3-2-导数的运算法则

1、第二节第二节 导数的运算法则导数的运算法则一、求导法则一、求导法则二、基本初等函数的求导公式二、基本初等函数的求导公式三、小结三、小结( )( )(1).() v xv xu xu x 1. 函函数数和和、差差、积积、商商的的求求导导法法则则： 如如果果函函数数、在在点点 处处可可导导，则则它它们们的的和和、差差、积积、商商（分分母母不不为为零零）在在点点 处处也也可可导导，并并且且( )( )u xv xxx一、求导法则()()yu xv x ()() ()()yu xxv xxu xv x 证明证明 令令 ()( ) ()( )u xxu xv xxv x .yuvxxx .uv 00li

2、m, lim,xxuvuvxx 000limlimlim.xxxyuvyuvxxx ()( ) ()( )u xxu xv xxv x 代数和的导数等于导数的代数和代数和的导数等于导数的代数和. .于是于是( )( )yu xv x此法则可推广到任意有限项的情形，即此法则可推广到任意有限项的情形，即0 例例已已知知求求31sinln2,.yxxy 3(sinln2)yxx解解 ()()() 23cos .xx sin xln23x常数常数( )( )()v xv xu xu x ()C CCuv 当当（ 为为常常量量）时时，( )( )( )(2)(.)( )u xu xvxv xuxxv 常

3、数因子可提到导数符号外面常数因子可提到导数符号外面. .C.C v cos2ln2sin.xxxxxxx (2) cos2(cos )xxxx221() lnxxxx ( )( )( )( )( )( )u xu xu xv xv xv x 常数常数()( vuxx 22ln2cos,.yxxxxy 例例已已知知求求2(ln2cos)yxxxx 解解2(ln)(2cos)()xxxx ()0 ln x2x练习题练习题3231.25372.4cossin23.ln (sincos )yxxxyxxyxxx 求下列函数的导数求下列函数的导数:221.6103;2.4sin ;13.(sincos

4、)ln (cossin )yxxyxxyxxxxxx 3 3 ( )( )( )( )( ).( )u xu xvxv xuxxv 积的求导法则也可推广到任意有限个函数之积积的求导法则也可推广到任意有限个函数之积.例如例如： ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ).u xv xw xu x v x w xu x v x w xu x v x w x 例例3 3 求求 的导数的导数解解2sincoslnyxxxco2scoslnxxx( si2sn)inlnxxx 2sincos1xxx.2sin1ln2cos2xxxx (2sincosl)nyxxx

5、 (cos2s nln)ixxx 2sincos(ln )xxx 0 21(1)( )1( )( )( )v xvxv xvx 2( )( )( )(3)( ( )0).( )( )( )u xv xu xv xvxu xv xv x 当当时时( )1,u x 2().()vxvx 解解sin(tan)()cosxyxx xxxxx2cos)(cossincos)(sin 221sec.cosxxtan ,.yxy 例例4 4 已已知知求求22(tan )sec(cot)csc.xxxx ， xxx222cossincos 2( )( ) ( )( ) ( )( )( )u xu x v xu

6、 x v xv xvx sincosxx () 解解1(sec)()cosyxx 2(cos )cosxx 2sincosxx sectan .xx sec ,.yxy 例例5 5 已已知知求求(sec )sectan ,(csc )csccot .xxxxxx 21( )( )( )vxv xvx 练练 习习 题题3221.2tansec12ln2.3ln2csc3.1yxxxxyxxxyx 求下列函数的导数求下列函数的导数:2223222221.2secsectan ;232.(3)(3ln)(2ln)(2 )(3ln)13. 2csccot(1)-4 csc (1)yxxxyxxxxxx

7、xxxxyxxxxxx 1 1 设设是是由由函函数数及及复复合合而而成成的的函函数数，并并设设函函数数在在点点 处处可可导导，在在对对应应点点处处也也可可导导，则则有有复复合合函函数数的的求求导导法法则则： ( )( )( )( )( )( )yfxyf uuxuxxyf uux yyuxu x dd ddd ddddddd此此式式也也可可写写为为( )( ),ufxyx d dd d.xuxyyu中间变中间变量量自变自变量量2. 复合函数的求导法则复合函数的求导法则.xxuuvyvydddddddddddddddd 复复合合函函数数的的求求导导法法则则可可叙叙述述为为：复复合合函函数数的的导

8、导数数，等等于于函函数数对对中中间间变变量量的的导导数数乘乘以以中中间间变变量量对对自自变变量量的的导导数数. .( ),( ),( ), ( )yfuv vyxxuf 设设则则复复合合函函数数的的求求导导法法则则为为： 中间变量中间变量中间变量中间变量自变量自变量sin ,uyxu 解解 令令 (sin ) ()uyuuxyxdddddddd1coscos.22xuxxsin,.yxy 例例8 8求求112211(sin )cos ,()()22uuxxxx 3ln ,cos ,vuuvxy 解解 令令 233tan.xx 221sin( sin ) 33cosvvxxuv 3(ln ) (

