复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用

1、复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用攀枝花公路建设公司杨小杰【摘要】在现有公路中线坐标计算的公式中，对于直线、圆曲线、缓和曲线(或卵形曲线 )等中桩坐标的计算需用切线支距公式等不同的公式。而用复化辛卜生公式不仅能解决不同线形的坐标计算所需多个公式问题，而且计算的方向完全是可逆的，其计算精度也可根据需要自行判断决定。【关键词】 辛卜生公式中线坐标计算应用在公路中线坐标计算中，我们通常采用切线支距公式等不同公式来计算直线或曲线上各点的坐标。但当计算不同的线形时就需用不同的计算公式，这就为计算带来不便。尤其是在设有较小圆曲线半径（即相对于半径越小而缓和曲线越长时）的缓和曲线（或卵形曲线）上的坐标

2、计算时，如公式选用不当或切线支距公式所带项数较少时就会出现较大的计算误差，即便是能对切线支距公式进行多项展开，也会增加计算的难度。而用复化辛卜生公式不仅能解决不同曲线线型和直线上的坐标计算问题，而且用复化辛卜生公式计算完全是可逆的（即：可顺前进方向也可逆向计算），尤其在计算第二缓和曲线和卵形曲线时显得尤为方便。用辛卜生公式计算坐标的精度可由人为或程序自行判断，其计算结果也完全能保证施工放样时坐标计算的精度要求。因此，可以说复化辛卜生公式是一个计算公路中线各种线形坐标的通用公式。下面笔者就该公式在公路中线坐标计算中的具体应用进行实例解析（本文以卵形曲线坐标的计算为例）。一、复化辛卜生公式Hn-1

3、X=XA+(cosaA+4 cosa k+2 261k=0Hn-1Y=YA+(sinaA+4 sina k+126k=02n-1 cosa k+cosa i )k=1n-1 sina k +sina i )k=1公式（ 1）X A 曲线元起点 X 坐标XA曲线元起点 X坐标A 曲线元起点 Y 坐标Y曲线元起点 Y坐标Aa A 曲线曲元线起点元切起线方点位切角线方位角a k+11曲线元上 2n等分点处的切线方位角a K+ 2 曲线元上 2n 等分点处的切线方位角aK2曲线元上 n等分点处的切线方位角aiK曲线元上待求点处切线方位角 曲线元上 n 等分点处的切线方位角a i 曲线元上待求点处切线方

4、位角，可用如下3 种方法计算：1利用公式（3）求得曲率代入公式（2）计算2利用曲线元上已知推算起点和终点曲率用内插法求得曲率代入公式（2）计算3利用切线角公式计算创建时间： 2008-7-24 21 时 5 分复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用攀枝花公路建设公司杨小杰注 1： aA 为推算起点的切线方位角，以实际推算方向为前进方向，而不是指路线设计的前进方向。式中：H= Zi - ZA ÷nai=aA ±90(i +A)(Z i- ZA)÷(公式 2)注 2： 当桩号顺推算曲线元前进方向递增且为左转时取-当桩号顺推算曲线元前进方向递增且为右转时取当桩号顺推算

5、曲线元前进方向递减且为左转时取当桩号顺推算曲线元前进方向递减且为右转时取+-i=A +(B-A ) (Z i-Z A ) ÷(ZB-Z A )(公式 3)Z i 待求点桩号Z A 曲线元推算起点桩号Z B 曲线元终点桩号i 曲线元上待求点曲率A 曲线元推算起点曲率B 曲线元终点曲率二、算例例：已知雅（安）攀（枝花）高速公路西昌西宁立交 A 匝道一卵形曲线（相关参数见图一、图二、图三，其计算略。），相关设计数据见表一。现用辛卜生公式来计算卵形曲线中桩坐标：创建时间： 2008-7-24 21 时 5 分复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用"00'00°0

6、HZ AK0+444.032 Z92°17' 26.2"LSHA- 72A1- 50K0809. 1H0+616 .0Y-791S60+RL-261301A84.03-5302 +YH151878. 32.2+11H722AY5+. 48-237-2RY99H 9138.293108886.2 .°12'30602. 1+90'80"90Z=1H=xy图一表一：卵形曲线相关设计数据主点坐标切线方位角桩号XY° ”ZH9987.40310059.378921726.2AK0+090HY19968.98110125.3411

