乘法。和分别表示数的加法和乘法。f为为G1到到G2内的映

10、射，内的映射，（1）试说明）试说明f为为G1到到G2内的同态映射；内的同态映射； （2）求此同态映射的同态像）求此同态映射的同态像f(G1)以及同态核以及同态核N；（3）试写出）试写出N的所有的所有陪集陪集。f(x)=1, 当当x为偶数时为偶数时-1, 当当x为奇数时为奇数时答：（答：（2）同态同态像像f(G1)=1,-1， 同态同态核核N=x|x为偶数为偶数=2Z。简答题 G1=（Z，+），），G2=（R*，），其中，），其中R*为非零实数为非零实数集合，集合，+和分别表示数的加法和乘法。和分别表示数的加法和乘法。f为为G1到到G2内的映射，内的映射，（1）试说明）试说明f为为G1到到G2内

11、的同态映射；内的同态映射； （2）求此同态映射的同态像）求此同态映射的同态像f(G1)以及同态核以及同态核N；（3）试写出）试写出N的所有的所有陪集陪集。f(x)=1, 当当x为偶数时为偶数时-1, 当当x为奇数时为奇数时答：（答：（3）N的所有陪集为的所有陪集为2Z、2Z+1。简答题 （R，+）是实数加法群是实数加法群，设设f是否是否为同态映射为同态映射？如果是，请写出同态像和同态核。？如果是，请写出同态像和同态核。f：x e2 ix, x R简答题因为因为对对 a、bR，有有 f(a+b)=e2 i(a+b) =e2 ia e2 ib =f(a)f(b)所以所以f为为同态同态映射映射，其同

12、态像为，其同态像为 f(R)=e2 ix| x R=cos2 x+isin2 x | x R，相应的运算为复数乘法运算，单位元为相应的运算为复数乘法运算，单位元为1。同态同态核为核为 N=x| xR且且e2 ix =1=x| x为整数为整数简答题 写出写出环环R的两的两个平凡子环。个平凡子环。答：答：0；R。简答题 设设R12=0, 1, , 11是模是模12的剩余环的剩余环,即其中的加法和乘即其中的加法和乘法分别是模法分别是模12的加法和乘法。找出其中的加法和乘法。找出其中的的所有所有零因子。零因子。答：答：2、6、3、4。简答题 请举出不是格的部分序集的例子请举出不是格的部分序集的例子。b

13、dfega简答题 给定半序格给定半序格(S36,D)，其中，其中S36=1,2,3,4,6,9,12,18,36，D为为S36上的整除关系，相应的代数格记为上的整除关系，相应的代数格记为(S36, , )，那么，那么4 6=？、？、4 18=？ 1,6,9,18是否为是否为S36的代数子格？的代数子格？ 1,3,6,18是否为是否为S36的代数子格？的代数子格？答：答： 4 6=2； 4 18= 36；不是；是。不是；是。证明题证明：证明：10元群中必含周期为元群中必含周期为5的元素。的元素。证明：因证明：因10元群元群G中任一元素的周期必为中任一元素的周期必为10的因数，所的因数，所以以G中

14、任一元素周期只可能为中任一元素周期只可能为1、2、5和和10。 （1）如果）如果G中有周期为中有周期为10的元素的元素a，a2的周期就是的周期就是5。 （2）如果）如果G中不含有周期为中不含有周期为10的元素，则的元素，则G中除单位中除单位元元1外，其他元素周期只能为外，其他元素周期只能为2或或5。此时假设。此时假设G中不含中不含周期为周期为5的元素，即对的元素，即对 aG，都有，都有a2=1，即，即a=a-1。任。任取取G中中a、b，有，有ab=(ab)-1=b-1a-1=ba，G是是Abel群。取群。取G中中非非1的的a和和b，令，令H=1,a,b,ab，H为为G的有限子集且运算封的有限子

15、集且运算封闭，故为闭，故为G的子群，但的子群，但|H|=4，而，而|G|=10，与，与Lagrange定理矛盾。原假设不成立，故此时定理矛盾。原假设不成立，故此时G中必含周期为中必含周期为5的的元素。元素。 综上，综上，10元群中必含周期为元群中必含周期为5的元素。证毕。的元素。证毕。证明题 在在整数集整数集Z上定义上定义 a*b=a+b-2 对于任意对于任意 a,b Z。证证明：明： 为循环群为循环群?证明证明： （1）首先首先证明它是证明它是群。群。显然显然整数集整数集Z 非非空空且且*是是Z上上的具有的具有封闭性封闭性的二元代数运的二元代数运算；对算；对任意任意 a,b,c Z， (a*

