123相似三角形的判定3三边对应成比例精编版

1、第第1章章 图形的相似图形的相似 一、知识回顾一、知识回顾: : 定义 全等全等三角三角形形 相似相似三角三角形形 判定方法 三角、三边对应三角、三边对应角边角 角角边 边角边 边边边 相等的两个三角相等的两个三角（ASA） （AAS） （SAS） （SSS） 形全等形全等。 三角对应相等，三角对应相等，有两角对应相三边对应成比例三边对应成比例等的两三角形相似（AA） 的两个三角形相的两个三角形相似似。 两边对应成比例，且夹角相等（SAS） ？ 类似全等三角形的判定，除上述外，还有类似全等三角形的判定，除上述外，还有其他情况吗？继续探索三角形相似的条件。其他情况吗？继续探索三角形相似的条件。

2、三边对应成比例三边对应成比例 A A B B C C ABBCAC=ABBCAC 是否有是否有ABCABCA AB BC C？ 在纸上画两个三角形在纸上画两个三角形ABC 和和 ABC ,使使AB =4厘米，厘米， AC =6厘厘米，米， BC =8厘米，厘米，AB =2厘米，厘米， AC =3厘米厘米 ，BC =4厘米厘米. 回答下面的问题：回答下面的问题： A AB BC AC,(1)(1)分别计算分别计算 ， ABBCAC实验与探究 4 cm 6cm 这三个比值相等吗？这三个比值相等吗？ (2)(2)剪下画出的三角形剪下画出的三角形, ,利用叠合的方法利用叠合的方法, , B A 2 c

3、m 8 cm 检验对应内角之间具有怎样的大小关系检验对应内角之间具有怎样的大小关系? ? C (3)(3)ABCABC与与ABC 相似吗相似吗? ?为什么为什么? ? 3cm B 4 cm C 如果改变如果改变 ABC与与DEF的边长，并保持的边长，并保持 ABBCAC AB?BC?AC，还能得到同样的结论吗？，还能得到同样的结论吗？ 验验证证A A B B C A AA C B =B ABC ABC B C ABBCAC?ABBCACABC ABC 已知已知:如图如图ABC和和ABC中中AB:AB=AC:AC=BC:BC. 求证求证:ABCABC A 证明证明: :在在ABCABC的边的边A

4、B(AB(或延或延长线长线) )上截取上截取AD=AB, AD=AB, B A C 过点过点D D作作DEBCDEBC交交ACAC于点于点E. E. B D E C A ?B?A ?C?B? C?已知已知:如图如图ABC和和 A?B?C?中中, ABACBC求证求证:ABCABC A 证明证明: :在在ABCABC的边的边AB(AB(或延长线或延长线) )上截取上截取AD=AAD=AB B, , 过点过点D D作作DEBCDEBC交交ACAC于点于点E. E. ADAEDE ADEADEABC , ABC , AB?AC?BCA ?B?A?C?B? C? 又又 ?ABACBC? ?ADAB A

5、D?A? B? ,?ABABB A C D DEB? C? EAC? A?,? . . BCBC CACAE 因此因此 . . DE?B? C? ,EA?C? A? ADEA ? B? C? A? B? C?ABC B C 判定方法判定方法3 ：如果一个三角形的：如果一个三角形的 三条边三条边与另一个三角与另一个三角形的三条边形的三条边对应成比例对应成比例，那么这两个三角形相似，那么这两个三角形相似 . . 简记为：简记为：三边三边对应成比例对应成比例的两个三角形相似的两个三角形相似. . C 符号语言：符号语言： 在在ABCABC与与DEF DEF 中中 A F B AB BC CA? DE

6、 EF FD ABC ABC DEF DEF D E 根据下列条件判断根据下列条件判断 ABCABC与以与以D D、E E、F F为顶点的两个为顶点的两个B B 三角形是否相似。三角形是否相似。 3 3 4 4 (1)AB=3(1)AB=3，BC=4BC=4，AC=6AC=6； C C 6 6 A A ABCABCDEF DEF D D DE=6 DE=6，EF=8EF=8，DF=12 DF=12 8 8 6 6 (2)AB=3(2)AB=3，BC=4BC=4，AC=6AC=6； ABCABCDEF DEF F F DE=6 DE=6，EF=8EF=8，DF=12 DF=12 E E 12 1