7、322351.6AK0+160YH19910.60310136.7912052433.6AK0+223.715HY29880.43810100.9042512418.5AK0+271.881YH29922.31610007.9093370454.2AK0+384.032HZ9981.36310000.00000000AK0+444.032攀枝花公路建设公司杨小杰"1.20'21°80MY1Da5a2 20513.7°24' 33. 6"322. 881+11H27YHY2+cXYH2a1+384.0BHZ' +368.21332图

8、二108°12' 0H2. 1"' ZH+3. 999Y6428.- 8R+2YHA211223+-7R712235.81-50.78151图三（一）由 +271.881 推算 Zi=+223.715 的坐标（逆向） ， n 取 2 等分用公式 (3) 、公式（ 2）计算 +247.798 处曲线曲率及切线方位角: +247.79 8=1÷75+(1 ÷50-1 ÷75) × (247.798-271.881)÷ (223.715-271.881)=0.016666667a+247.798 =71°

9、 24 18.5 ” +90 × (0.016666667+1 ÷ 75) × (247.798-271.881)÷ 创建时间： 2008-7-24 21 时 5 分复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用攀枝花公路建设公司杨小杰=50° 42 26.37 ”其它各点依次代入公式计算，结果见表二：表二：曲率及切线方位角计算表n等分点处曲线曲率n等分点处2n 等 分 点 处 曲 线 曲 率2n等分点处桩号公式 (3)内插法切线方位角公式 (3)内插法切线方位角计 算计 算°”计算计 算° ”+271.8810.01333333

10、3=1/75712418.5+259.8400.0150.015613752.2+247.7980.0166666670.016666667504226.4+235.7570.0183333330.018333333338380.96+223.7150.02=1/50252436" ). 624' 33°42'26. 37"725°501(6°37' 52. 22"°24'1. 99"18°38' 0. 96"8. 5"24' 353R

11、AZ°Z-2+252RB+7725.1128-53.780115切线方位角图示1将表中计算出的数据代入公式（1）求得 +223.715 中桩坐标如下：X=9880.438+(271.881-223.715)2÷6÷× (cos71 24° 18.5”+4(cos61 37° 52.22” +cos38 °38 0.96” )+2cos50 °42 26.37” + cos25 24°35.99” )=9910.5975(设计值： 9910.603)Y=10100.904+(271.881-223.715)

12、2÷6÷× (sin71 24°18.5” +4(sin61 37° 52.22” +sin38 38° 0.96” )+2sin50 42°26.37”+ sin25 24° 35.99” )=10136.7945(设计值： 10136.791)注 2：图示中括号内方位角为设计给定值（二）由 +223.715 推算 Zi=+271.881 的坐标（顺向） ， n 取 2 等分用公式 (3) 计算 +247.798 处曲线曲率及方位角 :创建时间： 2008-7-24 21 时 5 分复化辛卜生公式在公路中线坐标计

13、算中的应用攀枝花公路建设公司杨小杰+247.798 =1÷50-(1 ÷75-1 ÷50) × (247.798-223.715)÷(271.881-223.715)=0.0166666667a+247.798 =205°24 33.6”+90× (0.016666667+1 ÷50)× (247.798-223.715) ÷=230 °4223.98”其它各点依次代入公式计算，结果见表三：表三：曲率及切线方位角计算表n 等 分 点 处 曲 线 曲 率 n 等 分 点 处 2 n等 分

14、 点 处 曲 线 曲 率 2 n 等 分 点 处桩号公式 (3)内插法切线方位角公式 (3)内插法切线方位角计 算计 算°”计算计 算° ”+223.7150.02=1/502052433.6+235.7570.0183333330.01833333332183758.6+247.7980.0166666660.0166666662304224.0+259.8400.0150.0152413749.8+271.8810.013333333=1/752512418.533. 6"25'8" 1°24' 16. 1230°

15、42'. 91"242324( 255°1° 3701'4 9.832°. 57""24' 18. 5")18°37' 58Z2RBZ2+-2+77A5 .1R2128-3850 .7115切线方位角图示2X=9910.603+(271.881-223.715)2÷6÷× (cos205 24° 33.6”+4(cos218 37° 58.87” +cos241 °3749.83” )+2cos230 °42 23

16、.98” + cos251 24° 16.11” )=9880.4431(设计值： 9880.438)Y=10136.791+(271.881-223.715)2÷6÷× (sin205 24° 33.6”+4(sin218 37°58.87” +sin241 37°49.83”)+2sin230 42° 23.98”+ sin251 24° 16.11” )=10100.9008(设计值： 10100.904)由上可知，利用复化辛卜生公式计算路线坐标时可顺向或逆向计算。（三）前面正、反向的计算均是从卵形