16、b)*c=a+b+c-4=a*(b*c)，*运算运算满足满足结合律结合律；*运算运算单位元单位元为为2 ；对；对任意任意 aZ，a关于关于*运算的运算的逆元逆元是是a-1=4-a，因为因为a*a-1=a+a-1-2=2。可见。可见，为为群。群。（2）它它是一是一个无限循环群个无限循环群，生成元是，生成元是3和和1，其中其中 3n=n+2，1n=2-n。证明题证明证明：设设G是一个群，是一个群，a,b,cG,证明证明（1）a, a-1 和和b-1ab的周期相同的周期相同（2）ab和和ba的周期相同的周期相同（3）abc, bca和和cab的周期相同的周期相同.。证明：证明：（1）设）设 a的周期

17、为的周期为 k1，a-1的周期为的周期为 k2，b-1ab的周期为的周期为k3。 由由(a-1)k1=(ak1)-1=e-1=e 有有 k2|k1， 由由ak2=(a-1)k2)-1=e-1=e 有有 k1|k2，所以，所以 k1=k2。由由(b-1ab)k1=(b-1ab)(b-1ab).(b-1ab)=b-1ak1b=e有有k3|k1，由由ak3=b(b-1ab)(b-1ab).(b-1ab )b-1=b(b-1ab)k3b-1=e有有k1|k3，所以所以 k1=k3。综上。综上k1=k2=k3。证明题证明证明：设设G是一个群，是一个群，a,b,cG,证明证明（1）a, a-1 和和b-1

18、ab的周期相同的周期相同（2）ab和和ba的周期相同的周期相同（3）abc, bca和和cab的周期相同的周期相同.。证明：证明：（2）设）设 ab的的周期为周期为 k1，ba的的周期为周期为 k2。 由由(ba)k2=(ba)(ba)(ba)=(ba)k2-1(ba)=e 有有 (ba)-1=(ba)k2-1，那么那么(ab)k2=(ab)(ab)(ab)=a(ba)k2-1b=a(ba)-1b=e，可见，可见k1|k2，同理可证同理可证k2|k1，故，故k1= k2 。证明题证明证明：设设G是一个群，是一个群，a,b,cG,证明证明（1）a, a-1 和和b-1ab的周期相同的周期相同（2

19、）ab和和ba的周期相同的周期相同（3）abc, bca和和cab的周期相同的周期相同.。证明：证明：（3）设）设 abc的的周期为周期为 k1，bca的的周期为周期为 k2，cab的的周期为周期为k3。由由(bca)k2=(bca)(bca)(bca)=(bca)k2-1(bca)=e 有有 (bca)-1=(bca)k2-1，那么那么(abc)k2=(abc)(abc)(abc)=a(bca)k2-1bc=a(bca)-1bc=e，可见可见k1|k2，同理同理可证可证k2|k1、k1|k3、k3|k1，故，故k1= k2 = k3 。证明题证明：若群证明：若群G的的n阶子群有且只有一个，则

20、此子群必阶子群有且只有一个，则此子群必为为G的正规子群。的正规子群。证明：设证明：设H为为G的唯一的唯一n阶子群，可知：对任一阶子群，可知：对任一gG，gHg-1也为也为G的一个的一个n阶子群，显然阶子群，显然gHg-1=H，即，即H为为G的正规子群。证毕。的正规子群。证毕。证明题设设Zn=0, 1, 2, , n-1，(Zn , n)为模为模n加法群。证明：加法群。证明：(Z4 , 4)到到(Z5 , 5)之间仅有一种同态映射。之间仅有一种同态映射。证明：因为证明：因为(Z4, 4)和和(Z5, 5)都是群，所以由定理都是群，所以由定理6.5.1知，如果知，如果 是是(Z4 , 4)到到(Z5 , 5)的同态映射，则的同态映射，则同态像同态像 (Z4 )是是(Z5 , 5)的子群。的子群。(Z5 , 5)的元素个数为的元素个数为5是质数，所以其只有两个平凡子群，一个是是质数，所以其只有两个平凡子群，一个是(0 , 5)，另一个是，另一个是(Z5 , 5)本身。如果令本身。如果令 是是Z4到到Z5的函数，且的函数，且 (k)=0 (k Z4)。容易验证，。容易验证， 是是(Z4 , 4)到到(Z5 , 5)的同态映射，且的同态映射，且 的同