线性规划问题的常见题型

1、关于x、y的二元一次不等式组称为对变量x、y的约束条件，把要求最值的满足约束条件的函数线性规划问题的常见题型吴小五李兰琼（汨罗市第一中学 湖南 汨罗414400）摘要线性规划作为高中数学中一个比较常用的知识点，也是高考中的重要考点，巧妙利用该知识，可以对函数最值、 平面图形的面积、斜率范围、参数取值范围、概率问题和实际问题的解决大为简化。本文就线性规划问题简要介绍几 种常见的题型。关键词线性规划问题；可行域；求最优解中图分类号G623.5 文献标识码A（m、n为常数）称为目标函数，在线性约束条件下求目标函数的最值问题统称为线性规划问题。线性规划作为高中数学相对独立的一个知识点，也是高考的一个重

2、要考点（近几年各地高考试题涉及线性规划知识点的试题频频出现）。高中数学中的线性规 划体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合思想，也顺应当今新课改和高考改革的趋势。如果目标函数（其中m、n为常数，x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入上述函数，得到一组对应z值，最大的那个数为函数z的最大值，最小的那个数为函数z的最小值。在线性规划中，这种求最值的方法叫做角点法。若求函数的最值还有一种方法，这种方法的步骤是：第一步，画出可行域（画出线性约束条件所表示的可行域）；第二步，作直线，平移直线lo （据可行域，将直

3、线lo平行移动）；第三步，求出最优解（X，y）;第四步，将最优解（x，y）代入我认为在线性规划中问题解决过程中，应突破 画"（画出线性约束条件所表示的可行域）、 移"（作平行直线）、求"（解方程组求出最优解），即可轻松解决。线性规划问题的常见题型有以下七类，现举例说明如下:1.求函数的最值例1.（2009天津高考试题）设变量x、y满足约束条件I'* -丁 -则目标函数的最小值为（）C、8D、23解析:作出可行域如图阴影所示，依题意,该题有最小值。方法一：易求得 A（ 4，5），B（ 1，2），C（2，1），将角点坐标分别代入得z的值分别为23、8、7,所以

4、,选B.方法二：作直线-，将10平移至C处，此时.2 =在y轴上的截距为-有最小值，从而 z有最小值，由2.求平面图形的面积為十畀二？2x-y = 3得C（2，1），所以,，选B.<0go例2,（ 2008年安徽高考试题）若A为不等式组P -X-2，表示的平面区域，则当a从一2连续变化到1时，动直线扫过A中的那部分区域的面积为分析：由图知 BCO为等腰直角三角形, BDE为等腰直角三角形且Dx2x2-xlx =2 2 2131 “ 一7X3x-xlxl =22243.求斜率的范围A>1例3. （2007年辽宁高考试题）已知变量x、y满足约束条件y，则-的取值范围是（B、（一迥习 U

5、6）DJ3.6答案选A.4.求距离例4.（2007年山东高考试题）设D是不等式组表示的平面区域，则D中的点P（x,y）到直线距离的最大值是分析：可行域如右图阴影部分，观察得到的距离最大，值是例5. （2006年湖南高考题）已知* x-y+l<032x-y-2 < 0.的最小值是分析：可行域如右图阴影部分，由图知A（ 1, 2）到原点的距离最小，所以，'' ；-5求参数取值范围H十尹21* x-y > -2a-y 2例6. （2009年陕西试题）若x、y满足约束条件、目标函数'仅在点（1,0）处取得最小值，则a的取值范围是（）分析：作出可行域如图所示，直

6、线仅在点(i,o)处取得最小值，由图象可知2，即4 <a < 2.其答案为B6.求概率例7. (2007年宁夏高考试题)设关于x的一元二次方程为二 I 一-口I -；"(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率;(2)若a是从区间0,3任取一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率，因为分析：设方程亠 一”上 - 有实根"为条件A，方程1 -u/l - 有实根时三 即； L-，所以左二二，从而方程-有实根的充要条件为：i 打/2/a3 L（1）基本事件的总数为J :; - =-

7、，事件A的个数为4+3+2=9,所以,（2）试验的全部结果所构成的区域为（匕0）|0莖戊筈$ 0<6<2）构成事件A的区域为匕）|0兰口兰3 0玄b卷2,百，作出可行域，则，所求概率为兀4）二7.解决实际问题例8.（ 2009年四川高考试题）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用 A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗 A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可 获得的最大利润是（）A、12万元B、20万元C、25万元 D、27万元分析：消耗毫f1=1 厂 口口甲乙A31B23利润53由题意得可行域如图中阴影所示由图可知，当x、y在