2017中考射影定理及其运用

1、做三角修TN事定的广富亶将射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中 应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三 角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练 地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。一、射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边 上的射影和斜边的比例中项。如图（1 ）: RFABC中，若CD为高， 则有CD2 = B DAD、B C2

2、 = BDAB 或AC2 = AD*AB0二、变式推广1 .逆用 如图（1 ）:若AA B C中， AD 或 AC2 = ADAB 或 BC2=BDAB 直角三角形。C 4 A BB困CD为高,且有DC2=BD,则有nDCB=nA或nA CD =zB ,均可等到 ABC为2 . 一般化，若 A B C不为直角三角形，当点D满足一定条件时， 简称：射影定理变式（2）如图（2 ）: A B C 中，D 为 A B上一点，若nC D B 二 nAC B B =zA ,则有aCDBaACB ,可得BC2:B DAB :反之,若吓类似地仍有部分结论成立。（后文，或/DC、B C 中，/ D为A B上一点

3、，且有B C2=B DA B，则有dCDBB = z A C B ,或nD C B = z Ao三、应用例1如图（3 ）,已知：等腰三角形ABC中，AB求证：4 D HD A = B C2分析：易证 nB AD =zC AD=9Oo-zC = zHBD , B D2 = D HD A,又BC=2BD,故有结论成立。（证明略）“ACB，可得到/CD ,Z_2ADR图（2 ）=A C，高AD、BE交于点H ,4联想到射影定理变式（2 ）,可得/ /AX 2-IVBD0图1 3）vzB=zFDA-zBAD ,nF AC=nB ,又nA FC公共,例2 如图（4 ）:已知。中，D为弧AC中点,过点D的

4、弦B D被弦AC分为4和1 2两部分，求D C 分析：易得到nDBC二nABD二nDCE，满足射影定理变式（2 ）的条件， 故有CD2=DEDB ,易求得DC二8（解略）例3已知：如图（5 ）, aA B C中，A D的垂直平分线交A B于点E ,交AD于点H ,交AC于点G ,交B C的延长线于点F ,求证：D F 2 = C FB Fo证明：连A F , vF H垂直平分AD ,F A = F D , zF AD=zFD A ,人口平分/8庆。,azCAD =zB AD , az FAD -nCAD = nFDA-nBAD ,.一 A F C-B F A/.A F 2 = C F-B F

5、一.D F 2 = C FB F。射影定理练习【选择题】1、已知直角三角形aABC中,斜边AB=5cm,BC=2cm , D为AC上的一点，DE上AB交AB于E ,且AD=3.2cm ,贝ij DE二（）A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm2、如图1-1 ,在RSA3C中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长A、1B、2C、3D、4CLB1-13、在 RtziABC中，NA4c = 90),从。1.8。于点口，若二=2 ,贝iJ&-=()AB 4 CD人 3 4八 16 9Av -B、一C、D、43916【填空题】5

6、、ABC 中，ZA = 90 , AO_L 8c于点 D , AD=6 , BD=12 ,贝U CD=, AC=, AB2 -. AC2 =o6、如图 2-1 ,在 RtABC 中,ZACB = 90 , CD LAB , AC=6 , AD=3.6 ,则 BC=【解答题】7、已知 CD 是ABC的高，DELCA.DF LCB ,如图 3-1 ,求证：aCEFscBA8、已知NCA8 = 90 , ADCB , &ACE , A3厂是正三角形，求证：DELDF10、如图，在Rt-ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上,DHBM且与AC的延长线交于点E .求(2 ) AECM=ACCD 11、已知：如图，等腰ABC中，AB=AC , ADBC于D ,过点B做射线BG ,交AD、AC于E、F两点，与过点C平行于AB