17、曲线部分推算的，现在我们以卵形曲线所在完整缓和曲线的推算起点HZ =+368.213 点来推算终点+223.715 和中间点 +271.881 的坐标创建时间： 2008-7-24 21 时 5 分复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用攀枝花公路建设公司杨小杰：=90L2÷缓和曲线切线角计算公式(RL S)则有方位角： a±±2÷公式(4)i=aA= aA 90L(RL S)其中： R=50L S=368.213-223.715=144.498注 3：公式（ 4）中 ±号判断法则见注21.计算 Zi=+223.715中桩坐标表四：曲线元上等分

18、点曲率及切线方位角计算表(n 取 4 等分 )n 等分点处2n 等分点处n等分点处切线方位角2n 等分点处曲线切线方位角桩 号曲线曲 率°”曲率°”公式 (3)内插法公式 (2) 计算公式 (4) 计算公式 (3)内插法公式 (2)计算公式 (4)计算计算计 算计 算计 算+368.2130（直线上）1081202.1+350.1510.00250.0025106 54 25.16106 54 25.22+332.0890.0050.005103 01 34.33103 01 34.58+314.0260.00750.007596 33 28.8396 33 28.64+2

19、95.9640.010.0187 30 09.9787 30 9.97+277.9020.01250.012575 51 37.2275 51 37.54+259.8400.0150.01561 37 50.5861 37 51.35+241.7770.01750.017544 48 48.2544 48 47.8+223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.5809. 97"99 °00'0587°30'.6 "105°54' 02"93° 49'38.4 2&q

20、uot;103°. 9'16.0944. 02"0 1'34. 587 "1'"2410°0°017188°12' 007°372. 1"+' 32.49 "R27H12-.8'Z78+5136.8213+223. 715R1- 50切线方位角图示3X=9890.293+(368.213-223.715)4÷6÷× (cos108 12° 02.1”+4× (cos106 54° 25.2

21、2” +cos96 °33 28.64”+ cos75 51°37.54”+ cos44 48°47.8”)+2 × (cos103 01°34.58”+ cos87 30°9.97” +cos61 °3751.35”)创建时间： 2008-7-24 21 时 5 分复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用攀枝花公路建设公司杨小杰+ cos25 24° 33.58”) =9910.5963 (设计值： 9910.603)Y=10006.838+ (368.213-223.715)4÷6×

22、7;(sin108 12° 02.1”+4× (sin106 54° 25.22” +sin96 33° 28.64”+ sin75 51°37.54”+ sin44 48°47.8”)+2 × (sin103 01°34.58”+ sin87 30°9.97” +sin61 37°51.35”)+ sin25 24° 33.58” )=10136.7925(设计值： 10136.791)2.计算 zi=+271.881 中桩坐标表五：曲线元上等分点曲率及切线方位角计算表(n 取 4等

23、分 )n 等分点处2n 等分点处n等分点处切线方位角2n 等分点处曲线切线方位角桩号曲线曲率°”曲率°”内插法公式 (2) 计算公式 (4) 计算内插法公式 (2)计算公式 (4)计算计算计算+368.21301081202.1+356.1720.001666667107 37 32.49+344.1300.003333333105 54 02.97+332.0890.005103 01 34.58+320.0470.00666666799 00 05.6+308.0060.00833333393 49 38.42+295.9640.0187 30 09.97+283.92

24、30.01166666780 01 44.02+271.8810.013333333=1/7571 24 16.09+223.7150.02=1/5025 24 33.5825 24 33.58创建时间： 2008-7-24 21 时 5 分复化辛卜生公式在公路中线坐标计算中的应用攀枝花公路建设公司杨小杰87° 30'09.97"99° 0005.6 "'105° 54"0. 09""93°49'38 .42103°0'22. 97"61'3.0

25、144. 5824'°01' 4"107° 37' 32. 49"10871°+80° 12' 02. 1"2R7H12-.8'Z78+5136.8213R+223. 7151- 50切线方位角图示4X=9890.293+(368.213-271.881)4÷6÷× (cos108 12° 2.1”+4(cos107 37° 32.49” +cos103 °0134.58”+ cos93 49°38.42”+ cos80 01°4