9、cos ) ()uvxxuyuvxyv 3lncos,.yxy 例例9 9求求321(ln )(cos )sin()3.uvvxxu ， ， 例例1010.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xxu例例1111.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx练练 习习 题题23221.sin12.123.sincosnxyxyxyxnx 求下列函数的导数求下列函数的导数:2223222122241.cos;

10、 2.(12)(1)133.sincoscos()sinsin()nnxxxyyxxxynxxnxnxnx 定义定义: :( , )0F x yy 由由方方程程所所确确定定的的 对对于于( )yf x 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.x的的函函数数关关系系称称为为隐隐函函数数.形形式式称称为为显显函函数数3.3.用用复复合合函函数数求求导导法法则则求求隐隐函函数数的的导导数数2ln0 xyyl

11、n ( ).y x复复合合函函数数解解 因因为为 是是 的的函函数数，所所以以是是 的的lnyxyx2.1xyyy 从从而而 20,yxyy 2ln0.xyyyxy 例例1 12 2 方方程程确确定定了了 是是 的的隐隐函函数数，求求于于是是方方程程两两边边对对 求求导导数数有有xln()ln,()u uxxyy 例例1313.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对x23x)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程

12、为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为, xy 即即显然通过原点显然通过原点.23y y 3y 3 xy 练练 习习 题题sin()yxy1、求下面的方程所确定的隐函数的导数、求下面的方程所确定的隐函数的导数:2、求椭圆、求椭圆2231(2,3)1692xy 在在点点处处的的.切切线线方方程程1331.; 2.3(2)sec()124yyxxy 4.对数求导法对数求导法:sin.xyx 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导方法求出导数求导方法求出导数.适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数

13、相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu(1)(2),(3)(4)xxyxx 例例14 求函数求函数 的导数的导数 (1)(2)(3)(4)xxyxx 111111()21234yyxxxx 1111()21234yyxxxx 解解 两边取对数两边取对数 得得上式两边对上式两边对x求导求导 得得 1lnln|1|ln|2|ln|3|ln|4|2yxxxx例例1515解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对x1yy )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx coslnxx1si

14、n xx)1ln2(12 xxx1534)2(21)1()3(254 xxxxxx练练 习习 题题对对等等式式的的两两边边取取自自然然对对数数，有有yx 1.()xR 幂幂函函数数的的导导数数二、基本初等函数的求导公式lnln .yx 两两端端对对 求求导导得得,yxyx 于于是是 ,yxyxx 1().xx 对对数数求求导导法法y=y(x)2.(0,1)xyaaa指指数数函函数数且且的的导导数数两两端端对对 求求导导得得 ln ,yxay 于于是是 ln ,yya 即即 ()ln .xxaaa lnln .yxa 使使用用对对数数求求导导法法，有有().eeeexx .以以 为为底底的的指指

15、数数函函数数的的导导数数仍仍是是它它本本身身e ea 特特别别当当e e时时，存存在在反反函函数数等等式式两两端端对对 求求导导得得：sin ,xyx 3. 反反三三角角函函数数的的导导数数1cos.y y 由由此此得得 211,cos1sinyyy 21(arcsin ).1xx 即即有有 y=y(x)arcsin ,( 1,1),(, ),2 2yx xy 设设则则 21(arccos );1xx 21(arctan );1xx 同同理理，我我们们有有21(arccot).1xx 2()0(sin)cos(tan)sec(sec)sectanCxxxxxxx 基本初等函数的导数公式基本初等

16、函数的导数公式12()(cos )sin(cot)csc(csc )csccotxxxxxxxxx 221(arcsin)11(arctan)1xxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arcaxxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 例例1616.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 例例1717.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy222221122xaxax .22xa

17、)0( a2222aax 解解1( )arcsinarctan,(1).2tf tft 例例1 18 8 设设 求求y=arctanu,u=1/t22211211( )1( )2ttt 1( )(arcsinarctan )2tftt 由由221( )( )211( )1( )2tttt 1(arcsin)(arctan )2tty=arcsinu ,u=t/2222112( )11( )1( )2tfttt 222111121(1).12131( )1( )12f 从从而而例例1919.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对xdyyxdx 解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 xe 0ydyedx222101(1) (2) ln(1) 1012(3)arctan (4) arccos21xxxxyyeextyyt 求下列函数的导数求下列函数的导数:练练 习习 题题2222222ln10 10(1) (2) (101)142(1)(3)arctan (4) 42(1)|1|xx