7、2 DE=6DE=6，EF=12EF=12，DF=8 DF=8 ABCABC EDF EDF (3)AB=3(3)AB=3，BC=4BC=4，AC=6AC=6；方法总结方法总结 ：把每个三角形的三：把每个三角形的三边按边按大小顺序大小顺序依次排列，然后依次排列，然后 DE=6 DE=6，EF=9EF=9，DF=12 DF=12 比较它们对应的比较它们对应的比值是否相等比值是否相等 不不 相相 似似 ABBCAC?例例1：如图已知如图已知 .找出图中相等的角找出图中相等的角ADDEAE，并说明你的理由，并说明你的理由. 解：解：在在ABC ABC 和和ADEADE 中，中， ABBCAC?ADD

8、EAEA E C D ABC ADE . B BAC =DAE , B =D , C = E . 例例1 1中还有相等的角吗？中还有相等的角吗？ BAD =CAE 例例2 2、已知：如图、已知：如图,DE,DF,EF,DE,DF,EF是是ABCABC的中位线的中位线. .求证：求证：ABCABCFED FED A A 证明：证明： DE,DF,EF DE,DF,EF是是ABCABC的中位线的中位线 111 DE= BC,DF= AC,EF= AB DE= BC,DF= AC,EF= AB 222DEDFEF? ? ? BCACAB? ?D D B B F F E E C C 12 ABCABC

9、FED FED 例例 3： 如图，某地四个乡镇建有公路，已知如图，某地四个乡镇建有公路，已知 AB=14千米，千米，AD=28千米，千米， BD=21千米，千米， BC=42千米千米,DC=31.5千米，公路千米，公路AB与与CD平平行吗？说出你的理由。行吗？说出你的理由。 D 28 解解：公路公路AB与与CD平行。平行。 31.5 A 21 AD282AB142 14 ?42 BC423BD213B C ABADBD?BDBCDC ABDBDC, ABD=BDC BD212?DC 31.5 3 ABDC 巩巩固固练习练习： 1、根据下列条件，判断、根据下列条件，判断ABC与与ABC是否相似，

10、并说明理由是否相似，并说明理由 AB=4 cm，BC=6cm，AC=8cm, AB=12cm,BC=18cm，AC=24cm. AB1BC1AC1?解：解： A?B?3B? C?3A ? C?3 ABBCAC A?B?B? C? ?.AC ? B ? C?A?ABC （ SSS ） （三边对应成比例，两三角形相似）（三边对应成比例，两三角形相似） 2.如图如图,已知已知ABC与与DEF中中,AB=5,BC=12,AC=8, DE=10,则当则当DF=_,EF=_24 时时,ABCDEF. 16 A D 5 B 8 12 C 10 E F 3:如图如图,在在66的正方形方格中的正方形方格中,AB

11、C与与DEF的的顶点都在边长为顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，的小正方形的顶点上， 10(1)填空填空: BC=_, AC=_ 2 EF=_, DF=_. 2 22 10(2)ABC与与DEF相似相似吗吗?若相似若相似,请给出证明请给出证明,若不相似若不相似,请说明理由请说明理由. A B C F D E 4.APD=90，AP=PB=BC=CD 下列结论正确的是（ C ） A. PABPCA B.PABPDA C.ABCDBA D. ABCDCA A P B C D 5、如图、如图,O为为ABC内一点，内一点，D、E、F分别分别是是OA、OB、OC中点。中点。 求证：求证：ABCDEF

12、A D E B O F B D 1 A 2 E C C AB AC BC=6.如图，如图， , 求证：求证：1=2. AD AE DE7 7、在直角梯形、在直角梯形BACDBACD中中,ACCD,AC=CD=4AB, E,ACCD,AC=CD=4AB, E是是ACAC中点中点. .求证求证: :ABEABECED CED A A B B E E C C D D 8.要作两个形状相同的三角形框架要作两个形状相同的三角形框架,其中一个三其中一个三角形的三边的长分别为角形的三边的长分别为4、5、6,另一个三角形另一个三角形框架的一边长为框架的一边长为2,怎样选料可使这两个三角形怎样选料可使这两个三角形相似相似?这个问题有其他答案吗这个问题有其他答案吗? 4:2=5: x =6: y 4:x=5:2 =6: y 4:x=5: y =6:2 4 5 6 2 方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的连线为边的三角形叫做格点三角形，如图，连线为边的三角形叫做格点三角形，如图， ABC 和和DEC是两个格点三角形